高中數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)(學(xué)習(xí)筆記)

數(shù)學(xué)筆記

必修一章：集合章：集合第一節(jié)：集合的含義及表示一、定義：（描述性）一定范圍內(nèi)，某些確定．的■不．同．的．對象的全．體．構(gòu)成一個集合■■■■■二、表示：列舉法：A={a、b}描述法：{x|p（x）}代表元分割線代表元滿足的性質(zhì)圖示法：（數(shù)軸、Venn圖）三、特點：■確定性、互異性、無序性四、常用數(shù)集N自然數(shù)集N、N正整數(shù)集Z整數(shù)集Q有理數(shù)集

R實數(shù)集五、元素與集合的關(guān)系aM、aM（兩者必居其一）六、集合相等兩個集合所含元素完全相同AB七、集合的分類有限集含有有限個元素的集合無限集含有無限個元素的集合空集不含有任何元素的集合第二節(jié)：子集、全集、補集一）子集、定義（文字）A中的任一元素都屬于B（符號）AB（或BA）/—、（圖形）或二）真子集、定義文字）AB，且B中至少有一元素不屬于A（符號）AB（或BA）圖形）圖形）注意空集是任何非空集合的真子集A（A為非空子集）（三）補集一、定義（文字）設(shè)AU，由U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為U的子集A的補集（符號）eA{x|xU，且xA}U=U嚴(yán)rA'A）xZ第二節(jié)：子集、全集、補集（—）交集一、定義（文字）由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合稱為A與B的交集{x[xeAI_LLxeB}圖形）

二）并集定義（文字）由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)■■成的集合稱為A與B的交集（符號）｛x|xA,或xB｝■圖形）1（三）區(qū)間設(shè)a,b是兩個實數(shù)，且ab，規(guī)定閉區(qū)間axb[a,b]；開區(qū)間axb（a,b）；半開半閉區(qū)間（左閉右開）axb[a,b）（左開右閉）ax（a,b]xa,xa,xb,xb[a,）,（a,）,b],（,b）（a,b]xa,xa,xb,xb[a,）,（a,）,b],（,b）對于集合｛x|axb｝與區(qū)間（a,b），前者a可以大于或等于b，而后者必須ab，（前者可以不成立，為空集；而后者必須成立）

第二章：函數(shù)第一節(jié)：函數(shù)的概念一、定義：設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A，B以及A到B的對應(yīng)法則f)叫做集合A到B的一個函數(shù)，記作f:AB二、三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則三、相同函數(shù)：定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)四、函數(shù)定義域：2.f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)．2.f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合．3.對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零ytanx中，xk(kZ)■

零(負)指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．若f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為［a,b］，其復(fù)合函數(shù)f［g(x)］的定義域應(yīng)由不等式ag(x)b解出■對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論．由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義．五、求函數(shù)值域(最值)：觀察法：初等坐標(biāo)函數(shù)2.二次函數(shù)類2.二次函數(shù)類3.判別式法：二次函數(shù)類b2(y)4a(y)c(y)04.不等式法：基本不等式4.不等式法：基本不等式換元法：變量代換、三角代換數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)圖象、幾何方法函數(shù)的單調(diào)性法．分離常數(shù)法:反比例類

六、函數(shù)的表示方法：解析法列表法圖象法(不是所有函數(shù)都有圖像七、分段函數(shù)八、復(fù)合函數(shù)九、求函數(shù)解析式1.配湊(換元1.配湊(換元)待定系數(shù)法:已知函數(shù)模型方程組法:互為相反數(shù)、互為倒數(shù)第二節(jié)：函數(shù)的簡單性質(zhì)一)、單調(diào)性一、定義如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量當(dāng)xVX時，都有f(x)Vf(x)x1x1、．1．．．2．．．．1．．．．．．2．■■?■■J?■■■??■■■■■J?那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增．函．?dāng)?shù)．．y=f(X)f(x1)1xx12>f(x)

．．．．2．>f(x)

．．．．2．■■??J?．1．．．2．．．．1．那么就說．f(x)在這個區(qū)間上是減.函.數(shù).1.y=f(X注意不在區(qū)間內(nèi)談單調(diào)增或單調(diào)減都無意義1.y=f(X注意不在區(qū)間內(nèi)談單調(diào)增或單調(diào)減都無意義端點不計入?yún)^(qū)間一般情況下單調(diào)區(qū)間不能并單調(diào)區(qū)間壬區(qū)間單調(diào)二、證明任取作差變形.疋號下結(jié)論三、證明定義初等坐標(biāo)函數(shù)、已知函數(shù)函數(shù)圖象（某個區(qū)間圖象）復(fù)合函數(shù)：同増異減（二）、最值、定義1）一般地，設(shè)函數(shù)yf（x）的定義域為I，如果存在實數(shù)M

足：①對于任意的xI，都有f(x)M②存在x0I，使得f(x0)M?那么，我們稱M是函數(shù)f(x)的最大值，記作fmaxmax(x)M(2(x)的最大值，記作fmaxmax(x)M(2)—般地，設(shè)函數(shù)足義域為yf(x)的定I，如果存在實數(shù)②最小值我們稱m是函數(shù)f(x)的對于任意的xI，都有f(存在x0I，使得f(x0)記作那么②最小值我們稱m是函數(shù)f(x)的'注意：'注意：開區(qū)間無最值二、題型定函數(shù)動區(qū)間動函數(shù)定區(qū)間注意：抓住對稱軸和區(qū)間的相對關(guān)系(二)、奇偶性、定義1)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個X,都有f(-x)=-f(x)那么函數(shù)f(x)叫做■■■■■■■■■奇．函．?dāng)?shù)．．■■■

2)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x,都有f．(．－．x．)．=．f．(．x)．那么函數(shù)f(x)叫做■■■■■■■■■偶函數(shù)．二、證明任意的定義域任意的f(x)的定．義．域．為■■■f(-x)與f(x)下結(jié)論正確——嚴(yán)格證明錯誤舉出反例錯誤舉出反例奇函數(shù)偶函數(shù)既奇又偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)兩個反例分段函數(shù)要分段討論0可單獨討論

若函數(shù)為奇函數(shù)，且在x0處有定義，則f（x）f（0）0三、應(yīng)用定義（一般到一般）代“0”（特殊到一般）需檢驗四、奇偶性若奇函數(shù)在（a，若奇函數(shù)在（a，b）上單調(diào)增，則在-a，-b)上單調(diào)增若偶函數(shù)在（a若偶函數(shù)在（ab）上單調(diào)減b）上單調(diào)增，則在（-a,第三節(jié)：映射的概念一、定義設(shè)A、b是兩個非空集合，如果按照某種對應(yīng)法則■■f，對于集合A中任何一個元素，在集合B中都有■■■■唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做集合a到■■B的映射，記作f:ABB可用樹狀圖考慮

第三章：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)第一節(jié)：指數(shù)函數(shù)一)、根式、定義如果xna,aR,xR,n1,且nN，那么x叫做a的n次方根當(dāng)n是奇數(shù)時，a的n次方根用符號na表示；當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n次方根用符號na表示,負的n次方根用符號na表示；0的n次方根是0；負數(shù)a沒有n次方根.根指數(shù)na根式被開方數(shù)當(dāng)n為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時，a0■性質(zhì)：nna|a偶數(shù)時,nna|a偶數(shù)時,a(a0)Ja；當(dāng)n為奇數(shù)時，"a"a；當(dāng).為*0)nnaa；三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪mannam（a0,m,nN，且n1）?1.rsrs(0,,)aaaarsR2.(r)srs(0,,)aaarsR3(ab)rarbr(a0,b0,rR)(—)指數(shù)函數(shù)一、定義函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)二、圖像與性質(zhì)名稱指數(shù)函數(shù)圖象a10ayyaxy1(0,1)yaxy(0,1)y1oXoX定義域R值域(0,)奇偶性非奇非偶-單調(diào)性-在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)過定點漸近線x軸三、圖像移動及解析式變化平移變換yf(x)0右,移|yf(x)0右,移|h個單位yf(xh)0,h|yf(x)k0,kyf(x)k伸縮變0,下移|k|個單位yf(x)yf(x)1,縮,縮yAf(x)yf(x)0yf(x)yf(x)x)x軸yf,縮yAf(x)yf(x)0yf(x)yf(x)x)x軸yf原點x）原點yx)f(x)y軸yf(x)f去掉y軸左邊圖象保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象保留x軸上方圖象將軸下方圖象翻折上去y丨f（X）|x直線yxS線yx1yf(x)yf(x)yf(|x|)A1A1,伸對稱變換四、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)換元取值范圍、單調(diào)性同增異減初級坐標(biāo)函數(shù)值域、單調(diào)性五、指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用審題歸納建模注意定義域“指數(shù)型函數(shù)”模型求解（解模）還原（結(jié)論——答）

每一個步驟讀一遍題2?注意定義域、精確度第二節(jié)：對數(shù)函數(shù)一）對數(shù)、定義如果a（a>0,a^1）的b次冪等于N即ab=N■■■■■■■■■那么就稱b是以a為底N的對數(shù)記作logN=ba底數(shù)真數(shù).NaaNXaXNaXXaNaNMN討aNaaNXaXNaXXaNaNMN討aNaNXNNnXxlogxaaa=^alaa對數(shù)底數(shù)真數(shù)底數(shù)指數(shù)幕根指數(shù)被開方數(shù)方根常用對數(shù):自然對數(shù):四、運算三、常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù):自然對數(shù):四、運算lgN，即log10N；lnN，即logN(其中e2.71828)-e1.加法:logMlogNlog(MN)aa2.減法:logaMlogNlogmaaN3.數(shù)乘:4.logNaaN5.6.(b0,nlog3.數(shù)乘:4.logNaaN5.6.(b0,nlogaR)abbaNlogbn(b0,且b1)logba（二）對數(shù)函數(shù)一、定義nlogMlogMn(nR)aa函數(shù)yggx（a0且a1）叫做對數(shù)函數(shù)a、圖像與性質(zhì)三、題型1.比較大小利用單調(diào)性利用圖像（真數(shù)相同）利用中間值

解不等式3.4.判斷奇偶性第三節(jié)：冪函數(shù)、定義函數(shù)yx叫做幕函數(shù)，其中X為自變量，是常數(shù)'圖像與性質(zhì)'圖像與性質(zhì)定義域：(0,)一定有定義過定點：(1,1)．單調(diào)性：[0,)上0，過原點、(0,)上為增函數(shù)．a(chǎn)=0，常函數(shù)0，過原點、(0,)上為增函數(shù)．a(chǎn)=0，常函數(shù)0，(0,)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近與y軸.奇偶性：為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．p,qpqyxp是奇函數(shù)(時中p,q互質(zhì)，p和qZ)，p,qpqyxp是奇函數(shù)qp為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則yxp是偶函數(shù)，qp為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則yxp是非奇非偶函數(shù).圖

象特征：冪函數(shù)yx,x(0,)，當(dāng)1時，若0x1,其圖象在直線yX下方，若X1,其圖象在直線yx上方，當(dāng)1時，若0x1,其圖象在直線yX上方，若X1,其圖象在直線yx下方.第四節(jié)：函數(shù)的應(yīng)用一)、零點一、定義f(x)0成立的實數(shù)x叫做函對于函數(shù)yf(x)(xD),f(x)0成立的實數(shù)x叫做函二、意義函數(shù)yf?)的零點方程f(x)0實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)零點不是點穿過零點,零點不是點穿過零點,y值變號y值變號，穿過零點(圖像連續(xù)．不．?dāng)啵?三、求法1．(代數(shù)法)①證單調(diào)區(qū)間幾何法)交點②零點定理1幾何法)交點(二)、零點定理一、定義設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)X

f(b