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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,則()A.21 B.22 C.11 D.122.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,3.已知盒中有3個紅球,3個黃球,3個白球,且每種顏色的三個球均按,,編號,現(xiàn)從中摸出3個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好不同時包含字母,,的概率為()A. B. C. D.4.已知橢圓+=1(a>b>0)與直線交于A,B兩點,焦點F(0,-c),其中c為半焦距,若△ABF是直角三角形,則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.5.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,則|a+bi|=().A. B. C. D.56.已知函數(shù),且關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍().A. B. C. D.7.為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上所有的點()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度8.過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線,若與軸的交點坐標為,則該雙曲線的標準方程可能為()A. B. C. D.9.若函數(shù)的圖象上兩點,關(guān)于直線的對稱點在的圖象上,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.正方形的邊長為,是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點,且,則的最小值為()A. B. C. D.11.在平面直角坐標系中,若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點,使不等式成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.12.設(shè)為坐標原點,是以為焦點的拋物線上任意一點,是線段上的點,且,則直線的斜率的最大值為()A.1 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若x,y滿足,則的最小值為________.14.過點,且圓心在直線上的圓的半徑為__________.15.從集合中隨機取一個元素,記為,從集合中隨機取一個元素,記為,則的概率為_______.16.的三個內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中.(1)當(dāng)時,求在的切線方程;(2)求證:的極大值恒大于0.18.(12分)在中,.(Ⅰ)求角的大?。唬á颍┤簦?,求的值.19.(12分)若關(guān)于的方程的兩根都大于2,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設(shè)為的中點,且,的平分線交于點,求線段的長.21.(12分)設(shè)點,分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上任意一點,且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,動直線與橢圓有且僅有一個公共點,點,是直線上的兩點,且,,求四邊形面積的最大值.22.(10分)已知橢圓:,不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于,兩點.(Ⅰ)若線段的中點坐標為,求直線的方程;(Ⅱ)若直線過點,點滿足(,分別為直線,的斜率),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
由題意知成等差數(shù)列,結(jié)合等差中項,列出方程,即可求出的值.【詳解】解:由為等差數(shù)列,可知也成等差數(shù)列,所以,即,解得.故選:A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差中項.對于等差數(shù)列,一般用首項和公差將已知量表示出來,繼而求出首項和公差.但是這種基本量法計算量相對比較大,如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),可使得計算量大大減少.2、B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.3、B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時包含字母,,”為,利用對立事件的概率公式計算可得;【詳解】解:從9個球中摸出3個球,則基本事件總數(shù)為(個),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”記事件“恰好不同時包含字母,,”為,則.故選:B【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式,考查了排列組合的知識,解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點A,B兩點,利用平面向量垂直的坐標表示得到關(guān)于的關(guān)系式,解方程求解即可.【詳解】聯(lián)立方程,解方程可得或,不妨設(shè)A(0,a),B(-b,0),由題意可知,·=0,因為,,由平面向量垂直的坐標表示可得,,因為,所以a2-c2=ac,兩邊同時除以可得,,解得e=或(舍去),所以該橢圓的離心率為.故選:A【點睛】本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、離心率的求解、平面向量垂直的坐標表示;考查運算求解能力和知識遷移能力;利用平面向量垂直的坐標表示得到關(guān)于的關(guān)系式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.5、C【解析】試題分析:由已知,-2a+i=1-bi,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,選C考點:復(fù)數(shù)的代數(shù)運算,復(fù)數(shù)相等的充要條件,復(fù)數(shù)的模6、B【解析】
根據(jù)條件可知方程有且只有一個實根等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點,作出圖象,數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】解:因為條件等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點,作出圖象如圖,由圖可知,,故選:B.【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點之間的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
通過變形,通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象,故答案為D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換,難度不大.8、A【解析】
直線的方程為,令,得,得到a,b的關(guān)系,結(jié)合選項求解即可【詳解】直線的方程為,令,得.因為,所以,只有選項滿足條件.故選:A【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標準方程,考查運算求解能力.9、D【解析】
由題可知,可轉(zhuǎn)化為曲線與有兩個公共點,可轉(zhuǎn)化為方程有兩解,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點,關(guān)于直線的對稱點在上,即曲線與有兩個公共點,即方程有兩解,即有兩解,令,則,則當(dāng)時,;當(dāng)時,,故時取得極大值,也即為最大值,當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以滿足條件.故選:D【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.10、C【解析】
分別以直線為軸,直線為軸建立平面直角坐標系,設(shè),根據(jù),可求,而,化簡求解.【詳解】解:建立以為原點,以直線為軸,直線為軸的平面直角坐標系.設(shè),,,則,,由,即,得.所以=,所以當(dāng)時,的最小值為.故選:C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
依據(jù)線性約束條件畫出可行域,目標函數(shù)恒過,再分別討論的正負進一步確定目標函數(shù)與可行域的基本關(guān)系,即可求解【詳解】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,如圖所示:其中,直線過定點,當(dāng)時,不等式表示直線及其左邊的區(qū)域,不滿足題意;當(dāng)時,直線的斜率,不等式表示直線下方的區(qū)域,不滿足題意;當(dāng)時,直線的斜率,不等式表示直線上方的區(qū)域,要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點,使不等式成立,只需直線的斜率,解得.綜上可得實數(shù)的取值范圍為,故選:B.【點睛】本題考查由目標函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題,分類討論與數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題12、A【解析】
設(shè),因為,得到,利用直線的斜率公式,得到,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由題意,拋物線的焦點坐標為,設(shè),因為,即線段的中點,所以,所以直線的斜率,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以直線的斜率的最大值為1.故選:A.【點睛】本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用,直線的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、5【解析】
先作出可行域,再做直線,平移,找到使直線在y軸上截距最小的點,代入即得?!驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域,如圖,令,則,作出直線,平移直線,由圖可得,當(dāng)直線經(jīng)過C點時,直線在y軸上的截距最小,由,可得,因此的最小值為.故答案為:4【點睛】本題考查不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題,是基礎(chǔ)題。14、【解析】
根據(jù)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,結(jié)合圓心所在直線方程,即可求得圓心坐標.由兩點間距離公式,即可得半徑.【詳解】因為圓經(jīng)過點則直線的斜率為所以與直線垂直的方程斜率為點的中點坐標為所以由點斜式可得直線垂直平分線的方程為,化簡可得而弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,且圓心在直線上,設(shè)圓心所以圓心滿足解得所以圓心坐標為則圓的半徑為故答案為:【點睛】本題考查了直線垂直時的斜率關(guān)系,直線與直線交點的求法,直線與圓的位置關(guān)系,圓的半徑的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先求出隨機抽取a,b的所有事件數(shù),再求出滿足的事件數(shù),根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果.【詳解】解:從集合中隨機取一個元素,記為,從集合中隨機取一個元素,記為,則的事件數(shù)為9個,即為,,,其中滿足的有,,,共有8個,故的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的計算,解題的關(guān)鍵是準確列舉出所有事件數(shù).16、【解析】
利用正弦定理邊化角可得,從而可得,進而求解.【詳解】由,由正弦定理可得,即,整理可得,又因為,所以,因為,所以,故答案為:【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo),代入,求出在處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值,由此即可求得切線方程;(2)分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】(1),當(dāng)時,,,則在的切線方程為;(2)證明:令,解得或,①當(dāng)時,恒成立,此時函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴函數(shù)無極值;②當(dāng)時,令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴;③當(dāng)時,令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴,綜上,函數(shù)的極大值恒大于0.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】試題分析:(1)由正弦定理得到.消去公因式得到所以.進而得到角A;(2)結(jié)合三角形的面積公式,和余弦定理得到,聯(lián)立兩式得到.解析:(I)因為,所以,由正弦定理,得.又因為,,所以.又因為,所以.(II)由,得,由余弦定理,得,即,因為,解得.因為,所以.19、【解析】
先令,根據(jù)題中條件得到,求解,即可得出結(jié)果.【詳解】因為關(guān)于的方程的兩根都大于2,令所以有,解得,所以.【點睛】本題主要考查一元二次方程根的分布問題,熟記二次函數(shù)的特征即可,屬于常考題型.20、(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質(zhì)求角及最大邊;(2)根據(jù)的長度求出,再根據(jù)面積比值求,從而求出.【詳解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因為在中,,所以,因為(當(dāng)且僅當(dāng)時取等),所以長的最小值為;(2)在三角形中,因為為中線,所以,,所以,因為,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因為為角平分線,,,或2,所以,或,所以.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1);(2)2.【解析】
(1)利用的最小值為1,可得,,即可求橢圓的方程;(2)將直線的方程代入橢圓的方程中,得到關(guān)于的一元二次方程,由直線與橢圓僅有一個公共點知,即可得到,的關(guān)系式,利用點到直線的距離公式即可得到,.當(dāng)時,設(shè)直線的傾斜角為,則,即可得到四邊形面積的表達式,利用基本不等式的性質(zhì),結(jié)合當(dāng)時,四邊形是矩形,即可得出的最大值.【詳解】(1)設(shè),則,,,,由題意得,,橢圓的方程為;
(2)將直線的方程代入橢圓的方程中,得.
由直線與橢圓僅有一個公共點知,,化簡得:.
設(shè),,當(dāng)時,設(shè)直線的傾斜角為,則,,,,∴當(dāng)時,,,.當(dāng)時,四邊形是矩形,.
所以四邊形面積的最大值為2.【點睛】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識、二次函數(shù)的
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