1水箱水流量問題

例題估計水箱的水流量模型（1991年美國大學生數(shù)學建模競賽的A題.問題中使用的長度單位為E（英尺，1E=30.24cm）,容積單位是G（加侖，1G=3.785L））.問題的提出：某些州的用水管理機構需估計公眾的用水速度（單位:G/h）和每天的總用水量.許多供水單位由于沒有測量流入或流出量的設備，而只能測量水箱中的水位（誤差不超過5%）.當水箱水位低于水位L時，水泵開始工作將水灌入水箱，直至水位達到最高水位H為止.但是依然無法測量水泵灌水流量，因此，在水泵工作時無法立即將水箱中的水位和水量聯(lián)系起來.水泵一天灌水1~2次，每次約2h.試估計在任一時刻（包括水泵灌水期間）t流出水箱的流量f（t），并估計一天的總用水量.表1給出了某鎮(zhèn)某一天的真實用水數(shù)據(jù).水箱是直徑為57E,高為40E的正圓柱體.當水位落到27E以下，水泵自動啟動把水灌入水箱；當水位回升至35.5E時，水泵停止工作。表1時間/s水位10-2E時間/s水位10-2E03175466363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水859683475394353550899533397433183445932703340模型假設(1)影響水從水塔流出的流率的唯一因素是公眾對水的傳統(tǒng)要求.因為附表只給出了某一天(實際是近26小時)水塔的水位數(shù)據(jù)，并沒有對這些數(shù)據(jù)的產(chǎn)生有影響的因素作出具體說明，我們只能假定所給數(shù)據(jù)反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情況，如自然災害、火災、水塔溢水、水塔漏水等對水的特殊要求.(2)水塔中水的水位不影響水流量的大小.據(jù)物理學的Torricelli(托里查里)定律，水塔最大水流量是與水位的高度的平方根成正比的.針對表8-1所給的數(shù)據(jù)，最大高度是35.50英尺,最小高度是27.00英尺,所以兩個高度的最大水流量之比是J五50/J2700X1.15,接近于1,所以我們假定水位不影響水流量,類似地,我們假定氣候條件、條件變化等也不直接影響水流量.(3)水泵工作起止時間由水塔的水位決定.我們總是假定水位大約27.00英尺時，水泵就開始工作,直到水位升至大約35.50英尺時停止工作,每次充水時間約為兩小時.水泵工作性能、效率總是一定的,不因使用次數(shù)多少而變化,水泵工作時不需要維修,也不中途停止工作.當然,水泵充水的水流量遠大于水塔的水流量，以保證人們對水的需求.(4)表1中水位數(shù)據(jù)取得的時間準確在1秒以內(nèi).(5)水塔的水流量與水泵狀態(tài)獨立,并不因水泵工作而增加或減少水流量的大小.(6)水塔的水流量曲線可以用一條光滑的曲線來逼近.這時,在每一個數(shù)據(jù)點，水流量的兩階導數(shù)是連續(xù)的，因為水的消耗是基于社區(qū)公眾一天的活動,如洗澡、做飯、洗衣服等,每一個使用者的要求與整個社會的要求相比是微不足道的，而整個社會的需求是不可能同時增加或減少的，由于水的消耗的自然性，可以設想水流量曲線是一條連續(xù)光滑的曲線.問題分析與模型建立1、為方便起見，記V 表示水的容積；y.――表示時刻(單位:h)時水的容積；于(t) 表示流出水箱的水的流速(單位;G/h),它是時間的函數(shù)；P 表示水泵的灌水速度(G/h).先將表1中數(shù)據(jù)作變換，時間單位用小時(h),水位高轉(zhuǎn)換成水的體積，具體數(shù)據(jù)如表2所示(V二九r2h,單位：103G,1E3=7.481G).表2時間/h水量/103G時間/h水量/103G0.606.09812.9544639.5050.921111593.6913.87558622.3241.84306583.14.9822604.5712.94972571.54615.9039598.2993.87139562.57416.8261574.9824.97806552.07417.9317558.7565.9544.05719.0375542.5297.00639533.55719.9594528.2127.92861525.34920.8392514.8498.96778514.84922.015/9.98111/22.9581/10.9256/23.88663.36710.9542677.68524.9869648.47712.0328657.6425.9083637.593根據(jù)假定，當水塔水位降至約27.00英尺時，開始充水，而水位升至約35.50英尺時停止充水，從所給數(shù)據(jù)自然無法知道水泵開始和停止工作的準確時間，但我們發(fā)現(xiàn)第一次充水前的最后一個測量數(shù)據(jù)是32284秒時水位為26.97英尺，可見水泵在32284位秒后不久開始充水。39332秒時水泵仍在工作，而39435秒時水為35.50英尺，水泵在這兩個時刻之間停止了工作，這兩個時刻的差距是103秒^0.028小時，很短的時間，所以我們可以假設水泵開始工作的時間為32284秒，結束工作的時間為39332秒，充水時間約為7048秒^1.95778小時，符合每次抽水約兩小時的假設?，F(xiàn)在再來分析第二次充水期間的數(shù)據(jù)，充水前最后一個測量數(shù)據(jù)是75021秒時水位26.97英尺，與第一次充水前水位相同，所以可以假設75012秒后水泵即開始工作，但充水后的第一個數(shù)據(jù)顯示了一個與水泵應該停止工作時的不同的水位，說明水泵停止工作已有一段時間，水泵停止工作的準確時間在82649秒和85968秒之間，但這兩個時刻相差近一個小時，更靠近哪能一個時刻？我們發(fā)現(xiàn)82649秒時水泵已工作約82649-75021=7628秒，與第一次充水時間相比，第二次充水時間也約為2小時，由此即知82649秒后水泵即停止了工作，所以我們可選取82649秒^22.95806小時為第二次充水停止的時間，并可假定此時刻的水位也為約35.50英尺，這就解決了水泵起止工作時間問題。即有第一段泵水的始停時間及水量為t廣8.968(h),v^=514.8X103(G)t始=10.926(h),v始=677.6X103(G)第二段泵水的始停時間及求量為t廣20.839(h),v廣514.8X103(G)t:=22.958(h),v末=677.6X103(G)

2、由于要求的是水箱流量與時間的關系，因此須由上表的數(shù)據(jù)計算出相鄰時間區(qū)間的中點及在時間區(qū)間內(nèi)水箱中流出的水的平均速度：平均流速=（區(qū)間左端點的水量一區(qū)間右端點的水量）/區(qū)間的長度得下表：表3時間區(qū)間的中點值/h平均水流量/103G/h時間區(qū)間的中點值/h平均水流量/103G/h0.46055613.47113.415118.64661.3820811.595314.42916.04632.3963910.349815.443116.56973.410569.7347116.36515.52484.424729.4873517.378914.6775.439038.6964918.484614.67336.453199.4897419.498515.52947.46758.9008620.399315.18988.4481910.103621.4271/9.47444/22.4865/10.4533/23.419/10.9399/24.433513.451411.493518.583325.447611.809512.493619.67663、建立模型1)步驟①輸入數(shù)據(jù)，/?.)｝；②作出散點圖；③進行曲線擬合；④作出擬合曲線圖，輸出擬合函數(shù)；⑤進行誤差估計。2)具體實現(xiàn)(以多項式擬合為例)由散點圖可知，可采用多項式擬合曲線(如圖)：以8次多項式擬合(其中擬合優(yōu)度可達96%)，可得：f(t)=16282—7840.21+4690.912—1468.913+240.1114— 3)誤差估計21.11415+1.010916—0.02484417+0.0002454818誤差估算時，由于已假定水泵的灌水速度為一常數(shù)，同時知道在水泵抽水時，水箱中水的體積的平均變化速度A二應近似等于水泵的灌水速度P減去此段時間從水箱中流出的平均速度。即At此處f(t)在At區(qū)間的兩端點間進行積分。如果此模型確實準確地模擬了這些數(shù)據(jù)，那么在不同的灌水周期中，按此模型計算出的水泵灌水速度應近似為常數(shù)。下面通過水泵開始和停止工作的兩段區(qū)間，即te[8.968,10.926]及te[20.839,22.958]來進行檢驗。第一段:對應于t廣8.968(h),t=10.926(h),水量分別為v始=514.8X103(G),末v=677.6X103(G). AV=始677600-514800=162800,、故1 (G)A(=10.926—8.986=1.958(h)AV1=83150At (G/h)1第二段:對應于t廣20.839(h),v始=514.8X10第二段:對應于t廣20.839(h),v始=514.8X103(G)t=22.958(h)，末,v=677.6X103(G)水量分別為故A匕=677600-514800=162800(G)A12=22.958—20.839=2.119(h)AV ，—2=76830At (G/h)2AV』10.926f(t)dtp=—1+8.968 =83150+14713=97863”、1At At (G/h)

二76830+23724二100554g小模型求解將t-0,4606h和t-24?4606h代入到水的流速擬合函數(shù)f(t)，我們得到這兩時刻的流速分別近似為13688.8G/h和13335.6G/h,相差僅2.58%,從而可以認為f(t)能近似表達一天的用水流量.于是，一天里的用水總量近似地等于函數(shù)f(t)在24小時周期內(nèi)的積分.有[0,4606+24J[0,4606+24J04606 f(t)dt=333018[1.382+24J[究？ f(t)dt=333701「6.45+24J645 f(t)dt=315285(G)(G)(G)可見誤差均控制在能接受的范圍之內(nèi)，故該社區(qū)一天的總用水量約為:[0,4606+24J f(t)dt=333018若按常規(guī)每1000人的用水量為105000G/d,因此估計出這個地區(qū)大約有3200人.同時可得流出水箱的平均流速為：1「0.4606+24_J f(t)dt=13876240.4606 (G/h)水泵灌水的平均速度為：模型評價從建模的設想及實施過程我們可以看出有如下優(yōu)點及不足之處，優(yōu)點：①這模型很靈活，能被有一個正水箱的任何小鎮(zhèn)使用，輸入的數(shù)據(jù)可為任何規(guī)則逼近時間區(qū)間的水位,即時間分布可以是隨機的.②模型用到的數(shù)學知識是簡單易懂的，其計算過程完全可由擬合工具箱來完成，是很容易實現(xiàn)的。③只要有一臺計算機甚至計算器，輸入數(shù)據(jù)，這模型就容易完成。④模型不僅提供了水流量及一天用水量的較為準確的估計。還可以估計任何時刻的水流量，包括水泵工作時的水流量。⑤該模型可推廣到用電分布的情況。缺點：①模型最大的缺點是無法準確估計結果的誤差。對不同的輸入數(shù)據(jù)，誤差則不同。②用光滑曲線擬合的方法無法模擬真實水流量曲線的微小變化，除非時間區(qū)間取得充夠小。③數(shù)據(jù)太少，精確度稍有欠缺。其中具體的計算過程如下：曲線擬合過程(還可用樣條插值求解splinetool)>>t=[0.4605561.382082.396393.410564.424725.43903…6.453197.46758.4481911.493512.493613.415114.4290…15.443116.365017.378918.484619.498520.399324.4335…25.4476];>>f=[13.471011.595310.34989.734719.487358.696499.489748.9008610.103618.583319.676618.646616.0463…16.569715.524814.67714.673315.529415.189813.451411.8095]*10八3;>scatter(t,f)>plot(t,f)>>f=0.00024547 -0.0248441.0109 -21.114 240.11 -1468.8 4690.8-7839.916281>formatlongg>a=polyfit(t,f,8);>cftoolLinearmodelPoly8:fittedmodel1(x)=p1*x^8+p2*x^7+p3*x^6+p4*x^5+p5*x^4+p6*x^3+p7*x^2+p8*x+p9Coefficients(with95%confidencebounds):p1 = 0.0002455 (0.0001133, 0.0003777)p2 = -0.02484 (-0.03856,-0.01113)p3= 1.011 (0.4274, 1.594)p4= -21.11 (-34.24, -7.988)p5= 240.1 (72.52, 407.7)p6= -1469 (-2678, -259.2)p7= 4691 (72.96, 9309)p8 = -7840 (-1.58e+004, 117.9)p9 = 1.628e+004 (1.203e+004, 2.054e+004)定積分計算過程：> q=int('0.00024547*x^8-0.024844*x^7+ 1.0109*x"6 -21.114*x“5+240.11*x^4-1468.8*x^3+4690.8*x^2-7839.9*x+16281,8.968,10.926)；>q=q/1.958；>>p=int('0.00