層次分析法例子

張老師需要購買一輛私家小轎車，他考慮的主要因素有：價(jià)格適中，售后比較好，轎車的動力性較好，燃油經(jīng)濟(jì)性相對較好。經(jīng)過轎車銷售商的介紹，他初步選擇了甲、乙、丙三款轎車，情況如表5-2所示：表5-2甲乙丙價(jià)格（萬元）352822售后服務(wù)稍差較好好動力性好較好一般燃油經(jīng)濟(jì)性較好好稍差下面利用AHP方法來幫助張老師選擇一套盡可能滿意的轎車。解：用AHP方法研究解決問題的具體步驟是：第一步：分析和細(xì)化具體問題，明確該問題的總目標(biāo)。第二步：構(gòu)建遞階的層次結(jié)構(gòu)模型。這是AHP的關(guān)鍵步驟。通常模型結(jié)構(gòu)分為3層，其中頂層為目標(biāo)層，中間層為準(zhǔn)則層（根據(jù)問題的復(fù)雜程度，每項(xiàng)準(zhǔn)則還可以細(xì)分為若干子準(zhǔn)則），最底層為方案層。（1） 目標(biāo)層。這是最高層次，或稱為理想結(jié)果層。如需要，可再分為總目際層，戰(zhàn)略目標(biāo)層，戰(zhàn)術(shù)目標(biāo)層以至子戰(zhàn)術(shù)目標(biāo)層等；（2） 準(zhǔn)則層。第二層次為評價(jià)準(zhǔn)則或衡量準(zhǔn)則，也可為因素層、約束層。同樣，可再分為子準(zhǔn)則層、子因素層等；（3） 措施層。第三層次為措施層，或?qū)Σ邔?、備擇對象（人選、方案）等層，對不同問題可有不同的描述。同樣，可再分為子措施層或子對策層等。構(gòu)造一個(gè)好的層次結(jié)構(gòu)對于問題的解決極為重要．它決定了分析結(jié)果的有效程度。層次結(jié)構(gòu)建立在決策者（或分析者）對問題全面深入認(rèn)識的基礎(chǔ)之上。如果在層次的劃分和確定層次的支配關(guān)系上舉棋不定，最好的辦法是重新分析問題，打亂原來的結(jié)構(gòu)，重新定義要素并建立新的結(jié)構(gòu)。第三步：構(gòu)造判斷矩陣，求本層次要素相對于上一層次要素的權(quán)重。建立了遞階層次后，上下層之間元素的隸屬關(guān)系就被確定了。假設(shè)上一層次的元素C作k為準(zhǔn)則，對下一層次的元素A,,A有支配關(guān)系。在此要在準(zhǔn)則C下，按其相對重要性對1nkA, ,A賦予相應(yīng)的權(quán)重（Weight）。對于大多數(shù)社會經(jīng)濟(jì)問題，特別是那些沒有統(tǒng)一指標(biāo)1n表示而僅靠人的經(jīng)驗(yàn)判斷和估計(jì)的問題，往往要通過適當(dāng)?shù)姆椒▉韺?dǎo)出其權(quán)重，以給出某種量化指標(biāo)或直接判斷元素之間的重要性。AHP中的方法是將本層次的要素Ai和Ajij（i,j=l,2,…，n）相對于上一層次要素ck（k=l,2,…,m）按照重要程度進(jìn)行兩兩比較，從而得到判斷矩陣A=（aij）nXi。在此，決策者或?qū)＜蚁到y(tǒng)要反復(fù)回答，對于準(zhǔn)則C，下層元素A和A哪一個(gè)更為重kij要，且重要多少，并對重要多少賦予1—9的比例標(biāo)度。比例標(biāo)度的意義見表5-3

表5-3比例標(biāo)度的意義標(biāo)度值兩個(gè)兀素相比，其中一個(gè)兀素比另一個(gè)兀素的重要程度1同樣重要3稍微重要5明顯重要7強(qiáng)烈重要9絕對重要2，4，6，8為上述相鄰判斷的中值若因素i與j比較得a，則因素j與因素i相比得1/aijij采用上述這種比例標(biāo)度的依據(jù)是：其一，心理學(xué)的實(shí)驗(yàn)表明，大多數(shù)人對不同事物在相同屬性上的差別的分辨能力在5?9級之間.采用1?9的標(biāo)度反映多數(shù)人的判斷能力；其二，大量的社會調(diào)查表明，1?9的比例標(biāo)度早已為人們所熟悉和采用；其三，科學(xué)考察表明：1?9的比例標(biāo)度已完全能夠標(biāo)度引起人們感覺差別的事物的各種屬性。在例中將甲、乙、丙轎車的相對價(jià)格因素（C1）兩兩比較時(shí)，得到如下的判斷矩陣表5-4：表5-4C1甲乙丙甲11/31/4乙311/2丙421合計(jì)810/37/4此外應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)被比較元素的屬性處于不同數(shù)量級時(shí)，應(yīng)將較高數(shù)量級元素進(jìn)一步分解，以保證被比較元素在所考慮的屬性上屬于同一數(shù)量級，視問題的特點(diǎn)，還可以采用0－1標(biāo)度、指數(shù)標(biāo)度等。由此，可以得到準(zhǔn)則C下的判斷矩陣A：A二（a）k ijnxnA矩陣的性質(zhì)見上一節(jié)內(nèi)容。若記A的最大特征根為九，屬于九的標(biāo)準(zhǔn)化的特征maxmax向量為W=（W],…,wn）T,則W],…,wn給出了因素A],…,An相對于因素C的按重要（或偏好）程度的一個(gè)排序，即層次單排序。第四步：計(jì)算判斷矩陣A的最大特征值九，對判斷矩陣A進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。max檢驗(yàn)的方法和原理見上一節(jié)內(nèi)容。主要利用一致性指標(biāo)CI進(jìn)行檢驗(yàn)，一般只要CI<0.1就可認(rèn)為判斷矩陣A是滿意的。AHP計(jì)算的根本問題是如何計(jì)算判斷矩陣的最大特征根和相應(yīng)的特征向量，對于這一問題可利用一般的線性代數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算。但從實(shí)用的角度來看，一般采用下面三種近似的算法來進(jìn)行計(jì)算：1、和積法為了簡化計(jì)算，可采用近似方法－和積法計(jì)算，它使得我們可以僅使用小型計(jì)算器在保證足夠精確度的條件下運(yùn)用AHP。其具體計(jì)算步驟為：（1）將判斷矩陣的每一列正規(guī)化，有：b二a/工a,i,j二1,2, ,n，ijij ijj=1

(2)每一列經(jīng)過正規(guī)化后的判斷矩陣按行相加：W=￡b,j=1,2 ,ni ijj=1W12(3)將向量W=[WW ,W]T正規(guī)化，得到：W=―—,i=1,2,,n121 2 n ie——￡W???j???j=1所得到的w=[w1,w2, ,wn]T即為所求的特征向量。(4)計(jì)算判斷矩陣的最大特征根九(4)計(jì)算判斷矩陣的最大特征根九，有:max九max￡naWnWi=1 inWi=1 i式中(AW)表示向量AW的第i個(gè)分量。i2、方根法為了簡化計(jì)算，AHP也可以采用另一種近似方法一方根法計(jì)算，其步驟為：(1)將判斷矩陣A的元素按行相乘，得到：u=寸aij ijj=12)所得的乘積分別開n次方，有：u=:2)iVj3)將方根向量正規(guī)化，即得到特征向量W：Wiu3)將方根向量正規(guī)化，即得到特征向量W：Wiu i—￡uii=14)計(jì)算判斷矩陣的最大特征根九，有:max九=max￡ni=1n^aWijjnWi=1 i式中(AW)同樣表示向量AW的第i個(gè)分量。i3、冪法計(jì)算特征根的幕法使我們有可能利用計(jì)算機(jī)來得到任意精度的最大特征根九及其max對應(yīng)的特征向量W。這一方法的計(jì)算步驟為:1)任取與判斷矩陣A同階的正規(guī)化的初始向量W0，例如w0=(1n,in/,Tn；/)(2)計(jì)算Wk+1=AWk,k=0,1,2n 1i=1(3)令卩=2W.z，計(jì)算Wk+1=Wk+1,k=0,1,2,(正規(guī)化)： i=1（4）對于預(yù)先給定的精確度￡，當(dāng)|Wk+1-Wk||<8對所有的i=1,2 ,n成立時(shí)，則計(jì)算停止，此時(shí)W=Wk+1即為所求的特征向量，否則繼續(xù)進(jìn)行（2）。判斷矩陣的最大特征值九可由下式求得:max九maxWk+九maxi nWki式中：n為矩陣的階數(shù)；Wk為向量Wk的第i個(gè)分量。例3用和積法計(jì)算下列判斷矩陣的最大特征根及其對應(yīng)的特征向量。表5-5BGBGC.5C.3C2C31/51/3131/31解：（1）按照上述的和積法的計(jì)算步驟（1），得到按列正規(guī)化后的判斷矩陣為：0.1110.1300.0770.5560.6520.6920.3330.2170.2312）按照步驟（2），按行相加得：W=￡b=0.111+0.130+0.077=0.317ij_ j=1W=0.556+0.652+0.692=1.9002W=0.333+0.217+0.231=0.7813（3）將向量W=[0.317 1.9000.781]T正規(guī)化得：_ =0.317j_ =0.317jj=1W=W,1jj=1W=1.90022.998W=0.78132.998+1.9000.3172.9980.6340.261+0.7810.1062.998則所求得的特征向量為：W=[0.1060.6340.261]T。（4）計(jì)算判斷矩陣的最大特征根九max

-1 1/5 1/3"-0.106"AW=5 1 30.6343 1/3 10.261(AW)=1x0.106+-x0.634+-x0.261=0.320TOC\o"1-5"\h\z5 3(AW)=5x0.106+1x0.634+3x0.261=1.9412(AW)=3x0.106+丄x0.634+1x0.261=0.7853 3九仝竺丄=(AW) (AW)-+ 2-,(AW)■+ 3max nW3W3W3Wii i1230.3201.9410.785-+-+——3.0363x0.106 3x0.634 3x0.261例中利用近似的方法(即和法)求特征向量，對價(jià)格因素的判斷矩陣求得的結(jié)果如表5-6：表5-6甲乙丙W.甲1/81/101/70.123乙3/83/102/70.320丙4/86/104/70.557計(jì)算最大特征值，對于價(jià)格因素有：11/31/4"0.1230.369AW—311/20.320—0.9784210.5571.6891九=—max3二1九=—max3二3.029++0.123 0.320 0.5573.029-33.029-33-1=0.0145CR=0.0145=0.028<0.10.52故對價(jià)格因素的判斷矩陣通過了一致性檢驗(yàn)，由該判斷矩陣計(jì)算得到的權(quán)重向量W=(0.123,0.320,0.557)T可作為甲、乙、丙三款轎車相對于價(jià)格因素的重要度比較。用相同的方法可列出甲、乙、丙三款轎車相對于其他三個(gè)因素的判斷矩陣如下：對C2對C2對C3對C41 1/5 1/8"1 1/5 1/8"5 1 1/58 5 11281/2161/81/611 1/3"3 11/5 1/7計(jì)算得到相應(yīng)的權(quán)重向量，連同對q的權(quán)重向量列于表5-7中:表5-7三款轎車相對各準(zhǔn)則的權(quán)重向量價(jià)格售后服務(wù)動力性燃油經(jīng)濟(jì)性甲0.1230.0620.5930.283乙0.3200.2120.3410.643丙0.5570.7260.0660.074以上判斷矩陣均通過了致性檢驗(yàn)。最后列出C、C、c、C這4個(gè)準(zhǔn)則相對于目標(biāo)的9 4判斷矩陣并計(jì)算出權(quán)重向量分別為如下j422"「0.44"41/411/21/20.111A=1/2211W=0.222_1/2211_0.222第五步：計(jì)算同一層次上的組合權(quán)系數(shù)。為了得到遞階層次結(jié)構(gòu)中每個(gè)層次中所有元素相對于總目標(biāo)的相對權(quán)重，需把前一步計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)組合，以計(jì)算出總排序的相對權(quán)重，并進(jìn)行層次和結(jié)構(gòu)的一致性檢驗(yàn)。在此，要由上而下逐層進(jìn)行，最終得出最低層元素，即決策方案優(yōu)先順序的相對權(quán)重和整個(gè)遞階層次模型的判斷一致性。（1）組合權(quán)系數(shù)的計(jì)算。設(shè)當(dāng)前層次上的因素為A、,…,A,相關(guān)的上一層因素為J，…,C,則對每個(gè)C.根據(jù)第三TOC\o"1-5"\h\z1 n 1 n i步的討論可以求出一個(gè)權(quán)向量wi=（wi, ,wi）。如果已知上一層m個(gè)因素的權(quán)重分別為1nawi，乙awi,乙aw：，如此一層層自上1m i1 i2 ini=1 i=1 i=1而下地求下去，一直到最底層所有因素的權(quán)系數(shù)（組合權(quán)系數(shù)）都求出來為止，根據(jù)最底層權(quán)系數(shù)的分布就可給出一個(gè)關(guān)于各方案優(yōu)先程度的排序，即層次總排序。在例2中，記s甲、s乙、s丙為三款轎車相對于購買一輛滿意轎車的總目標(biāo)的得分為:甲乙丙「s"「0.123甲s「s"「0.123甲s=0.320乙s0.557丙1—0.0620.2120.7260.5930.3410.0660.2830.6430.0740.4440.1110.2220.2220.256"0.3850.359按得分的排序結(jié)果，B款轎車對張老師來說滿意度是最高的。（2）組合判斷的一致性檢驗(yàn)。設(shè)第K層一致性檢驗(yàn)的結(jié)構(gòu)分別為CI,RI,CR，則第k+1層的相應(yīng)指標(biāo)為:kkkCI=(CI1,CI2,,CIm)ak-1k+1kkkRI=(RI1,RI2,,RIm)akk+1k kkCR=CR+CI/RIk+1 k k+1??k+1在此，叫分別為在k層第i個(gè)準(zhǔn)則下判斷矩陣的一致性指標(biāo)和平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。當(dāng)CRk+1<0.1時(shí)，則認(rèn)為遞階層次結(jié)構(gòu)在k