高中數(shù)學立體幾何之直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(講義)

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直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)（講義）一、直線與平面垂直（簡稱線面垂直）定義：如果直線l與平面α內(nèi)的 直線都垂直，我們就說直線l和平面α互相垂直其中直線l叫做平面α的 平面α叫做直線l的 直線與平面的交點叫做 ．直線l與平面α垂直記作：l⊥α．判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條 直線都垂直，則該直線此平面垂直．幾何語言： ．PAOα性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線 PAOα二、直線與平面所成的角（簡稱線面角）平面的一條斜線和它在平面上的 所成的 叫做條直線和這個平面所成的角．若直線垂直于平面則它們所成的角為 若直線和平平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角為 ．αQlβP線面角θαQlβP定義：從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的 ．右圖記作二面 ．βBlOαA二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，在兩個半平面內(nèi)別作 βBlOαA二面角θ的取值范圍： ．四、平面與平面垂直（簡稱面面垂直定義：兩個平面相交，它們所成的二面角是 ，就說兩平面互相垂直．判定定理：一個平面經(jīng)過另一個平面的 ，則這兩個平面垂直幾何語言： ．直．幾何語言： ．精講精練直線l⊥平面α，直線m α，則有（ ）A．lm異面C．l∥m

B．l和m相交D．l不平行于m下列結(jié)論的是（ ）A．若兩條平行線中的一條垂直于某個平面，則另一條也垂直于這個平B．若兩條平行線中的一條不垂直于某個平面，則另一條也不垂直于這個平面C于這個平面D．若三條平行線中的一條不垂直于某個平面，則另兩條中可以有一條和這個平面垂直已知直線l垂直于直線AB和AC，直線m垂直于直線BC和AC，則直線l，m的位置關(guān)系是（ ）平行 B．異面 C．相交 D．垂直直線a與b垂直，b⊥α，則a與α的位置關(guān)系是（ ）a⊥αC．a(chǎn)?α

a∥αD．a(chǎn)?α已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則（ ）βmm垂直βmm垂直βmm垂直βmm垂直有以下四個命題：①a∥α，b⊥α，則a⊥b；②a⊥b，b⊥α，則a∥α；③a∥b，b⊥α，則a⊥α；④a⊥b，b∥α，則其中正確命題是（ ）A．①② B．③④ C．①③ D．②④對于直線和平面能得出α⊥β的一個條件（ ∥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，則n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，則m∥n；③若m不垂直于α，則m不可能垂直于α內(nèi)的無數(shù)條直線；④若α∩β=m，m∥n，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β；α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=lα⊥β，α⊥γ，β⊥γ，m⊥n，m⊥l，n⊥l．其中正確命題的序號是 ．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，則有（ A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBCEDEDDA BF CCA B第9題圖 第10題圖F⊥F，則下列結(jié)論正確的是（ ）A．PA⊥ADABCDEF⊥PBCBC∥PDABCDEF30°ABCBCADABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結(jié)論：DADAB D C B C①BD⊥AC； ②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D-ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC．其中正確的是（ ）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ABC-A1B1C1C1ABC上的射影H必在（ ）ABCAC

BC上D．△ABC內(nèi)部B CABC1 1ABC，ABC1 1數(shù)為 ．A1第12題圖EBAP EBABCA第13題圖 第14題圖D-ABCAB=BC，AD=CD，EAC的中點，則平面ADC與平面BDE的關(guān)系是 ．已知直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則CD=（ ）2A．2 B．3 C． D．12αADαADBlCβAB DA CC B第15題圖 第16題圖 第17題圖邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角則AC的長（ ）2a

22a

32a

D．a(chǎn)已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形垂直于面ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為（ ）3573357A．4 B．4 C．4 D．4自小于90°的二面角內(nèi)一點分別向二面角的兩個面引垂線，兩垂線所成的與二面角的平面角的關(guān)系是（ ）A．相等 B．互補 C．互余 D．相等或互補正方體ABCD-A′B′C′D′中，二面角D′-AB-D的大小是 ．AC′AA′ B′ AC′AD′DBB CC第19題圖 第20題圖V-ABCDABCD25長為 的等腰三角形，則二面角V-AB-C的平面角為 ．5已知△ABC中，∠ACB=90°，SA⊥ABC，AD⊥SC．D求證：AD⊥平面SBC． SDA BCOOB的任意一點．求證：BC⊥O求證：平面平面PBC． PO5A BCPAGEPAGE8ABCD所在平面，M，NAB，PC的中點．求證：MN⊥CD；NAM若求證平面NAMNANAMDD B CB CP-ABCDABCD是PC的中點，已知AB=2，PA=1，求：PCD的面積；EA異面直線BC與AE所成的角的余弦值． EADB CP-ABCDABCDABCD是DAC菱形，AB=2，∠BAD=60°DAC求證：BD⊥PBAC所成角的余弦值．B回顧與思考【參考答案】【知識點睛】一、1．任意一條 垂線 垂面 垂足相交 a?α，b?α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b?l⊥α平行 a⊥α，b⊥α?a∥b二、1．射影 銳角 2．直角 0° 3．0°≤三、1．兩個半平面 棱 α-l-β或P-l-Q2．垂直于棱 ∠AOB 0°<<180°四、1．直二面角 2．垂線 l⊥α，l β α⊥β3．，∩=l，ala【精講精練】1．D 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．C8．②④⑤ 9．D 10．A 12．A 13．414．垂直 15．C 16．D 17．D 18．A 19．45°20．60° 21．證明略 22．證明略 23．證明略2（1）

（2）2535

25（1）（2）646直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)（隨堂檢測）11．在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的序號是 ．ACA A C A CACCD D DB B D B B① ② ③ ④22PRt△ABCAB證：POABC．OPOA BC【參考答案】① 2．證明略直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)（作業(yè)）1. 1. α⊥β的是（）l，l⊥α，l⊥βγ，γ∥α，γ∥βγ，γ⊥α，γ⊥βl，l⊥α，l∥β2. 2. l為一條直線，α，β，γ命題：①α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；②α⊥γ，β∥γ，則α⊥β；③l∥α，l⊥β，則α⊥β．其中正確的命題有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3. 3. 下列命題中錯誤的是（）α⊥βαβαα內(nèi)一定不存在直線垂βα⊥γβ⊥γ，α∩β=ll⊥γα⊥βαβ設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下四個命題，其中正確命題的序號是（ ）①若m⊥α，n∥α，則m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．5.ABCD-ABCD中，MDD5.ABCD-ABCD中，MDD的中點，1 1 1 11OABCDABOP1 1PMB1PMB1DOBD1A19CAPAGEPAGE11AM所成角的大小為（）PC．60°

5°D．90°1ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面ABCD，如圖2．則在四面體ABCD中，下列命題正確的是（ ）ABD⊥CABC⊥AD D

ADC⊥BDCD．平面ADC⊥平面ABDPC B1 2

A CDB第6題圖 第7題圖如圖，在三棱錐P-ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中點，則圖中直角三角形的個數(shù)是（ ）A．5 B．8 C．10 D．6如圖，PA垂直于正方形ABCD所在平面，連接PB，PC，PD，則下列垂關(guān)系中正確的序號是 ．PAB⊥PBC；PAB⊥PAD；PAB⊥PCD．APA B DDB C C第8題圖 第9題圖9. 9. ABCD，給出下列三個命題：AB=AC，BD=CDBC⊥AD；AB=CD，AC=BDBC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD．其中真命題的序號是 ．（寫出所有真命題的序號）10.10.ABC-ABCAB與側(cè)面1 1 11ACCA所成角的正弦值．1 1A1C1BB1ACCB第10題圖11.如圖，將正方形DAB= ．ADABCD 沿AC第11題圖折成直二面角后，∠A12.ABCAD折成二1B-AD-C2，BC2ABB-AD-C的大小是 ．BD圖1C13.A-BCD中，AB=AD，CB=CD，EBD的中點．求證：BD⊥平面ACE．DA CD圖2AEB DEC14.14.D-ABCABDCA N BC15.15.P是△ABC所在平面外一點，PA⊥ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于點E，AF⊥PC于點F．（1）PBC⊥PAB；PC⊥平面AEF．（2）求證：PFEAC16.如圖，在正方體ABCD-ABCD1 1 1 116.如圖，在正方體ABCD-ABCD1 1 1 1（1）BD⊥ACD；11中，求證：D與平1B1HD1A112CA BPAGEPAGE15ACDH是△ACD的重心(三角形三條中線的交點)．1117.P-ABCD中，PA⊥ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．求證：（1）CD⊥AE；EC（2）PD⊥平面ABE． ECA DB18.18.A