2022屆安徽省合肥市、合肥高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.設(shè)雙曲線C:+-我■=1（。>0/>0）的左右焦點分別為6,K,點>0）.已知動點P在雙曲線C的右支

上，且點P,E,巴不共線.若APE與的周長的最小值為48,則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（）

2.等比數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，且a3a8+a4a7=18,貝！|log?4+log?g+…+4o=（）

A.12B.10C.8D.2+log35

3.設(shè)xeR,則"是"x2<x”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必條件

4.5G網(wǎng)絡(luò)是一種先進(jìn)的高頻傳輸技術(shù)，我國的5G技術(shù)發(fā)展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了

一款5G手機，現(xiàn)調(diào)查得到該款5G手機上市時間x和市場占有率y（單位：%）的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折

線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據(jù)數(shù)據(jù)得出N關(guān)于x的線性回歸

方程為y=0.042x+a.若用此方程分析并預(yù)測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款5G手機市場占有率

能超過0.5%（精確到月）（）

A.2020年6月B.2020年7月C.2020年8月D.2020年9月

5.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=l一在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.已知，〃，〃是兩條不重合的直線，a,4是兩個不重合的平面，則下列命題中錯誤的是（）

A.若加〃a,a//p,則機〃/或加u尸

B.若m〃〃，mHa,n<^a,則"〃a

C.若mA.a,nA-/3,則a_L￡

D.若m±a,則〃〃a

7.已知函數(shù)/（x）=d+asinx,xeR,若〃-1）=2,則/⑴的值等于（）

A.2B.-2C.l+aD.\-a

8.已知集合用={刈*2=1}.N為自然數(shù)集，則下列表示不正確的是（）

A.leMB.A7={-1,1}C.0cA/D.M=N

9.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和/"個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為X,

已知E（X）=3,則0（X）=（）

,8642

A.-B.-C.-D.一

5555

22

10.設(shè)雙曲線c：三一21=1的右頂點為A，右焦點為尸，過點尸作平行C的一條漸近線的直線與C交于點B,貝!!

916

△AEB的面積為（）

3264

A.77B.一C.5D.6

1515

11.已知曲線f=4y,動點P在直線y=—3上，過點P作曲線的兩條切線切點分別為A6,則直線4?截圓

*2+丁_6,+5=0所得弦長為（）

A.6B.2C.4D.2G

12.已知復(fù)數(shù)z=（l-a）+（a2—i）i（i為虛數(shù)單位，。>1）,貝在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知拋物線。：產(chǎn)=16》的對稱軸與準(zhǔn)線的交點為加，直線/：y=履-4左與c交于A,B兩點，若

\AM\=4\BM\,則實數(shù)4=.

14."sina+cosa=0"是"cos2a=0”的條件.（填寫“充分必要"、"充分不必要"、”必要不充分"、"既

不充分也不必要”之一）

jr37r7i12

15.在平面直角坐標(biāo)系x。)‘中，點P(x。,%)在單位圓。上，設(shè)=且￡€(—,—).若cos(o+?)=—=,

44413

則/的值為.

16.在棱長為6的正方體ABC。-4用GR中，加是3C的中點，點P是面DCCR,所在平面內(nèi)的動點，且滿足

ZAPD=ZMPC,則三棱錐P-BCD的體積的最大值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

222

17.(12分)如圖，已知拋物線E：V=4x與圓(%-3)+y=r(r>0)相交于A,B,C,。四個

(1)求r的取值范圍；

(2)設(shè)四邊形ABC。的面積為S,當(dāng)S最大時，求直線A￡>與直線BC的交點。的坐標(biāo).

18.(12分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中，底面ABQ9是棱長為2的正方形,側(cè)面PAD為正三角形,且面PAD±

面ABC。，旦產(chǎn)分別為棱AB,PC的中點.

(1)求證：即||平面P4O；

(2)求二面角尸―EC—。的正切值.

19.(12分)如圖，。是在AA8c邊4c上的一點，ABCD面積是△480面積的2倍，ZCBD=2ZABD=20.

B

(I)若，=9求嗎的值；

osinC

(II)若BC=4,AB=2y/29求邊AC的長.

20.(12分)已知點A、3分別在大軸、了軸上運動，|A8|=3,溺=2微.

(1)求點M的軌跡C的方程；

(2)過點且斜率存在的直線/與曲線C交于尸、。兩點，E(O,1),求上。|2+|￡。|2的取值范圍.

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，以坐標(biāo)原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐

[_oV2

%=-2+?

標(biāo)方程為Osin?6=2acos8(〃>0),過點尸(—2,-4)的直線/的參數(shù)方程為t_(為參數(shù))，直線/與曲

-4H——

Iy=2—t

線C交于M、N兩點。

(1)寫出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：

(2)若IPM1,1"NPN|成等比數(shù)列，求〃的值。

22.(10分)設(shè)橢圓C:：+y2=i的右焦點為尸，過戶的直線/與C交于A3兩點，點M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)直線/的傾斜角為45°時，求線段A5的中點的橫坐標(biāo)；

(2)設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為C,求證：M,B,C三點共線；

(3)設(shè)過點M的直線交橢圓于G,"兩點，若橢圓上存在點P,使得礪+M=/l而(其中。為坐標(biāo)原點)，求實數(shù)

2的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

依題意可得CAPE丹=PE+PF?+EF?=PE+PF?+EF1N2P6—2a=4Z?

即可得到2a+40>2（a+c）,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；

【詳解】

解：依題意可得如下圖象，C"EF2=PE+PF?+EF]=PE+PF?+EFl

=PE+PFt+EFi-2a

N2PF-2a=4b

2PFt=2?+4/?>2（a+c）

所以28>c

2

貝114c2一4a2>c

所以3c2>4/

所以e?=:>g

a23

所以e>竽，即竿,+8

【點睛】

本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

2.B

【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得44。，再由對數(shù)運算法則可得結(jié)論.

【詳解】

?.?數(shù)列他“}是等比數(shù)列，:.~=18,6Z|4Z|Q=9,

log3?|+log34+…+log34o=log3（?i?2????1（））=log3（44o）5=51og39=10.

故選:B.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)的運算法則，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.B

【解析】

解出兩個不等式的解集，根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.

【詳解】

由|x-l|<2,得又由Vex，得0<x<l,

因為集合{x|0<x<l}u{x|-l<x<3},

所以“|x-11<2”是“/<x，，的必要不充分條件.

故選：B

【點睛】

本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.

4.C

【解析】

根據(jù)圖形，計算出1,亍，然后解不等式即可.

【詳解】

解：亍=gx（l+2+3+4+5）=3,y=1x（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）=0.1

點（3,0.1）在直線?=0.042%+G上

0.1=0.042x3+6,近=-0.026

y=0.042x-0.026

令g=0.042x—0.026>0.5

x>13

因為橫軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，

故選：C

【點睛】

考查如何確定線性回歸直線中的系數(shù)以及線性回歸方程的實際應(yīng)用，基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.

【詳解】

復(fù)數(shù)z=l-/.在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1,-1),該點位于第四象限.

故選：D.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理，可判斷B；C中可判斷a,夕所成的二面角為

90°;D中有可能〃ua,即得解.

【詳解】

選項A：若加〃a,?///7,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有機〃尸或加＜=尸，故A正確；

選項B：若加〃〃，mHa,由線面平行的判定定理，有"〃a,故B正確；

選項C：若m_L〃，加，2,〃?！￡,故a,夕所成的二面角為900,則。，力，故C正確；

選項D,若m_L〃，m±a,有可能"ua,故D不正確.

故選：D

【點睛】

本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.

7.B

【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，/(1)=-/(-1)=-2

【詳解】

V/(X)=X3+asinx

其中g(shù)(x)=d為奇函數(shù)，f(x)=asinx也為奇函數(shù)

，/(x)=g(x)+?x)也為奇函數(shù)

.,./(I)=-/(-!)=-2

故選：B

【點睛】

函數(shù)奇偶性的運用即得結(jié)果，小記，定義域關(guān)于原點對稱時有：①奇函數(shù)士奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)x奇函數(shù)=偶函數(shù);

③奇函數(shù)十奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)土偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)x偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)x偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函

數(shù)千偶函數(shù)=奇函數(shù)

8.D

【解析】

集合〃=但父=1}={_1,1}.N為自然數(shù)集，由此能求出結(jié)果.

【詳解】

解：集合M={x|f=1}=卜1,1}.N為自然數(shù)集，

在A中，1￡M,正確；

在B中，"={一1』，正確；

在C中，正確；

在D中，M不是N的子集，故D錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

333

由題意知，X~5(5,——)，由EX=5x——=3,知乂~6(5,一)，由此能求出。(X).

m+3m+35

【詳解】

3

由題意知，X?3(5,--),

m+3

3

??.EX=5x——=3,解得加=2,

m+3

???X~B(5,|),

oaA

￡>(X)=5x-x(l--)=-.

555

故選：B.

【點睛】

本題考查離散型隨機變量的方差的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二項分布的靈活運用.

10.A

【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點A、右焦點尸的坐標(biāo)，再求出過點尸與C的一條漸近線的平行的直線方程，通過

解方程組求出點8的坐標(biāo)，最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

22

由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中：a=3,b=4:.c=>la+b=5?因此右頂點A的坐標(biāo)為(3,0),右焦點廠的坐標(biāo)為

44

(5,0),雙曲線的漸近線方程為：y=±-x,根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設(shè)點F作平行C的一條漸近線y=

44

的直線與C交于點8,所以直線的斜率為1,因此直線反方程為：>=§(x-5),因此點3的坐標(biāo)是方程組：

17

y=-(x-5)

51732

2,的解，解得方程組的解為：，，即B(w，-不)，所以/XAEB的面積為：

*曠DD13

-------二11

故選:A

【點睛】

本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用，考查了兩直線平行的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.

11.C

【解析】

設(shè)A/，蓍，尸?,-3),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，進(jìn)而得到切線方程，將P點坐標(biāo)代入切線

方程，抽象出直線A8方程，且過定點為已知圓的圓心，即可求解.

【詳解】

圓x2+y2_6y+5=0可化為爐+(>_3)2=4.

/2\(2\

設(shè)A，”才,BXr->~T,P?,-3),

、4JI41

則44的斜率分別為%吟段吟,

所以44的方程為=即y=5x—x，

2

，2：y=￡(x-x2)+?即丁=?一%，

-3=」1-y

21

由于44都過點P。，-3),所以

-3=-t-y

22

即4(2),3(”2)都在直線-3=『7上，

Y

所以直線AB的方程為一3=5「一》，恒過定點(0,3),

即直線AB過圓心(0,3),

則直線4?截圓f+尸一6y+5=0所得弦長為4.

故選:C.

【點睛】

本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系，拋物線兩切點所在直線求解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

12.B

【解析】

分別比較復(fù)數(shù)二的實部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限.

【詳解】

因為a>l時，所以1—。<0,tz2-l>0,所以復(fù)數(shù)二在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.

故選：B.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.+-

3

【解析】

由于直線/：>=依-44過拋物線。的焦點，因此過A,3分別作。的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P,Q,由拋物線的

定義及平行線性質(zhì)可得|幽=4,從而再由拋物線定義可求得直線AB傾斜角的余弦，再求得正切即為直線斜率.注

意對稱性，問題應(yīng)該有兩解.

【詳解】

直線/:丁=丘一4〃過拋物線。的焦點尸（4,0）,〃=8,過A,8分別作。的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P,Q,由拋

物線的定義知|旬=|A耳，|3。|=|5".

IPMIIApIIAPI

因為APHMFUBQ，所以言蒲=吊=篇.因為NAPM=NBQM=90。，

IIIIII

所以A4PM~ABQM,從而四"=四［=3^=4

m|BM|\BQ\|BF|

設(shè)直線/的傾斜角為a,不妨設(shè)0Wa<1^,如圖，則|A目=|明=四月+|4qcosa=〃+|A同cosa,

|AF|=-R—,同理忸司=—E—,

l-cos(21+cosa

P

則吧=1-cosaj+c°sa=4,

|BF|p1-coscr

1+cosa

343

解得cosa=—,=tan=-,由對稱性還有&二一一滿足題意.

534

【點睛】

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的焦點弦問題，掌握拋物線的定義，把拋物線上點到焦點距離與它到距離聯(lián)系起

來是解題關(guān)鍵.

14.充分不必要

【解析】

由余弦的二倍角公式可得cos2?=cos2?-sin2a=(cosa-sina)(cose+sine)=0,即sina-cosa=0或

sina+cosa=0,即可判斷命題的關(guān)系.

【詳解】

由cos2a=cos2a—sin2a=(cosa-sina)(cosa+sina)=0,所以sina-cosa=0或sine+cosa=0,所以

“sina+cosa=0"是"cos2a=0”的充分不必要條件.

故答案為:充分不必要

【點睛】

本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷，考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.

【解析】

JT1271

根據(jù)三角函數(shù)定義表示出Xo=cos由同角三角函數(shù)關(guān)系式結(jié)合以拈(。+4)=一值求得5皿([+^)，而

(71\冗

x()=cosc=cosIa+—,展開后即可由余弦差角公式求得乙的值.

【詳解】

點尸(七,打)在單位圓。上，設(shè)=

由三角函數(shù)定義可知cos。=x),sina=y0,

E、，K3萬、r,71(71

因為ae(z，7),則a+萬

兀兀

所以X。=cosa=cosa+—

44

(乃、兀.(萬、.乃

=cosa+—cos—+sina+—sin—

I4；4I4；4

12V25V2-7夜

=---x----1---x---=-----

13213226

故答案為:二^.

26

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，余弦差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.1273

【解析】

根據(jù)R/AA0P與府AMCP相似，PD=2PC,過P作PO_LC。于。，利用體積公式求解0P最值，根據(jù)勾股定理

得出3〃2=_3f+48x—144,0<x<6,利用函數(shù)單調(diào)性判斷求解即可.

【詳解】

???在棱長為6的正方體ABCD-A4GA中，

M是8C的中點，點P是面。CG。所在平面內(nèi)的動點，

且滿足NAPD=NMPC,又NADP=NMCP=90，

二心人空印與用油。。相似

AnPD

...標(biāo)=元=2,即PD=2PC'

過p作/5o_L8于。，設(shè)“>=x,po=h,

Jx2+1=2^(6—%)'+h2,化簡得：

3〃2=—3f+48144，0<x<6,

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷，x=6時，3"取得最大值36,*『25

在正方體中P0，平面ABCD.

三棱錐P—體積的最大值為L1x6x6x2白=126

32

【點睛】

本題考查三角形相似，幾何體體積以及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，難度一般.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）272<r<3（2）點P的坐標(biāo)為（―g,O）

【解析】

⑴將拋物線方程y2=4x與圓方程（x-3）2+y2=/聯(lián)立，消去y得到關(guān)于X的一元二次方程，拋物線E與圓加有

四個交點需滿足關(guān)于x的一元二次方程在（0,+紀(jì)）上有兩個不等的實數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可得到關(guān)于r的

不等式組，解不等式即可.

（2）不妨設(shè)拋物線E與圓"的四個交點坐標(biāo)為A（玉,2嘉），8區(qū),—2禽），C（%,-2「），。區(qū),2人），據(jù)此可

表示出直線AD、BC的方程，聯(lián)立方程即可表示出點P坐標(biāo)，再根據(jù)等腰梯形的面積公式可得四邊形ABCD的面積5

的表達(dá)式，令t=，由f=也_戶及（1）知0<f<1，對關(guān)于t的面積函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性和最值，即可求出

四邊形ABCD的面積取得最大值時t的值，進(jìn)而求出點P坐標(biāo).

【詳解】

J2=4x,

（1）聯(lián)立拋物線與圓的方程,、2,,

[（x-3）-+y2=r2,

消去九得_2x+9=0.

由題意可知f一2x+9-產(chǎn)=0在（（）,+8）上有兩個不等的實數(shù)根.

A=4-4（9-/）>0,

所以，'7解得2夜<r<3，

9-r2>0,

所以廠的取值范圍為re（2夜,3）.

（2）根據(jù)（1）可設(shè)方程*2一2%+9-r=0的兩個根分別為玉，%2（0<玉<々），

則4（%,2毒），3（%,-2北），C（x2,-2yfx^）,D（x2,2y[x^）,

2

且玉+龍2=2,x{x2=9-r,

所以直線A。、8c的方程分別為

打2號2日-2入_%）,

七一%2

y+小2厄,

Xj-x2

聯(lián)立方程可得，點P的坐標(biāo)為卜質(zhì)',（）），

因為四邊形A3CD為等腰梯形，

所以5=3倍例+|0￡）|）《2_%）=14喜+4后）（尤2_%）

=2dxi+/+2dxi%-'（芯+々）2-40％2=2也+2也一產(chǎn)■,4_4（9一r）,

令f=,9-產(chǎn)e（O,l）,則/（f）=S2=4（2+2f）（4—4"）=-32（d+27—1）,

所以/'(f)=_32(3『+2f_l)=_32?+l)(3-l),

因為0<f<l,所以當(dāng)0<f<；時,./(。>0；當(dāng)：</<1時,/'(/)<0,

所以函數(shù)/?)在(0,1)上單調(diào)遞增，在4,1)上單調(diào)遞減，

即當(dāng)r時，四邊形ABCD的面積S取得最大值，

因為一"E=—￡,點尸的坐標(biāo)為卜”^,。)，

所以當(dāng)四邊形ABCD的面積S取得最大值時，點P的坐標(biāo)為(-1,0).

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值、拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓錐曲線相關(guān)的最值問題；考查運算求解能力、

轉(zhuǎn)化與化歸能力和知識的綜合運用能力;利用函數(shù)的思想求圓錐曲線中面積的最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強、

難度大型試題.

18.(1)見證明；(2)叵

3

【解析】

(1)取尸。中點G,可證EFGA是平行四邊形，從而EE||AG,得證線面平行；

(2)取A。中點。，連結(jié)尸。，可得P。，面ABCO,連交CE于"，可證NPMO是二面角P—EC—。的平

面角，再在"MO中求解即得.

【詳解】

(1)證明：取尸。中點G,連結(jié)GRAG

-.GF為△PDC的中位線，..GF//CD且GF=-CD,

2

又AE//C。且AE='CO,Gf7/AE且GF=AE,

2

：,EFGA是平行四邊形，則EF\\AG,

又EF(Z面PAO，AGu面PAD，

.?.印〃面PAD；

(2)解：取AO中點。，連結(jié)尸0,

?.?面弘。，面鉆8,△PAD為正三角形，

.1POJ■面ABCO,且P0=6，

連08交CE于M,可得Rt^EBC^Rt^OAB,

；.ZMEB=ZAOB,則ZME8+ZM8E=90°,即OMLEC.

連PM,又P0上EC,

可得EC，平面POM,則尸M_L￡C,

即ZPMO是二面角P-EC-D的平面角，

在RMEBC中,BM=BEBC=^_OM=OB-BM

CE55

二tanZPMO=膽=叵,即二面角P-EC-D的正切值為巫.

0M33

【點睛】

本題考查線面平行證明，考查求二面角.求二面角的步驟是一作二證三計算.即先作出二面角的平面角，然后證明此

角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中計算.

19.(I)(II)AC=2y/]Q

sinC3

【解析】

(I)利用三角形面積公式以及25o利并結(jié)合正弦定理，空=冬，可得結(jié)果.

sinCsmA

(U)根據(jù)SMCD=25^8。，可得。，然后使用余弦定理4。2=.2+8。2一245.3。5布48。，可得結(jié)果.

【詳解】

71

(I)ZCBD=2ZABD=-所以

39

ITT177

-BCBDsin-^2x-ABBDsin-

2326

BC2sinA2273

所以=—f==>----=-p=-=-----;

ABV3sinCV33

(II)-BC-BDsin20=2x-AB-BDsin0,

22

所以4x2sinOcos。=2x2&sin3=>cos6=，

2

所以。=工，ZABC=30=—,

44

所以AC2=i6+8—2x4x2Cx1—￡=40,

所以邊AC=2j而.

【點睛】

本題考查三角形面積公式，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于識記公式，屬中檔題.

20.(1)—+y~=1(2)f4,

4-I25」

【解析】

(1)設(shè)坐標(biāo)后根據(jù)向量的坐標(biāo)運算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，用坐標(biāo)表示出麗，麗，得到EP_LEQ,

所以IEP|2+|EQF=|PQF，代入韋達(dá)定理即可求解.

【詳解】

(1)設(shè)A(/,()),8(0,%),則x；+y；=9,

-<3

、n1,tiutiuuu_X—2(x—x)xo=~Zx

設(shè)"(x,y),由6M=2M4得｛o可.=>12.

y-%=2(0-y)[%=3y

又由于([x]+(3y)2=9,

2

化簡得M的軌跡C的方程為三+V=1.

4-

3

（2）設(shè)直線P。的方程為>二"一］,

與c的方程聯(lián)立，消去>得（1+4攵2卜2一眷去一||=0,

A>0,設(shè)P(X|,y),Q(x2,y2),

24k-64

則Xy+XX-X,=-----------------7

25+20k2'25+100公

由已知=-1),E2=(^,y2-1),則

EPEQ=xyx2+(>1,-l)(y2-1)=x,x2+

-648,24k64

%xF

2

25+100女25___5+20k__25

-64-64k2-192k2+64+256k2

25+100Z:2

故直線EP_LEQ.

|F+1EQF=|「0『=0+%2)[@+J_4a

=(1+國J/24ky_4x-64]=64(l+1)(25F+4)

1415+20^125+lOOF1250+4/『

64(4+29A:2+25P)

25(1+4Zr2)2'

令l+4/=f,則

4[-27+66.+25戶]

25?

由于7=1+4/210<-<1,

t

4<|言.

/256

所以，|改『+|七。|2的取值范圍為4,；1.

【點睛】

此題考查軌跡問題，橢圓和直線相交，注意坐標(biāo)表示向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化的處理技巧，屬于較難題目.

21.(1)/的普通方程y=x-2；C的直角坐標(biāo)方程y=2ax；(2)a=\.

【解析】

(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用消去參數(shù)f即可得到直線

/的直角坐標(biāo)方程；

(2)將直線/的參數(shù)方程，代入曲線。的方程，利用參數(shù)的幾何意義即可得出|PM|?|PN|,從而建立關(guān)于“的方程,

求解即可.

【詳解】

烏

-+

2

-2

克消去參數(shù)，得,

(1)由直線/的參數(shù)方程＜-4+

-2

y=-4+x+2,即y=x-2為/的普通方程

由psin?0=2GCOS6),兩邊乘以「得dsin?6=2。/?cos。

■1.y=2辦為c的直角坐標(biāo)方程.

名

x=-2+2

(2)將，0代入拋物線y2=2ax得/一2y/2(a+4"+32+8。=()

y=-4+2.

△=(2向a+4))2-4(32+8a)>()

+1-,=+4)>0

科=32+8a>0

">0,r2>0

由已知IPM1,1MN1,1PN|成等比數(shù)列,

MNF=|PM\-\PN\

即乂一以=同也|，(。+幻2-4%=能，?+，2『=5%，

（2V2（a+4）f=5（32+8。）整理得?2+3?-4=0

。=一4(舍去)或4=1.

【點睛】

熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線/的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

2

22.(1)AB的中點的橫坐標(biāo)為§；(2)證明見解析；(3)(-2,2)

【解析】

設(shè)4（%,乂）,8（＞2，%）.