高中數(shù)學(xué)《柯西不等式》單元測試題

高中數(shù)學(xué)《柯西不等式》單元測試題班級姓名一、選擇題：已知a,bwR,a2+b2=4,則3a+2b的最大值為()A.4B.2\73C.8D.9設(shè)x,y,m,n〉0,且￡+￡=1，則u=x+y的最小值是()xyA.(\''m+\；'n)2B.\；'m+"\：nC.m+nD.(m+n)2TOC\o"1-5"\h\z若a,bGR，且a2+b2=10，則a—b的取值范圍是()A.[—2品2弱]B.[―2\誦，2“歷]C.[—訓(xùn)，你]D.[—J5\石]已知4x2+5y2=1,則2x+\：5y的最大值是()A.邁B.1C.3D.9已知x,yGR+，且xy=1,貝(1+*)[1+￡)的最小值為()1A.4B.2C.1D.4a2b2設(shè)a、bwR，且aMb,卩=匸+—，Q=a+b,貝y()+baA.P>QB.P三QC.P〈QD.PWQ二、填空題：已知a,b>0,且a+b=1，則衿+半的最小值為；函數(shù)y=Qx—5+2寸6—x的最大值是；設(shè)a,b,c,d,m,n都是正實數(shù)，P=i./Ob+x/cd,Q=\fma+nc?\.￡+￡，則P與Q的大?。缓瘮?shù)y=2cosx+3\/1—cos2x的最大值為；11.函數(shù)y=2叩1—x+p2x+1的最大值為.三、解答題：若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值，并求出最小值點.設(shè)a,bGR，若a+b=2,求丄+占的最小值.+ab已知a“J1—b2+b"J1—a2=1,求證：a2+b2=1.設(shè)a+b=f,求證：a8+b8^-.227參考答案：一、選擇題：已知a,bwR,a2+b2=4,則3a+2b的最大值為()A.4B.2\73C.8D.9答案：B設(shè)x,y,m,n〉0,且X+￡=1，則u=x+y的最小值是()xyA.(\：m+\；'n)2B.\；m+冷nC.m+nD.(m+n)2答案：A若a,bwR，且a2+b2=10，則a—b的取值范圍是()A.[—2-J5,2\話]B.[—2710,2\；10]C.[—-J10,\；10]D.[―\；5,叮5]解析：*?*(a2+b2)[12+(—1)2]三(a—b)2,|a—b|W\：20=2\：5,.°.a—bw[—2冷5,2岑5].答案：A已知4x2+5y2=1,則2x+-j5y的最大值是()A.叮2B.1C.3D.9解析：?.?2x+\￡y=2x?l+i：Ty?1W\；?2x?2+?jTy?2?叮12+12=￡?邁=邁..\2x+i'5y的最大值為叮2.答案：A已知x,yGR+，且xy=1,貝(1+2)[1+￡)的最小值為()1A.4B.2C.1D.4解析：〔1+2[1+￡|彳1+制2=4'故選九答案：Aa2b2設(shè)a、bwR，且aMb,P=^+—,Q=a+b,貝y()+baA.P>QB.P三QC.P<QD.PWQ(a2b2>解析：???H+^(a+b)

(b丄Vb丿2+WaJ2-d+e./b”](a、/a2=(a+、/a2=(a+b)2丿又?aMb,?:a+b〉0?(f+a>?o^=(a+b).而等號成立的條件是十…Jb=￥ba即a=b,Arb+牙丿〉a+b?即P〉Q.答案：A、填空題：已知a,b〉0,且a+b=1，則^+^的最小值為；解析：72a+b=(a+b)(2a+b)=[(屁+")2]〕bbM制2?畝審?制2=時+1)=2+邁.9答案：2+\；°函數(shù)y=Qx—5+2寸6—x的最大值是解析：根據(jù)柯西不等式,知b+d,則P與Qmny=1^.ii1'x—5+2^''6—x^；'12+22X?x—5?2b+d,則P與Qmn設(shè)a,b,c,d,m,n都是正實數(shù)，P=i'ab+^''cd,Q=“Jma+nc?的大小解析：由柯西不等式,得W>''?am?2W>''?am?2+?nc?2X函數(shù)y=2cosx+3\；l—cos2x的最大值為解析：y=2cosx+3\：l—cos2x=2cosx+3\：‘2sin2xW"P?cos2x+sin2x?2+?32?2]=】J22.cosx2當(dāng)且僅當(dāng)解析：y=2cosx+3\：l—cos2x=2cosx+3\：‘2sin2xW"P?cos2x+sin2x?2+?32?2]=】J22.cosx2當(dāng)且僅當(dāng)〒?“；=押2，即tanx=±^時，函數(shù)有最大值勺22.答案：-\.''2211.函數(shù)y=2\：l—x+\；2x+l的最大值為.解析：y=2\：l—x+y2x+l=\'2\；2—2x+1?冷2x+l0,：?近?2+12?2—2x?2+2x+I?2=3?V3=3當(dāng)且僅當(dāng)\：2—2x?1=\8八j2x+1取等號.即2—2x=4x+2,???x=0時取等號.答案：3三、解答題：12．若2x+3y=l,求4x2+9y2的最小值，并求出最小值點.解：由柯西不等式(4x2+9y2)(l2+12)±(2x+3y)2=l,/.4x2+9y2^|.當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=3y?l,即2x=3y時取等號.，2x=3y,2x+3y=11x=41y=6?.??4x2+9y2的最小值為2，最小值點為E，6j.13.b的最小值.解：設(shè)a,bwR+，若a+b=2,當(dāng)且僅當(dāng)”Ja?=\'b?，即a=b時取等號,ba22??.當(dāng)a=b=l時，j+b的最小值為2.14.已知a\：'l—b2+b\：l—a2=l,求證：az+b2=1.證明：由柯西不等式，得(a\，'l—b2+bp1—a2)2W[a2+(1—a2)][b2+(1—b2)]=1.b\l1—b2當(dāng)且僅當(dāng)^==—-時，上式取等號，1—a2a?ab=\；1—a2?1—b2，a2b2=(1—a2)(1—b2).于是a2+b2=1.15?設(shè)a+b=2,求證：a8+b&±證明：a8+b8=2(12+12)[(a4)2+(b4)