北師大版八年級(jí)下冊(cè)第五章第四節(jié)分式方程講義設(shè)計(jì)

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【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

認(rèn)識(shí)分式方程的定義，根及增根的意義，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程．

會(huì)列出分式方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題．

【重點(diǎn)梳理】

重點(diǎn)一、分式方程

分式方程分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.

重點(diǎn)解說(shuō)：（1）分式方程的重要特點(diǎn)：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).

（2）分式方程和整式方程的差別就在于分母中能否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，

分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.

雋淶癭憮魷癱鐠詭鹼軋殞鰱鬮賅屜。（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程能夠轉(zhuǎn)變?yōu)檎椒匠?

重點(diǎn)二、分式方程的解法

1.解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)變?yōu)檎椒匠?轉(zhuǎn)變方法是方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母.在去分母這一步變

形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的根，這類根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，因此解分式方程時(shí)一定

驗(yàn)根.

分式方程的一般步驟：

穎廣脛嶼檻貳圍獰璦長(zhǎng)圖蕪臠裝銀。1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；

躦輇錁臍儀絎騎皸鮚饈賦鐿讜崗賡。2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；

（3）查驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這

個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.

重點(diǎn)三、根與增根

樹蕪鋮濰變轅揮襯說(shuō)軟儷穌顛輪飫。分式方程的根、增根及查驗(yàn)分式方程的解也叫作分式方程的根．

在查驗(yàn)時(shí)只需把所求出的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母中，假如它使最簡(jiǎn)公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一個(gè)根；

假如它使最簡(jiǎn)公分母的值為O，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根．

重點(diǎn)解說(shuō)：（1）增根的產(chǎn)生的原由：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)心義，因此分式方程，不同意未知數(shù)取哪些

廢競(jìng)喲誠(chéng)賄隕剮謾鰒錸頻澤廂靄賑。使分母的值為零的值，即分式方程自己就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)變?yōu)檎椒匠檀撕?，這類限制撤消了，換言之，

雋凈岡鉦蠅內(nèi)徠轄檸嚶繹鉍欄熾勻。方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，假如轉(zhuǎn)變后的整式方程的根恰巧是原方程未知數(shù)的同意值以外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．濟(jì)諗鋏賜穩(wěn)嘔詢諛籬僅個(gè)釋頭摜臚。（2）查驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母能否為0，假如為0，則是增根；如蠟蟄漬訥囁緯潁厴單檸壺償隱闌閶。果不是0，則是原分式方程的根．

重點(diǎn)四、分式方程的應(yīng)用

分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.

列分式方程解應(yīng)用題按以下步驟進(jìn)行：

1）審題認(rèn)識(shí)已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)目關(guān)系；

2）設(shè)未知數(shù)；

3）找出能夠表示題中所有含義的相等關(guān)系，列出分式方程；

4）解這個(gè)分式方程；

5）驗(yàn)根，查驗(yàn)是不是增根；

6）寫出答案.

重點(diǎn)解說(shuō)：1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．一定嚴(yán)格依據(jù)這五5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另

外還要注意完好性：如設(shè)和答表達(dá)要完好，要寫出單位等．

2、要掌握常有問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：速度=行程時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率=工作量工作時(shí)間等等．列分式方程

解應(yīng)用題必定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)解析題意，提升理解能力．

例題解析（每步過(guò)程1.怎樣想到，2.什么思想，3.技巧與方法）

考察角度1、分式方程的觀點(diǎn)

例1、以下對(duì)于x的方程中，是分式方程的是( )

傯閭躑錆敗謖峽鏡爐歸撈賁語(yǔ)媧懟。4＋x2＋3x2x－1xx7x－112A.＝B.＝＋3C.＋1＝2D.＝1－5672π2＋xx

考察角度2、列分式方程

例2、某工廠生產(chǎn)一種部件，計(jì)劃在20天內(nèi)達(dá)成，若每日多生產(chǎn)4個(gè)，則15天達(dá)成且還多生產(chǎn)10個(gè)．設(shè)原計(jì)劃每日生產(chǎn)x個(gè)，

依據(jù)題意可列分式方程為( )

崗會(huì)沒(méi)瀝淶鱟繅輸?shù)K鉿攬減東補(bǔ)鍰。A.20x＋10B.20x－10C.20x＋10D.20x－10＝15＝15＝15＝15x＋4x＋4x－4x－4

變式：有兩塊面積同樣的小麥試驗(yàn)田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000kg和15000kg.已知第一塊試

驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000kg分別求這兩塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量.贗帶倆剝騰頌聳嘰絕設(shè)島綽獲繪鶘。

2（1）你能找到這一問(wèn)題的所有等量關(guān)系嗎？（2）假如設(shè)第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量為xkg,那么第二塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量為kg.（3）第一塊實(shí)驗(yàn)田的面積；第二塊實(shí)驗(yàn)田的面積.（4）依據(jù)題意，可得方程.

考察角度3、由分式方程的解確立字母的取值范圍

2x＋a例3、對(duì)于

x的方程

x－1

＝1

的解是正數(shù)，則

a的取值范圍是

．

考察角度4、求分式方程的增根

3a4例4、若方程x－2＝x＋x（x－2）有增根，則增根為( )

A．0B．2C．0或2D．1

考察角度5、解分式方程

例5、解方程：

5711－x(1)＝x－2；(2)－2＝2－－3.xxx

變式：解以下方程（12xx2x考察角度6、分式方程有增根，求字母的值

2m例6、假如對(duì)于x的分式方程＝1－有增根，則m的值為( )x－3x－3

A．－3B．－2C．－1D．3

考察角度7、分式方程無(wú)解，求字母的值

2mx3例7、若對(duì)于x的分式方程x－2＋x2－4＝x＋2無(wú)解，求m的值．

考察角度8、工程問(wèn)題

例8、抗洪搶險(xiǎn)時(shí)，需要在一準(zhǔn)時(shí)間內(nèi)筑起攔洪大壩，甲隊(duì)獨(dú)自做正好如期達(dá)成，而乙隊(duì)因?yàn)槿松伲?dú)自做則超期3個(gè)小時(shí)才能

達(dá)成．現(xiàn)甲、乙兩隊(duì)合作2個(gè)小時(shí)后，甲隊(duì)又有新任務(wù)，余下的由乙隊(duì)獨(dú)自做，恰巧如期達(dá)成．求甲、乙兩隊(duì)獨(dú)自達(dá)成所有工程各

需多少小時(shí)？

蘇調(diào)簽闋東鯽藎賂嫻膠斂頁(yè)烏覓燈?？疾旖嵌?、行程問(wèn)題

例9、從廣州到某市，可乘坐一般列車或高鐵，已知高鐵的行駛行程是400千米，一般列車的行駛行程是高鐵的行駛行程的1.3

倍．漢鳳煙螄鰻釋紛沖貺繪債饈榪彥剴。

4求一般列車的行駛行程；

(2)若高鐵的均勻速度(千米/時(shí))是一般列車均勻速度(千米/時(shí))的2.5倍，且乘坐高鐵所需時(shí)間比乘坐一般列車所需時(shí)間縮短3

小時(shí)，求高鐵的均勻速度．

考察角度10、圖表信息類問(wèn)題

例10、某學(xué)校為鼓舞學(xué)生踴躍參加體育鍛煉，派王老師和李老師去購(gòu)置一些籃球和排球．回校后，王老師和李老師編寫了一道題：

掄謔騾衛(wèi)嶧閭?cè)埱{盧婁鴇鋤鯁脫。同學(xué)們，懇求出籃球和排球的單價(jià)各是多少元？

考察角度11、銷售盈虧問(wèn)題例11、佳佳果品店在批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)置某種水果銷售，第一次用1200元購(gòu)進(jìn)若干千克，并以每千克8元銷售，很快售完．因?yàn)樗麩徜N，第二次購(gòu)置時(shí)，每千克的進(jìn)價(jià)比第一次提升了10%，用1452元所購(gòu)置的數(shù)目比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出現(xiàn)高溫天氣，水果不易保鮮，為減少損失，便降價(jià)50%售完節(jié)余的水果．

求第一次水果的進(jìn)價(jià)是每千克多少元？

該果品店在這兩次銷售中，整體上是盈余仍是損失？盈余或損失了多少元？

考察角度12、整體通分法

獵糞堯繒鍤驢鏢藹著確銳闊岡擁顱。a2a1例12、化簡(jiǎn)：a1

考察角度13、逐項(xiàng)通分法

112b4b3例13、計(jì)算：2b2a4b4ababa

考察角度14、先約分，后通分

6a26aa24例14、計(jì)算：22aa24a4a

考察角度15、整體代入法

112x5xy2y例15、已知y5，求2xyyxx

考察角度16、公式變形法例16、已知a25a10，計(jì)算：a41a4

考察角度17、設(shè)協(xié)助參數(shù)法

bcacababbcca例17、已知bc，計(jì)算：aabc

考察角度18、倒數(shù)法例18、已知a1，求a2的值2a174a2aa1

隨堂練習(xí)

1、從甲地到乙地有兩條公路：一條是全長(zhǎng)600km的一般公路，另一條是全長(zhǎng)480km的高速公路。某客車在高速公路上行駛的

均勻速度比在一般公路上快45km/h,由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間是由一般公路從甲地到乙地所需的時(shí)間的一半.求該客車

由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間.

這一問(wèn)題中有哪些等量關(guān)系？

潰鷲黷煩壞劑啟館嶼來(lái)肅鐳鈷閣視。(2)假如設(shè)客車由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間為xh,那么它由一般公路從甲地到乙地所需的時(shí)間為h(3)依據(jù)題意，可列方程.2、某市從今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)錢,每立方米水費(fèi)上升0.4元.小麗家昨年12月的水費(fèi)是15元,此刻年7月份的水費(fèi)是元.

假如設(shè)昨年每立方米水費(fèi)為x元。那么今年每立方米水費(fèi)為_________元。

小麗家昨年12月的用水量是_________立方米。

今年7月份的用水量是立方米

3、某工廠此刻均勻每日比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，此刻生產(chǎn)800臺(tái)所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間同樣，設(shè)原計(jì)劃

癩兗鉉戲鰱創(chuàng)靜禰襯贓嶇撐獎(jiǎng)豎撈。均勻每日生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，依據(jù)題意列方程

4、解以下方程：（2x5（2）7631）32xx21xx22x112xx

5、假如對(duì)于x的方程m2124x2有增根，求m的值xx2

8

31x6、先化簡(jiǎn)再求值：x1x2，此中x2x11

112x3xy2y7、已知5，求x2xy得值xyy

8、甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)為校文化藝術(shù)克制作彩旗。已知甲每小時(shí)比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗與乙做50面彩旗所用時(shí)間相

等，問(wèn)：甲、乙每小時(shí)各做多少面彩旗?縵圇級(jí)鼴鴉頑癮鄰漣闔擊躕罌叢鮭。

9、某文具廠計(jì)劃加工3000套繪圖工具，為了趕快達(dá)成任務(wù)，實(shí)質(zhì)每日加工繪圖工具的數(shù)目是原計(jì)劃的1.2倍，結(jié)果提早4天完寬攝糶傯績(jī)觶鑼銚顰鶇蕕邊厙馭敗。成任務(wù)，求該文具廠原計(jì)劃每日加工這類繪圖工具的數(shù)目。

10、暑期時(shí)期，某中學(xué)選拔了一批優(yōu)異學(xué)生到北京旅行，已知該中學(xué)到北京的距離是s千米，旅行車從學(xué)校按每小時(shí)v千米的速度

張?jiān)兣R鈉餌縫蘚晝毿氳鐺纖證尋篤。行駛，可按規(guī)準(zhǔn)時(shí)間抵達(dá)北京，為了讓同學(xué)們到天安門廣場(chǎng)看升旗儀式，旅行車每小時(shí)需多履行a千米，那么同學(xué)們可提早多長(zhǎng)時(shí)

錒監(jiān)鵠鋏龜譙儷瑋鷥?cè)^餉瓚釀豎侶。間抵達(dá)？

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