2017-2021北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：勾股定理的逆定理

11/112017-2021北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編勾股定理的逆定理一、單選題1．（2019·北京八十中八年級(jí)期中）下列各組數(shù)據(jù)中能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）A．1，2，2 B．1，1， C．4，5，6 D．1，，22．（2018·北京四中八年級(jí)期中）以下列各組數(shù)為三邊的三角形中不是直角三角形的是（）A．9、12、15 B．41、40、9 C．25、7、24 D．6、5、43．（2017·北京·人大附中八年級(jí)期中）分別以每一組的三個(gè)數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：（），，；（），，；（），，；（），，，期中能構(gòu)成直角三角形的有（）．A．組 B．組 C．組 D．組4．（2018·北京師大附中八年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，是直角三角形的三條邊長(zhǎng)的是()A．1，3，3 B．3，4，5 C．2，3，7 D．4，6，75．（2019·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的線段能構(gòu)成直角三角形的是()A．2，4，4 B．，2，2 C．3，4，5 D．5，12，146．（2020·北京四中八年級(jí)期中）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，67．（2021·北京師大附中八年級(jí)期中）下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可以作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）A．1，2，3 B．2，4，7 C．6，8，10 D．8．（2019·北京師大附中八年級(jí)期中）下列三角形中不是直角三角形的是（）A．三個(gè)內(nèi)角之比為5：6：1 B．三邊長(zhǎng)為5，12，13C．三邊長(zhǎng)之比為1.5：2：3 D．其中一邊上的中線等于這一邊的一半9．（2019·北京四中八年級(jí)期中）以下列長(zhǎng)度的三條線段為邊能組成直角三角形的是（）A．6，7，8 B．2，3，4 C．3，4，6 D．6，8，10二、解答題10．（2021·北京·北大附中八年級(jí)期中）對(duì)于平面內(nèi)的圖形G1和圖形G2，A為圖形G1上一點(diǎn)，B為圖形G2上一點(diǎn)，如果線段AB的長(zhǎng)度有最小值，稱圖形G1和圖形G2存在“最短距離”，此時(shí)線段AB的長(zhǎng)度記為m（G1，G2）；如果線段AB的長(zhǎng)度有最大值，稱圖形G1和圖形G2存在“最長(zhǎng)距離”，此時(shí)線段AB的長(zhǎng)度記為M（G1，G2）．例如：線段EF兩端點(diǎn)坐標(biāo)為E（1，3），F(xiàn)（3，1），線段KH兩端點(diǎn)坐標(biāo)為K（3，3），H（3，5），根據(jù)“最短距離”和“最長(zhǎng)距離”的公式可得m（G1，G2）＝，M（G1，G2）＝4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．（1）線段AD和線段BC是否存在“最短距離”和“最長(zhǎng)距離”？如果存在，請(qǐng)直接寫出m（AD，BC）和M（AD，BC）；如果不存在，請(qǐng)說明理由．（2）已知點(diǎn)P（0，t），若過點(diǎn)P且平行于AD的直線l與四邊形ABCD沒有公共點(diǎn)，且m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超過最大值的，求t的取值范圍．（3）已知四邊形QRST，其中Q（4，5），R（5，4），S（6，5），T（5，6）．現(xiàn)將四邊形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖形記為A′B'C′D′，記m*表示m（A'B′C′D′，QRST）的最小值，M*表示M（A′B'C′D′，QRST）的最大值，直接寫出M*+m*的值．11．（2019·北京師大附中八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分線，DE分別交BC、AB于點(diǎn)D、E.(1)求證：△ABC為直角三角形．(2)求AE的長(zhǎng)．12．（2019·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．（1）直接寫出四邊形ABCD的面積和周長(zhǎng)；（2）求證：∠BCD=90°．

參考答案1．D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：A、∵12+22＝5≠22，∴此組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵12+12＝2≠（）2，∴此組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵42+52＝41≠62，∴此組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵12+（）2＝4＝22，∴此組數(shù)據(jù)能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故本選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．2．D【詳解】選項(xiàng)A，92+122=225=152；選項(xiàng)B，402+92=1681=412；選項(xiàng)C，72+242=625=252；選項(xiàng)D，52+42≠62，根據(jù)勾股定理的逆定理可知，只有選項(xiàng)D不能夠成直角三角形．故選D．3．B【解析】（1）∵，∴長(zhǎng)為3、4、5的線段能夠構(gòu)成直角三角形；（2）∵，∴長(zhǎng)為5、12、13的線段能構(gòu)成直角三角形；（3）∵，∴長(zhǎng)為8、15、17的線段能構(gòu)成直角三角形；（4）∵，∴長(zhǎng)為3、4、5的線段不能構(gòu)成直角三角形.綜上所述，上述四組線段中，能構(gòu)成直角三角形的有3組.故選B.點(diǎn)睛：根據(jù)勾股定理的逆定理可知：三條線段中，若是最長(zhǎng)線段，且，則這三條線段能圍成直角三角形.4．B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】12+(3)232+42=52，故B選項(xiàng)能組成直角三角形，22+(7)242+62≠72，故D選項(xiàng)不能組成直角三角形，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，只需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】A．∵22+42=20≠42，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵()2+22=6≠22，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵32+42=25=52，∴能夠構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D．∵52+122=169≠142，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．6．A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理的內(nèi)容和三角形三邊關(guān)系逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、∵12+（）2＝22，∴以1，，2為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；B、1+1＝2，不符合三角形三邊關(guān)系定理，不能組成三角形，也不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵22+32≠42，∴以2，3，4為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵42+52≠62，∴以4，5，6為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的逆定理及三角形三邊關(guān)系，掌握勾股定理的逆定理及三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形判定則可．【詳解】解：A、12+22=5≠32，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B、22+42=20≠72，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；C、62+82=100=102，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；D、，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．8．C【分析】根據(jù)直角三角形的定義，只有三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)三角形是直角三角形?！驹斀狻緼內(nèi)角之比計(jì)算可得三個(gè)內(nèi)角分別為：，，，因此為直角三角形；B根據(jù)勾股定理可得，故三角形為直角三角形；C不是直角三角形，根據(jù)勾股定理不符合；D根據(jù)直角三角形斜邊的中線定理可以判斷是直角三角形，故選C。【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的定義，關(guān)鍵在于計(jì)算一個(gè)角為，綜合性比較強(qiáng)，應(yīng)當(dāng)熟練掌握。9．D【分析】根據(jù)勾股定理逆定理即兩短邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方逐一判斷即可．【詳解】解：．，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；．，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；．，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；．，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．10．（1）存在，m（AD，BC）＝，M（AD，BC）＝；（2）0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）M*+m*＝+．．【分析】（1）連結(jié)AB并延長(zhǎng)AB到G，過D，C作DE⊥AG，CF⊥AG，分別交于E、F，先證AB∥x軸，再證△ADE為等腰直角三角形，可得∠DAE=45°，再證△CBF為等腰直角三角形，可得∠CBG=45°，可得AD∥BC，利用勾股定理逆定理可證BD⊥AD，可求m（AD，BC）＝，M（AD，BC）＝；（2）由過P的直線l平行于AD，且與?ABCD無交點(diǎn)，可證l∥BC，當(dāng)l在AD左側(cè)時(shí)：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），由m（l，ABCD）＝m（l，AD），可得m（AD，BC）＝，由m（l，BC）＝2m（l，AD），可得m（l，AD）＝，求出AD解析式為，可求過P與AD平行的直線為+,可證△OAP為等腰直角三角形，利用勾股定理OP=t=，可得0＜t≤2，當(dāng)l在BC右側(cè)時(shí)，用相同方法求BC解析式為，證明△OKN為等腰直角三角形再證△KLP為等腰直角三角形，利用勾股定理PK，可求t＝﹣4，可得﹣4≤t＜﹣2；（3）先求M（O，ABCD）＝，M（O，QRST），取QR的中點(diǎn)W（），再求m（O，QRST）＝|OW|=，可求M*＝+，m*＝﹣即可．【詳解】解：（1）連結(jié)AB并延長(zhǎng)AB到G，過D，C作DE⊥AG，CF⊥AG，分別交于E、F，∵A（1，1），B（3，1），兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，∴AB∥x軸，∵點(diǎn)A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．∴E（2，1），F(xiàn)（4，1），∴AE=2-1=1，DE=2-1=1，AE=DE，DE⊥AE，∴△ADE為等腰直角三角形，∴∠DAE=45°，∵BF=4-3=1，CF=2-1=1，CF=BF，CF⊥BF，∴△CBF為等腰直角三角形，∴∠CBG=45°，∴∠DAE=∠CBG=45°，∴AD∥BC，又∵EB=3-2=1=AE=DE，∴AD2+BD2=，∴BD⊥AD∴AD、BC間最短距離為BD，即m（AD，BC）＝，∴AD、BC間最長(zhǎng)為AC，即M（AD，BC）＝；（2）∵過P的直線l平行于AD，且與?ABCD無交點(diǎn)，∴l(xiāng)∥BC，∴當(dāng)l在AD左側(cè)時(shí)：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），m（l，ABCD）＝m（l，AD），由（1）知，m（AD，BC）＝，若m（l，BC）＝2m（l，AD），則m（l，AD）＝，設(shè)AD解析式為解得AD解析式為過P與AD平行的直線為+,∵OA==m（l，AD），過A作PA⊥AD，交y軸于P，∴△OAP為等腰直角三角形，∴OP=t=，∵直線l在O、P之間運(yùn)動(dòng)∴0＜t≤2，∴當(dāng)0＜t≤2時(shí)，m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超過最大值的，當(dāng)l在BC右側(cè)時(shí)，m（l，AD）＝m（l，BC）+m（AD，BC），m（l，ABCD）＝m（l，BC），由（1）知，m（AD，BC）＝，若m（l，AD）＝2m（l，BC），則m（l，BC）＝，設(shè)BC的解析式為為解得BC解析式為直線BC與y軸交點(diǎn)為K（0，-2），與x軸交點(diǎn)N（2，0）∴OK=ON=2，∴△OKN為等腰直角三角形∴∠OKN=45°，過K作KL⊥l于L，則KL=，∵∠PKL=180°-∠OKN-∠NKL=45°∴△KLP為等腰直角三角形，∴PL=KL=，在Rt△KLP中PK=，∴-2-t=2∴t＝﹣4，∵直線l在BC下方到t=-4之間運(yùn)動(dòng)，∴﹣4≤t＜﹣2，當(dāng)﹣4≤t＜﹣2時(shí)，m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超過最大值的，∴不超過最大值時(shí)：0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）由題意知，M（O，ABCD）＝|OC|＝，M（O，QRST）=|OS|＝，取QR的中點(diǎn)W（），m（O，QRST）＝|OW|=，∴M*＝+，m*＝﹣，∴M*+m*＝+．【點(diǎn)睛】本題考查新定義距離問題，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直線平行判定，勾股定理定理與逆定理，兩點(diǎn)間距離，直線解析式，截距范圍，利用輔助線畫出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．11．(1)見解析；(2)AE的長(zhǎng)是.【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE=CE，設(shè)AE=x，則EC=4-x，根據(jù)勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可．【詳解】（1）證明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，又∵42+32=52，即AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）證明：連接CE．

∵DE是BC的垂直平分線，∴EC=EB，設(shè)AE=x，則EC=4-x．∴x2+32=（4-x）2．解之得x=，即AE的長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．12．（1）四邊形ABCD的面積為14.5，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是3；（2）證明見解析．【分析】（1）用四邊形ABCD所在長(zhǎng)方形的面積減去4個(gè)小三