2019-2021北京重點(diǎn)區(qū)高三二模數(shù)學(xué)匯編：集合間的基本運(yùn)算

9/92019-2021北京重點(diǎn)區(qū)高三二模數(shù)學(xué)匯編：集合間的基本運(yùn)算一、單選題1．（2019·北京東城·二模（文））已知集合，則A． B． C． D．2．（2020·北京東城·二模）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，2}，B={5}，那么（?UA）∪B=A．{0，1，2} B．{3，4，5} C．{1，4，5} D．{0，1，2，5}3．（2020·北京海淀·二模）若全集，,,則（）A． B． C． D．4．（2019·北京海淀·二模（理））已知集合，，則A．[1,3] B．[3,5] C．[5,6] D．[1,6]5．（2020·北京西城·二模）設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．二、解答題6．（2019·北京朝陽(yáng)·二模（理））對(duì)于由有限個(gè)自然數(shù)組成的集合A，定義集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，記集合S（A）的元素個(gè)數(shù)為d（S（A））．定義變換T，變換T將集合A變換為集合T（A）=A∪S（A）．（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；（2）若集合A有n個(gè)元素，證明：“d（S（A））=2n-1”的充要條件是“集合A中的所有元素能組成公差不為0的等差數(shù)列”；（3）若A?{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}?T（T（A）），求元素個(gè)數(shù)最少的集合A．7．（2021·北京海淀·二模）已知有限集X，Y，定義集合，表示集合X中的元素個(gè)數(shù).（1）若，求集合和，以及的值；（2）給定正整數(shù)n，集合，對(duì)于實(shí)數(shù)集的非空有限子集A，B，定義集合①求證：；②求的最小值.8．（2020·北京西城·二模）設(shè)為正整數(shù)，區(qū)間（其中，）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①對(duì)任意，存在使得；②對(duì)任意，存在，使得（其中）．（Ⅰ）判斷能否等于或；（結(jié)論不需要證明）．（Ⅱ）求的最小值；（Ⅲ）研究是否存在最大值，若存在，求出的最大值；若不在在，說(shuō)明理由．9．（2020·北京海淀·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)．對(duì)任意的點(diǎn)，定義．任取點(diǎn)，，記，，若此時(shí)成立，則稱點(diǎn)，相關(guān)．（1）分別判斷下面各組中兩點(diǎn)是否相關(guān)，并說(shuō)明理由；①，；②，．（2）給定，，點(diǎn)集．（）求集合中與點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）若，且對(duì)于任意的，，點(diǎn)，相關(guān)，求中元素個(gè)數(shù)的最大值．10．（2020·北京朝陽(yáng)·二模）設(shè)集合，其中是正整數(shù)，記．對(duì)于，，若存在整數(shù)k，滿足，則稱整除，設(shè)是滿足整除的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)．（I）若，，寫出，的值;（Ⅱ）求的最大值;（Ⅲ）設(shè)A中最小的元素為a，求使得取到最大值時(shí)的所有集合A．

參考答案1．A【分析】解出集合B中的不等式，根據(jù)集合并集運(yùn)算得到結(jié)果.【詳解】,根據(jù)集合的并集運(yùn)算得到：.故答案為A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．B【分析】先求出，再由并集定義計(jì)算．【詳解】∵U={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，2}，B={5}，∴?UA={3，4，5}，（?UA）∪B={3，4，5}.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的綜合運(yùn)算，掌握集合運(yùn)算的定義是解題基礎(chǔ)．3．D【分析】由條件可得，然后可判斷出答案.【詳解】因?yàn)?,所以，所以故選：D4．B【解析】由交集的概念，直接可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧希?，所?故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合交集的運(yùn)算，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.5．C【分析】求出集合，利用交集的定義可得出集合.【詳解】，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，涉及了絕對(duì)值不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)定義直接進(jìn)行計(jì)算即可（2）根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行證明（3）首先證明：1∈A，然后根據(jù)條件分別判斷A中元素情況即可得到結(jié)論．【詳解】（1）若集合A={0，1，2}，則S（A）=T（A）={0，1，2，3，4}．（2）令．不妨設(shè)．充分性：設(shè)是公差為的等差數(shù)列．則且．所以共有2n-1個(gè)不同的值．即d（S（A））=2n-1．必要性：若d（S（A））=2n-1．因?yàn)椋許（A）中有2n-1個(gè)不同的元素：任意（1≤i，j≤n）的值都與上述某一項(xiàng)相等．又，且．所以，所以是等差數(shù)列，且公差不為0．（3）首先證明：1∈A．假設(shè)1?A，A中的元素均大于1，從而1?S（A），因此1?T（A），1?S（T（A）），故1?T（T（A）），與{1，2，3，…，25，26}?T（T（A））矛盾，因此1∈A．設(shè)A的元素個(gè)數(shù)為n，S（A）的元素個(gè)數(shù)至多為C+n，從而T（A）的元素個(gè)數(shù)至多為C+n+n=．若n=2，則T（A）元素個(gè)數(shù)至多為5，從而T（T（A））的元素個(gè)數(shù)至多為=20，而T（T（A））中元素至少為26，因此n≥3．假設(shè)A有三個(gè)元素，設(shè)，且，則1，2，，，從而1，2，3，4∈T（T（A））．若，T（T（A））中比4大的最小數(shù)為，則5?T（T（A）），與題意矛盾，故≤5．集合T（T（A））．中最大數(shù)為，由于26∈T（T（A）），故≥26，從而≥7，（i）若A={1，a2，7}，且≤5．此時(shí)1，2，，+1，7，8，2，7+，14∈T（A），則有8+14=22，2×14=28∈T（T（A）），在22與28之間可能的數(shù)為14+2，21+．此時(shí)23，24，25，26不能全在T（T（A））．中，不滿足題意．（ii）若A={1，，8}，且≤5．此時(shí)1，2，，+1，8，9，2，8+，16∈T（A），則有16+9=25∈T（T（A）），若26∈T（T（A）），則16+2=26或16+（8+）=26，解得=5或=2．當(dāng)A={1，2，8}時(shí)，15，21，23?T（T（A））．不滿足題意．當(dāng)A={1，2，8}時(shí)，T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，滿足題意．故元素個(gè)數(shù)最少的集合A為{1，5，8}【點(diǎn)睛】本題主要考查集合元素性質(zhì)以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度比較大．不太好理解．7．（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①見(jiàn)解析；②【分析】（1）直接根據(jù)定義求解即可；（2）①分若A∪B中含有一個(gè)不在S中的元素和，且，兩種情況討論即可，當(dāng)，且時(shí)，可通過(guò)得證；②結(jié)合①知，討論若，或，得，若，且，設(shè)，，可證得的最小值是【詳解】（1）根據(jù)定義直接得X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3.（2）①顯然.若A∪B中含有一個(gè)不在S中的元素，則，即.若，且，則此時(shí)A中最小的元素，B中最小的元素，所以C中最小的元素.所以.因?yàn)?，所以，?綜上，.②由①知.所以若，或，則若，且，設(shè)，且，，則，若，因?yàn)椋赃@個(gè)數(shù)一定在集中C中，且均不等于1.所以所以當(dāng)，時(shí)，所以的最小值是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第三問(wèn)較難，解題的關(guān)鍵是由①得，進(jìn)而進(jìn)行分情況討論可得解.8．（Ⅰ）可以等于，但不能等于；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在最大值，為．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意可得出結(jié)論；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中的結(jié)論得出可以等于，可得出區(qū)間的長(zhǎng)度為，結(jié)合①得出，再由，，，滿足條件①、②可得出的最小值；（Ⅲ）利用反證法推導(dǎo)出，進(jìn)而得出，由此得出，進(jìn)而得出，再舉例說(shuō)明成立，由此可得出正整數(shù)的最大值.【詳解】（Ⅰ）可以等于，但不能等于；（Ⅱ）記為區(qū)間的長(zhǎng)度，則區(qū)間的長(zhǎng)度為，的長(zhǎng)度為．由①，得．又因?yàn)?，，，顯然滿足條件①，②．所以的最小值為；（Ⅲ）的最大值存在，且為．解答如下：（1）首先，證明．由②，得、、、互不相同，且對(duì)于任意，．不妨設(shè)．如果，那么對(duì)于條件②，當(dāng)時(shí)，不存在，使得．這與題意不符，故.如果，那么，這與條件②中“存在，使得（其中、、、、、、）”矛盾，故．所以，，，，則．故．若存在，這與條件②中“存在，使得”矛盾，所以．（2）給出存在的例子．令，其中、、、，即、、、為等差數(shù)列，公差．由，知，則易得，所以、、、滿足條件①．又公差，所以，．（注：為區(qū)間的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)）所以、、、滿足條件②．綜合（1）（2）可知的最大值存在，且為．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與區(qū)間的綜合應(yīng)用，考查反證法的應(yīng)用，考查推理論證能力，屬于難題.9．（1）①相關(guān)；②不相關(guān).（2）（）個(gè)（）.【分析】（1）根據(jù)所給定義，代入不等式化簡(jiǎn)變形可得對(duì)應(yīng)坐標(biāo)滿足的關(guān)系，即可判斷所給兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是否符合定義要求.（2）（）根據(jù)所給點(diǎn)集，依次判斷在四個(gè)象限內(nèi)滿足的點(diǎn)個(gè)數(shù)，坐標(biāo)軸上及原點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可求得集合中與點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）由（1）可知相關(guān)點(diǎn)滿足，利用分類討論證明，即可求得中元素個(gè)數(shù)的最大值．【詳解】若點(diǎn)，相關(guān)，則，，而，不妨設(shè)，則由定義可知，化簡(jiǎn)變形可得，（1）對(duì)于①，；對(duì)應(yīng)坐標(biāo)取絕對(duì)值，代入可知成立，因此相關(guān)；②對(duì)應(yīng)坐標(biāo)取絕對(duì)值，代入可知，因此不相關(guān).（2）（）在第一象限內(nèi)，，可知且，有個(gè)點(diǎn)；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有個(gè)點(diǎn).在軸正半軸上，點(diǎn)滿足條件；在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)滿足條件；在軸正半軸上，點(diǎn)滿足條件；在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)滿足條件；原點(diǎn)滿足條件；因此集合中共有個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)相關(guān).（）若兩個(gè)不同的點(diǎn)，相關(guān)，其中，，，，可知.下面證明.若，則，成立；若，則，若，則，亦成立.由于，因此最多有個(gè)點(diǎn)兩兩相關(guān)，其中最多有個(gè)點(diǎn)在第一象限；最少有1個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)軸正半軸上，一個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn).因此中元素個(gè)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了集合中新定義的應(yīng)用，對(duì)題意的理解與分析能力的要求較高，屬于難題.10．（1），；（2）4；（3），或.【解析】（1）根據(jù)定義得到，，即可得到，的值；（2）結(jié)合條件得到最多有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)六種情況，排除(2,4),(3，4)即可得到的最大值；（3）假設(shè)，，根據(jù)定義可得或，進(jìn)而得到A.【詳解】（1）根據(jù)條件所給定義，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故，SB=24=4(1+5)=2(5+7)=2(1+11)=3(1+7)，故.（2）不妨設(shè)，因?yàn)椋?，不能整除，因?yàn)樽疃嘤?1,2