學(xué)高中數(shù)學(xué)數(shù)列等差數(shù)列第課時課后課時精練新人教A版必修50

04/403/4/2.2等差數(shù)列A級：基礎(chǔ)鞏固練一、選擇題1．如果等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21C．28 D．35答案C解析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.2．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()A．a(chǎn)1＋a101>0 B．a(chǎn)2＋a100<0C．a(chǎn)3＋a100≤0 D．a(chǎn)51＝0答案D解析由題設(shè)a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.3．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個面包分給五個人，使每人所得面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的eq\f(1,7)是較小的兩份之和，則最小的1份為()A.eq\f(5,3)B.eqB.eq\f(10,3)C.eq\f(5,6)D.eqD.eq\f(11,6)答案A解析設(shè)五個人分得的面包為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，(d>0)，則(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100，∴a＝20，由eq\f(1,7)(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，∴d＝eq\f(55,6)，∴最小的一份為a－2d＝20－eq\f(110,6)＝eq\f(5,3).故選A.4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋a4，則k的值為()A．6 B．7C．8 D．9答案B解析因為a1＝0，d≠0，∴a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝6d＝a7.故選B.二、填空題5．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，公差為d，a3>0，當(dāng)且僅當(dāng)n＝3時，|an|取得最小值，則公差d的取值范圍是_________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(2,5)))解析∵a3>0，當(dāng)且僅當(dāng)n＝3時|an|取最小值，∴a4<0，且a4＋a3<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2d>0，,1＋3d<0，,1＋2d＋1＋3d<0，))解得－eq\f(1,2)<d<－eq\f(2,5).6．若{an}是等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，則a75＝________.答案24解析∵a60＝a15＋45d，∴d＝eq\f(4,15)，∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.7．如果有窮數(shù)列a1，a2，…，am(m為正整數(shù))滿足條件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，則稱其為“對稱”數(shù)列．例如數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,4,8都是“對稱”數(shù)列．已知在21項的“對稱”數(shù)列{cn}中c11，c12，…，c21是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，則c2＝________.答案19解析因為c11，c12，…，c21是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}為21項的對稱數(shù)列，所以c2＝c20＝19.三、解答題8．等差數(shù)列{an}的公差d≠0，試比較a4a9與a6a7的大?。庠O(shè)an＝a1＋(n－1)d，則a4a9－a6a7＝(a1＋3d)·(a1＋8d)－(a1＋5d)(a1＋6d)＝(aeq\o\al(2,1)＋11a1d＋24d2)－(aeq\o\al(2,1)＋11a1d＋30d2)＝－6d2<0，所以a4a9<a6a7.9．四個數(shù)成等差數(shù)列，其平方和為94，第一個數(shù)與第四個數(shù)的積比第二個數(shù)與第三個數(shù)的積少18，求此四個數(shù)．解設(shè)四個數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.據(jù)題意得，(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94?2a2＋10d2＝47.①又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18?8d2＝18?d＝±eq\f(3,2)代入①得a＝±eq\f(7,2).故所求四數(shù)為8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.10．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1＋an,3－an)(n∈N*)，且a1＝0.(1)求a2，a3的值；(2)是否存在一個實常數(shù)λ，使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))為等差數(shù)列，請說明理由．解(1)因為a1＝0，an＋1＝eq\f(1＋an,3－an)(n∈N*)，所以a2＝eq\f(1＋a1,3－a1)＝eq\f(1＋0,3－0)＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1＋a2,3－a2)＝eq\f(1＋\f(1,3),3－\f(1,3))＝eq\f(1,2).(2)假設(shè)存在一個實常數(shù)λ，使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))為等差數(shù)列，則eq\f(1,a1－λ)，eq\f(1,a2－λ)，eq\f(1,a3－λ)成等差數(shù)列，所以eq\f(2,a2－λ)＝eq\f(1,a1－λ)＋eq\f(1,a3－λ)，所以eq\f(2,\f(1,3)－λ)＝eq\f(1,0－λ)＋eq\f(1,\f(1,2)－λ)，解之得λ＝1.因為eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,\f(1＋an,3－an)－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(3－an,2?an－1?)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1－an,2?an－1?)＝－eq\f(1,2)，又eq\f(1,a1－1)＝－1，所以存在一個實常數(shù)λ＝1，使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))是首項為－1，公差為－eq\f(1,2)的等差數(shù)列．B級：能力提升練1．已知兩個等差數(shù)列5,8,11，…和3,7,11，…都有100項，則這兩個數(shù)列中有多少個共同的項？解設(shè)用兩數(shù)的公共項組成的新數(shù)列為{an}，則{an}是首項為11的等差數(shù)列，而兩個數(shù)列公差分別為3和4，則{an}的公差為d＝3×4＝12.∴an＝11＋(n－1)×12＝12n－1.數(shù)列5,8,11，…與3,7,11，…第100項分別為302與399.∴an≤302，即n≤25.25.∴所給數(shù)列有25個共同的項．2．設(shè)各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列{an}和{bn}滿足：對任意n∈N*都有2bn＝an＋an＋1且aeq\o\al(2,n＋1)＝bnbn＋1.(1)求證：{eq\r(bn)}是等差數(shù)列；(2)設(shè)a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通項公式．解(1)證明：aeq\o\al(2,n＋1)＝bnbn＋1得an＋1＝eq\r(bnbn＋1)，∴an＝eq\r(bn－1bn)代入2bn＝an＋an＋1，得2bn＝eq\r(bn－1bn)＋eq\r(bnbn＋1)，∴2eq\r(bn)＝eq\r(bn－1)＋eq\r(bn＋1)，∴{eq\r(bn)}是等差數(shù)列．(2)由a1＝1，a2＝2得b1＝eq\f(a1＋a2,2)＝eq\f(3,2).又由aeq\o\al(2,n＋1)＝bnbn＋1得aeq\o\al(2,2)＝b1b2，∴b2＝eq\f(a\o\al(2,2),b1)＝eq\f(8,3)，∴eq\r(b1)＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(6),2)，eq\r(b2)＝eq\r(\f(8,3))＝eq\f(2\r(6),3).∴{eq\r(bn)}的公差d＝eq\r(b2)－eq\r(b1)＝eq\f(\r(6),6