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例題估計(jì)水箱的水流量模型(1991年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的A題.問題中使用的長(zhǎng)度單位為E(英尺,1E=30.24cm),容積單位是G(加侖,1G=3.785L)).問題的提出:某些州的用水管理機(jī)構(gòu)需估計(jì)公眾的用水速度(單位:G/h)和每天的總用水量.許多供水單位由于沒有測(cè)量流入或流出量的設(shè)備,而只能測(cè)量水箱中的水位(誤差不超過(guò)5%).當(dāng)水箱水位低于水位L時(shí),水泵開始工作將水灌入水箱,直至水位達(dá)到最高水位H為止.但是依然無(wú)法測(cè)量水泵灌水流量,因此,在水泵工作時(shí)無(wú)法立即將水箱中的水位和水量聯(lián)系起來(lái).水泵一天灌水1~2次,每次約2h.試估計(jì)在任一時(shí)刻(包括水泵灌水期間)t流出水箱的流量f(t),并估計(jì)一天的總用水量.表1給出了某鎮(zhèn)某一天的真實(shí)用水?dāng)?shù)據(jù).水箱是直徑為57E,高為40E的正圓柱體.當(dāng)水位落到27E以下,水泵自動(dòng)啟動(dòng)把水灌入水箱;當(dāng)水位回升至35.5E時(shí),水泵停止工作。表1時(shí)間/s水位10-2E時(shí)間/s水位10-2E03175466363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水859683475394353550899533397433183445932703340模型假設(shè)(1)影響水從水塔流出的流率的唯一因素是公眾對(duì)水的傳統(tǒng)要求.因?yàn)楦奖碇唤o出了某一天(實(shí)際是近26小時(shí))水塔的水位數(shù)據(jù),并沒有對(duì)這些數(shù)據(jù)的產(chǎn)生有影響的因素作出具體說(shuō)明,我們只能假定所給數(shù)據(jù)反映了有代表性的一天,而不包括任何特殊情況,如自然災(zāi)害、火災(zāi)、水塔溢水、水塔漏水等對(duì)水的特殊要求.(2)水塔中水的水位不影響水流量的大小.據(jù)物理學(xué)的Torricelli(托里查里)定律,水塔最大水流量是與水位的高度的平方根成正比的.針對(duì)表8-1所給的數(shù)據(jù),最大高度是35.50英尺,最小高度是27.00英尺,所以兩個(gè)高度的最大水流量之比是J五50/J2700X1.15,接近于1,所以我們假定水位不影響水流量,類似地,我們假定氣候條件、條件變化等也不直接影響水流量.(3)水泵工作起止時(shí)間由水塔的水位決定.我們總是假定水位大約27.00英尺時(shí),水泵就開始工作,直到水位升至大約35.50英尺時(shí)停止工作,每次充水時(shí)間約為兩小時(shí).水泵工作性能、效率總是一定的,不因使用次數(shù)多少而變化,水泵工作時(shí)不需要維修,也不中途停止工作.當(dāng)然,水泵充水的水流量遠(yuǎn)大于水塔的水流量,以保證人們對(duì)水的需求.(4)表1中水位數(shù)據(jù)取得的時(shí)間準(zhǔn)確在1秒以內(nèi).(5)水塔的水流量與水泵狀態(tài)獨(dú)立,并不因水泵工作而增加或減少水流量的大小.(6)水塔的水流量曲線可以用一條光滑的曲線來(lái)逼近.這時(shí),在每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),水流量的兩階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的,因?yàn)樗南氖腔谏鐓^(qū)公眾一天的活動(dòng),如洗澡、做飯、洗衣服等,每一個(gè)使用者的要求與整個(gè)社會(huì)的要求相比是微不足道的,而整個(gè)社會(huì)的需求是不可能同時(shí)增加或減少的,由于水的消耗的自然性,可以設(shè)想水流量曲線是一條連續(xù)光滑的曲線.問題分析與模型建立1、為方便起見,記V 表示水的容積;y.――表示時(shí)刻(單位:h)時(shí)水的容積;于(t) 表示流出水箱的水的流速(單位;G/h),它是時(shí)間的函數(shù);P 表示水泵的灌水速度(G/h).先將表1中數(shù)據(jù)作變換,時(shí)間單位用小時(shí)(h),水位高轉(zhuǎn)換成水的體積,具體數(shù)據(jù)如表2所示(V二九r2h,單位:103G,1E3=7.481G).表2時(shí)間/h水量/103G時(shí)間/h水量/103G0.606.09812.9544639.5050.921111593.6913.87558622.3241.84306583.14.9822604.5712.94972571.54615.9039598.2993.87139562.57416.8261574.9824.97806552.07417.9317558.7565.9544.05719.0375542.5297.00639533.55719.9594528.2127.92861525.34920.8392514.8498.96778514.84922.015/9.98111/22.9581/10.9256/23.88663.36710.9542677.68524.9869648.47712.0328657.6425.9083637.593根據(jù)假定,當(dāng)水塔水位降至約27.00英尺時(shí),開始充水,而水位升至約35.50英尺時(shí)停止充水,從所給數(shù)據(jù)自然無(wú)法知道水泵開始和停止工作的準(zhǔn)確時(shí)間,但我們發(fā)現(xiàn)第一次充水前的最后一個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)是32284秒時(shí)水位為26.97英尺,可見水泵在32284位秒后不久開始充水。39332秒時(shí)水泵仍在工作,而39435秒時(shí)水為35.50英尺,水泵在這兩個(gè)時(shí)刻之間停止了工作,這兩個(gè)時(shí)刻的差距是103秒^0.028小時(shí),很短的時(shí)間,所以我們可以假設(shè)水泵開始工作的時(shí)間為32284秒,結(jié)束工作的時(shí)間為39332秒,充水時(shí)間約為7048秒^1.95778小時(shí),符合每次抽水約兩小時(shí)的假設(shè)?,F(xiàn)在再來(lái)分析第二次充水期間的數(shù)據(jù),充水前最后一個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)是75021秒時(shí)水位26.97英尺,與第一次充水前水位相同,所以可以假設(shè)75012秒后水泵即開始工作,但充水后的第一個(gè)數(shù)據(jù)顯示了一個(gè)與水泵應(yīng)該停止工作時(shí)的不同的水位,說(shuō)明水泵停止工作已有一段時(shí)間,水泵停止工作的準(zhǔn)確時(shí)間在82649秒和85968秒之間,但這兩個(gè)時(shí)刻相差近一個(gè)小時(shí),更靠近哪能一個(gè)時(shí)刻?我們發(fā)現(xiàn)82649秒時(shí)水泵已工作約82649-75021=7628秒,與第一次充水時(shí)間相比,第二次充水時(shí)間也約為2小時(shí),由此即知82649秒后水泵即停止了工作,所以我們可選取82649秒^22.95806小時(shí)為第二次充水停止的時(shí)間,并可假定此時(shí)刻的水位也為約35.50英尺,這就解決了水泵起止工作時(shí)間問題。即有第一段泵水的始停時(shí)間及水量為t廣8.968(h),v^=514.8X103(G)t始=10.926(h),v始=677.6X103(G)第二段泵水的始停時(shí)間及求量為t廣20.839(h),v廣514.8X103(G)t:=22.958(h),v末=677.6X103(G)

2、由于要求的是水箱流量與時(shí)間的關(guān)系,因此須由上表的數(shù)據(jù)計(jì)算出相鄰時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)及在時(shí)間區(qū)間內(nèi)水箱中流出的水的平均速度:平均流速=(區(qū)間左端點(diǎn)的水量一區(qū)間右端點(diǎn)的水量)/區(qū)間的長(zhǎng)度得下表:表3時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)值/h平均水流量/103G/h時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)值/h平均水流量/103G/h0.46055613.47113.415118.64661.3820811.595314.42916.04632.3963910.349815.443116.56973.410569.7347116.36515.52484.424729.4873517.378914.6775.439038.6964918.484614.67336.453199.4897419.498515.52947.46758.9008620.399315.18988.4481910.103621.4271/9.47444/22.4865/10.4533/23.419/10.9399/24.433513.451411.493518.583325.447611.809512.493619.67663、建立模型1)步驟①輸入數(shù)據(jù),/?.)};②作出散點(diǎn)圖;③進(jìn)行曲線擬合;④作出擬合曲線圖,輸出擬合函數(shù);⑤進(jìn)行誤差估計(jì)。2)具體實(shí)現(xiàn)(以多項(xiàng)式擬合為例)由散點(diǎn)圖可知,可采用多項(xiàng)式擬合曲線(如圖):以8次多項(xiàng)式擬合(其中擬合優(yōu)度可達(dá)96%),可得:f(t)=16282—7840.21+4690.912—1468.913+240.1114— 3)誤差估計(jì)21.11415+1.010916—0.02484417+0.0002454818誤差估算時(shí),由于已假定水泵的灌水速度為一常數(shù),同時(shí)知道在水泵抽水時(shí),水箱中水的體積的平均變化速度A二應(yīng)近似等于水泵的灌水速度P減去此段時(shí)間從水箱中流出的平均速度。即At此處f(t)在At區(qū)間的兩端點(diǎn)間進(jìn)行積分。如果此模型確實(shí)準(zhǔn)確地模擬了這些數(shù)據(jù),那么在不同的灌水周期中,按此模型計(jì)算出的水泵灌水速度應(yīng)近似為常數(shù)。下面通過(guò)水泵開始和停止工作的兩段區(qū)間,即te[8.968,10.926]及te[20.839,22.958]來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。第一段:對(duì)應(yīng)于t廣8.968(h),t=10.926(h),水量分別為v始=514.8X103(G),末v=677.6X103(G). AV=始677600-514800=162800,、故1 (G)A(=10.926—8.986=1.958(h)AV1=83150At (G/h)1第二段:對(duì)應(yīng)于t廣20.839(h),v始=514.8X10第二段:對(duì)應(yīng)于t廣20.839(h),v始=514.8X103(G)t=22.958(h),末,v=677.6X103(G)水量分別為故A匕=677600-514800=162800(G)A12=22.958—20.839=2.119(h)AV ,—2=76830At (G/h)2AV』10.926f(t)dtp=—1+8.968 =83150+14713=97863”、1At At (G/h)

二76830+23724二100554g小模型求解將t-0,4606h和t-24?4606h代入到水的流速擬合函數(shù)f(t),我們得到這兩時(shí)刻的流速分別近似為13688.8G/h和13335.6G/h,相差僅2.58%,從而可以認(rèn)為f(t)能近似表達(dá)一天的用水流量.于是,一天里的用水總量近似地等于函數(shù)f(t)在24小時(shí)周期內(nèi)的積分.有[0,4606+24J[0,4606+24J04606 f(t)dt=333018[1.382+24J[究? f(t)dt=333701「6.45+24J645 f(t)dt=315285(G)(G)(G)可見誤差均控制在能接受的范圍之內(nèi),故該社區(qū)一天的總用水量約為:[0,4606+24J f(t)dt=333018若按常規(guī)每1000人的用水量為105000G/d,因此估計(jì)出這個(gè)地區(qū)大約有3200人.同時(shí)可得流出水箱的平均流速為:1「0.4606+24_J f(t)dt=13876240.4606 (G/h)水泵灌水的平均速度為:模型評(píng)價(jià)從建模的設(shè)想及實(shí)施過(guò)程我們可以看出有如下優(yōu)點(diǎn)及不足之處,優(yōu)點(diǎn):①這模型很靈活,能被有一個(gè)正水箱的任何小鎮(zhèn)使用,輸入的數(shù)據(jù)可為任何規(guī)則逼近時(shí)間區(qū)間的水位,即時(shí)間分布可以是隨機(jī)的.②模型用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是簡(jiǎn)單易懂的,其計(jì)算過(guò)程完全可由擬合工具箱來(lái)完成,是很容易實(shí)現(xiàn)的。③只要有一臺(tái)計(jì)算機(jī)甚至計(jì)算器,輸入數(shù)據(jù),這模型就容易完成。④模型不僅提供了水流量及一天用水量的較為準(zhǔn)確的估計(jì)。還可以估計(jì)任何時(shí)刻的水流量,包括水泵工作時(shí)的水流量。⑤該模型可推廣到用電分布的情況。缺點(diǎn):①模型最大的缺點(diǎn)是無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)結(jié)果的誤差。對(duì)不同的輸入數(shù)據(jù),誤差則不同。②用光滑曲線擬合的方法無(wú)法模擬真實(shí)水流量曲線的微小變化,除非時(shí)間區(qū)間取得充夠小。③數(shù)據(jù)太少,精確度稍有欠缺。其中具體的計(jì)算過(guò)程如下:曲線擬合過(guò)程(還可用樣條插值求解splinetool)>>t=[0.4605561.382082.396393.410564.424725.43903…6.453197.46758.4481911.493512.493613.415114.4290…15.443116.365017.378918.484619.498520.399324.4335…25.4476];>>f=[13.471011.595310.34989.734719.487358.696499.489748.9008610.103618.583319.676618.646616.0463…16.569715.524814.67714.673315.529415.189813.451411.8095]*10八3;>scatter(t,f)>plot(t,f)>>f=0.00024547 -0.0248441.0109 -21.114 240.11 -1468.8 4690.8-7839.916281>formatlongg>a=polyfit(t,f,8);>cftoolLinearmodelPoly8:fittedmodel1(x)=p1*x^8+p2*x^7+p3*x^6+p4*x^5+p5*x^4+p6*x^3+p7*x^2+p8*x+p9Coefficients(with95%confidencebounds):p1 = 0.0002455 (0.0001133, 0.0003777)p2 = -0.02484 (-0.03856,-0.01113)p3= 1.011 (0.4274, 1.594)p4= -21.11 (-34.24, -7.988)p5= 240.1 (72.52, 407.7)p6= -1469 (-2678, -259.2)p7= 4691 (72.96, 9309)p8 = -7840 (-1.58e+004, 117.9)p9 = 1.628e+004 (1.203e+004, 2.054e+004)定積分計(jì)算過(guò)程:> q=int('0.00024547*x^8-0.024844*x^7+ 1.0109*x"6 -21.114*x“5+240.11*x^4-1468.8*x^3+4690.8*x^2-7839.9*x+16281,8.968,10.926);>q=q/1.958;>>p=int('0.00

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