2022-2023學年廣州市高二下期中考試數(shù)學模擬試卷附答案解析

2022-2023學年廣州市高二下期中考試數(shù)學模擬試卷

一.選擇題（共8小題）

1.(2021秋月份月考)已知集合/={-1,0,1,2),5={xGR||2x-則(CR5)

QA=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,2}

_Z

2.(2021秋?歷下區(qū)校級月考)若z=-l+i,設3=—，則|u)|=()

13

A.—B.1c.——D.2

22

3.（2021秋?濰坊期末）現(xiàn)從甲、乙等7名大學生中選出3人擔任北京冬奧會的志愿者，要

求甲、乙至少1人入選，則不同的選法共有（）

A.10種B.20種C.25種D.35種

4.（2020秋?浙江月考）設加，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，則〃2_1_〃的

一個充分不必要條件是（)

A.m_La,a±pB.a//p

C.加ua,〃〃,a±pD.mua,a〃0

5.（2020?日照一模）已知/（x）=x?2叱

a=/(10gAb=/(】ogQ)，c=/(歷3),

則a,b,c的大小關系為（)

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

6.（2020春?揭陽期末）已知定義域為R的奇函數(shù)/G）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當

在(2,+8)時，/(x)<0,當花(0,2)時，/(x)>0,且/(3)=0,則關于

x的不等式（X-1）/（x）>0的解集為（）

A.(-3,3)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-3,0)U(1,3)D.(-8,-3)U(0,3)

7.（2021?江蘇一模）（3-2x）（x+1）§展開式中一的系數(shù)為（)

A.-15B.-10C.10D.15

（2016春?邢臺期末）已知函數(shù)/（x）=/（--反）（反R）在區(qū)間［」，2］上存在單調遞

8.

2

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增區(qū)間，則實數(shù)6的取值范圍是（)

8B.(-8,A)3D.a,+8)

A.(-8,——)c.(--..2

36263

二.多選題（共4小題）

My

（多選）9.（2021?深圳一模）設Q、尸!分別是雙曲線C：—；--------------=1的左、

m+nm—n

右焦點，且|F1&|=4,則下列結論正確的有（）

A.m=2

B.當〃=0時，C的離心率是2

C.Fi到漸近線的距離隨著n的增大而減小

D.當〃=1時，C的實軸長是虛軸長的兩倍

（多選）10.（2021春?南山區(qū)校級期中）下列說法不正確的是（）

A.回歸直線y=b*+a至少經過其樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）,（X2，”），…，（xn>則）中的

一個點

B.從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吃地溝油與患胃腸癌有關系時，我們就說如果某

人吃地溝油，那么他有99%可能患胃腸癌

C.在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高

D.將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，其方差也要加上或減去這個常

數(shù)

（多選）11.（2021春?番禺區(qū)校級期中）對于函數(shù)f（i）=------下列說法正確的是（）

Inx

A.在（0,e）上單調遞減B.有極小值e

C.有最小值eD.無最大值

（多選）12.（2021春?東莞市期中）已知函數(shù)/（x）g（x）=X2+2X,以下結論

正確的有（）

A./（x）是偶函數(shù)

B.當a>0時，y—af（x+1）與y=g（x）有相同的單調性

C.當a>0時，夕=4（x+1）與y=g（x）的圖象只可能有偶數(shù)個交點

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1

D.若y=q/（x+l）與y=g（x）的圖象只有一個公共點時，a=

2

三.填空題（共4小題）

13.（2021春?東莞市期中）一質點沿直線運動，如果由始點起經過f秒后的位移為

S=-^-t—t（單位：，"），那么這個質點在2秒末的瞬時速度是Cm/s'）.

3

14.（2021?臨沂二模）現(xiàn)有標號為①，②，③，④，⑤的5件不同新產品，要放到三個

不同的機構進行測試，每件產品只能放到一個機構里.機構48各負責一個產品，機構

C負責余下的三個產品，其中產品①不在力機構測試的情況有種（結果用具體

數(shù)字表示）.

15.（2004?福建）如圖，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再

沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器.當這個正六棱柱容器的底面邊長為

時，其容積最大.

16.（2021?鏡湖區(qū)校級模擬）已知三棱錐88中，點N在平面8CZ）上的射影與點。重

合，4D=CD=4.若/C8O=135°,則三棱錐8C。的外接球的體積為.

四.解答題（共6小題）

17.（2021春?如東縣期中）從下列三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答

①bsin/1=、/孕cos8；②（a+c+b）（a+c-b）=3ac；③2cos8（acosC+ccos/）—b.在

△/8C中，角4B,C,所對的邊分別為a,b,c,滿足條件.

（1）求角B的大小；

（2）若a=4,S（^ABC~6求b的值.

18.（2019?永州三模）某機器生產商，對一次性購買兩臺機器的客戶推出兩種超過質保期后

兩年內的延保維修方案：

方案一：交納延保金6000元，在延保的兩年內可免費維修2次，超過2次每次收取維修

費1500元;

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方案二：交納延保金7740元，在延保的兩年內可免費維修4次，超過4次每次收取維修

費a元.

某工廠準備一次性購買兩臺這種機器，現(xiàn)需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為

此搜集并整理了100臺這種機器超過質保期后延保兩年內維修的次數(shù)，統(tǒng)計得如表：

維修次數(shù)0123

機器臺數(shù)20104030

以這100臺機器維修次數(shù)的頻率代替一臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率.記X表示這兩臺機

器超過質保期后延保的兩年內共需維修的次數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)以所需延保金與維修費用之和的期望值為決策依據(jù)，該工廠選擇哪種延保方案更合

算.

19.(2021，濟寧一模)如圖所示多面體/8。?！陸糁?，平面/?！辏篲1_平面/18。。,。/_1平面”8?！?,

△4DE是正三角形，四邊形是菱形，AB=2,CF=代NBAD=—.

3

(1)求證：EF〃平面4BCD；

(2)求二面角E-4尸-C的正弦值.

20.(2021?內江一模)已知函數(shù)/(x)=a/nx-bx2,a,bER.若/(x)在x=1處與直線y=---

2

相切.

(1)求a,b的值；

(2)求/G)在［4-，e］上的極值.

e

21.(2018?河南一模)已知點Q(-y2,0),圓尸2：(x-ve)2+產=16,點M是圓上一

動點，MFi的垂直平分線與MF2交于點N.

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(1)求點N的軌跡方程；

(2)設點N的軌跡為曲線E,過點尸(0,1)且斜率不為0的直線/與E交于4B兩

點，點8關于y軸的對稱點為"，證明直線/)過定點，并求△以夕面積的最大值.

22.(2021春?東莞市期中)已知函數(shù)/(1)=1niH■--aa:—(a-|-l)x.

2

(1)若/(x)在x=l處有極大值，求a的取值范圍：

(2)若/(x)的極大值為“，f(x)的極小值為M當工WaM2時，求的取

2~~

值范圍.

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2022-2023學年廣州市高二下期中考試數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2021秋月份月考）已知集合/={-1,0,1,2},8={x6R||2x-則（CR￡）

nj=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,2}

【考點】交、并、補集的混合運算.

【專題】計算題；集合思想；定義法；集合；數(shù)學運算.

【分析】化簡集合8,根據(jù)集合的運算求解可得答案.

【解答】解：=0,1,2},8={x€R||2x-1|W1}={X|0WXW1},

，CR8={X|X<0或x>l},

（CRS）n/={-1,2}.

故選：D.

【點評】本題考查了集合補集、交集及其運算，屬于基礎題.

2.（2021秋?歷下區(qū)校級月考）若z=-l+i,設3=三，則［3|=（）

13

A.—B.1C.—D.2

22

【考點】復數(shù)的模.

【專題】轉化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【分析】由已知求出3的關系式，再根據(jù)模的公式即可求解.

2

【解答】解：因為z=-l+i,則0）=—=——-——1=.1+L=——"+"---=

z-1+i1-i（l-i）（l+i）

2i.

---=b

2

則3|=『1=1,

故選：B.

【點評】本題考查了復數(shù)模的求解，涉及到復數(shù)的運算法則，考查了學生的運算能力，

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屬于基礎題.

3.（2021秋?濰坊期末）現(xiàn)從甲、乙等7名大學生中選出3人擔任北京冬奧會的志愿者，要

求甲、乙至少1人入選，則不同的選法共有（）

A.10種B.20種C.25種D.35種

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】計算題：方程思想：轉化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)題意，用間接法分析：先計算“從甲、乙等7名大學生中選出3人擔任北

京冬奧會的志愿者”的選法，排除其中“甲乙都沒有入選”的選法，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，從甲、乙等7名大學生中選出3人擔任北京冬奧會的志愿者，

有C?3=35種選法，

3

其中甲乙都沒有入選的情況有C5=10種，

則甲、乙至少1人人選的選法有35-10=25種，

故選：C.

【點評】本題考查排列組合的應用，注意利用間接法分析，屬于基礎題.

4.（2020秋?浙江月考）設機，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，則加_L〃的

一個充分不必要條件是（）

A.機J-a,〃〃0,a±pB.m±a,a〃0

C.mua,”〃B，a±PD.mua,?±P，a〃0

【考點】充分條件、必要條件、充要條件；平面與平面平行；平面與平面垂直.

【專題】對應思想；定義法；簡易邏輯：邏輯推理.

【分析】利用空間線面位置關系的判定與性質定理即可得出.

【解答】解：4、〃〃酊a±p,可得加與〃平行、相交或為異面直線，因此無法

得出因此不正確；

B、a//p,m±a,n±p,可得，"〃小因此無法得出因此不正確；

C、alp,mca,〃〃仇可得〃1與〃平行、相交或為異面直線，因此無法得出加，，?，因

此不正確.

D、a〃仇mua,n±p,可得〃_La,因此可得"?J_〃，因此正確：

故選：D.

【點評】本題考查了空間線面位置關系的判定與性質定理、簡易邏輯的判定方法，考查

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了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

=

5.(2020?日照一模)已知/(x)=丫?2可，a=f(l/(^Og—)>c—f(/?3)>

則a,b,c的大小關系為()

A.c>h>aB.h>c>aC.a>h>cD.c>a>h

【考點】分段函數(shù)的應用.

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；函數(shù)的性質及應用.

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得當xVO,/0)=尸(_L)、<0,據(jù)此可

2

得b<0,當x20時，/G)=x?2S求出其導數(shù)，分析可得/(x)在［0,+8)上為增函

數(shù)，由此分析可得OVaVc,綜合可得答案.

a?>0

【解答】解:根據(jù)題意，/(x)=x3=,

x,,x<0

當x<0時，f(x)=x*(―)x<0,又由log3-？-=Tog32<0,則6<0,

22

當x20時，/(x)=x-2x,其導數(shù)/(x)=2x+x'2xln2>0,則/(x)在［0,+~)上為

增函數(shù),

其/(0)=0,則當x>0時，/(x)>0；

又由OVlog3V行<1<歷3,則0<a〈c,

綜合可得：c>a>b；

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)的單調性的判斷以及應用，涉及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎題.

6.(2020春?揭陽期末)已知定義域為R的奇函數(shù)/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當

(2,+8)時，/(x)<0,當(0,2)時，f(x)>0,且/(3)=0,則關于

x的不等式(x-1)/(x)>0的解集為()

A.(-3,3)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-3,0)U(1,3)D.(-8,-3)U(0,3)

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.

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【專題】轉化思想；綜合法；導數(shù)的概念及應用；邏輯推理.

【分析】由題可知，/（X）在（0,2）上單調遞增，在（2,+8）上單調遞減，結合/（X）

的奇偶性，可得/（x）在（-8,0）上的單調情況，然后將不等式（x->0

3:-1>0或上IV。

轉化為1,解之即可.

,/(x)>0Uuxo

【解答】解：由題可知，/（X）在（0,2）上單調遞增，在（2,+8）上單調遞減,

又?:f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，

/./（0）=0,且/（x）在（-8,-2）上單調遞減，在（-2,0）上單調遞增.

(x-1>0或尸V。

不等式(x-1)/(%)>0等價于,

1/(^)>01/(3?)<0

V/(3)=0,

Axe(-3,0)u(1,3).

故選：C.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、解不等式等，考查學生

靈活運用知識的能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

7.（2021?江蘇一模）（3-2x）（x+1）§展開式中一的系數(shù)為（）

A.-15B.-10C.10D.15

【考點】二項式定理.

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學運算.

【分析】由題意利用二項展開式的通項公式，求得展開式中小的系數(shù).

【解答】解：...（/1）5展開式的通項公式為c］x5l,

5

分別令5-〃=3,5-r=2,可得r=2,3,

故（3-2x）（x+1）5展開式中才3的系數(shù)為3c2-2C'=10，

55

故選：C.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，屬于基礎題.

8.（2016春?邢臺期末）已知函數(shù)/（x）=eT（x2-bx）（bGR）在區(qū)間［」，2］上存在單調遞

2

增區(qū)間，則實數(shù)6的取值范圍是（）

第9頁共27頁

、、、D.（且+8）

A.(-8,——8)B.(-8,_5)c.(-——3，——5)

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【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；導數(shù)的概念及應用.

【分析】利用導函數(shù)得到不等式成立問題，然后求解6的范圍.

【解答】解：?.?函數(shù)f(x)在區(qū)間［」-,2］上存在單調增區(qū)間，

2

...函數(shù)/(X)在區(qū)間［」，2］上存在子區(qū)間使得不等式，(X)>0成立.

2

f(x)=ev［x2+(2-6)x-h］,

設h(x)=x2+(2-b)x-b,則〃(2)>0或〃(―)>0,

2

即4+2(2-b)-b>0或LJ-(2“)-b>0,

42

勿8

得b<——.

3

故選：A.

【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，不等式的解法，考查計算能力.

二.多選題(共4小題)

My

(多選)9.(2021?深圳一模)設Q、放分別是雙曲線C：---------------=1的左、

m+nm—n

右焦點，且回尸2|=4,則下列結論正確的有()

A.加=2

B.當〃=0時，。的離心率是2

C.Q到漸近線的距離隨著〃的增大而減小

D.當〃=1時，C的實軸長是虛軸長的兩倍

【考點】雙曲線的性質.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算.

【分析】利用雙曲線的標準方程，結合焦距，求解機，判斷4求解離心率判斷8；求出

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點到直線的距離，判斷G求解實軸長與虛軸長的比值，判斷D

nry

【解答】解：Q、尸2分別是雙曲線C：----------------=1的左、右焦點，且|F正2|

m+nm—n

=4,

可得2=J二十n+m_解得=2,所以/正確；

〃=0時，，￡，歷、/稀，所以e=v攵，所以8不正確；

Q到漸近線的距離：二G，隨著〃的增大而減小，所以C正確；

當”=1時，C的實軸長：2而干I，虛軸長：2而二Y，所以。不正確.

故選:AC.

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，是中檔題.

（多選）10.（2021春?南山區(qū)校級期中）下列說法不正確的是（）

4AA

A.回歸直線y=bl+a至少經過其樣本數(shù)據(jù)（x“yi）,（X2,>2）,…，（x?,加）中的

一個點

B.從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吃地溝油與患胃腸癌有關系時，我們就說如果某

人吃地溝油，那么他有99%可能患胃腸癌

C.在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高

D.將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，其方差也要加上或減去這個常

數(shù)

【考點】命題的真假判斷與應用；極差、方差與標準差；獨立性檢驗.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；簡易邏輯；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】利用回歸直線方程的性質判斷出獨立檢驗思想的性質判斷8；殘差的意義判斷

C；方程的性質判斷。即可.

44A

【解答】解：回歸直線丁=bi+a不一定經過其樣本數(shù)據(jù)（孫》），（通，”），…，（x?,

如）中的任何一個點，所以/不正確；

從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吃地溝油與患胃腸癌有關系時，我們不能說如果某

人吃地溝油，那么他有99%可能患胃腸癌，所以8不正確；

在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高，滿足殘差

第11頁共27頁

的性質，所以C正確；

將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，其方差不變，所以。不正確：

故選：ABD.

【點評】本題考查命題的真假的判斷，考查回歸直線方程，獨立檢驗思想的應用，殘差

以及方差的應用，是基礎題.

(多選)11.(2021春?番禺區(qū)校級期中)對于函數(shù)］(1)=-----下列說法正確的是()

Inx

A.在(0,e)上單調遞減B.有極小值e

C.有最小值eD.無最大值

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的最值：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.

【專題】數(shù)形結合；數(shù)形結合法；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算.

【分析】對/(x)求導，作出/(x)的圖象，結合圖象即可得出正確選項.

.Zna?—1

【解答】解：函數(shù)的定義域為(0,1)u(1,+8),r(宓)=-

(lnx)~

易知函數(shù)/(x)在(0,1),(1,e)單調遞減，在(e,+8)單調遞增，且當(0,1)

時，/(%)<0,當x>l時，f(x)>0,

作出/(x)的大致圖象如下圖所示，

由圖象可知，/(x)在x=e處取得極小值/(e)=e,無最小值，也無最大值.

故選：BD.

【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，考查數(shù)形結合思想及運算求解能力，屬于

中檔題.

(多選)12.(2021春?東莞市期中)已知函數(shù)/(x)="+e、，g(x)=x2+2x,以下結論

正確的有()

第12頁共27頁

A.f(x)是偶函數(shù)

B.當a>0時，y—af(x+1)與y=g(x)有相同的單調性

C.當a>0時，y=/(x+l)與y=g(x)的圖象只可能有偶數(shù)個交點

D.若夕=4(戶1)與y=g(x)的圖象只有一個公共點時，a=——

2

【考點】命題的真假判斷與應用；函數(shù)奇偶性的性質與判斷.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算.

【分析】可看出/(X)是偶函數(shù)，從而判斷《正確：當a>0時，可求出函數(shù)y=4(x+l)

的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)符號即可得出該函數(shù)在(-1,+8)上是增函數(shù)，在(-8,-1)±

是減函數(shù)，從而可判斷8正確；可求出a>0時，y—af(x+1)與y=g(x)的頂點不重

合，根據(jù)這兩個函數(shù)都關于苫=-1對稱即可得出這兩函數(shù)圖象只可能有偶數(shù)個公共點，

從而判斷C正確：根據(jù)C可知，這兩函數(shù)只有一個公共點時，該公共點應是這兩圖象的

頂點，從而判斷。正確.

【解答】解：A./(-x)(x),.V(x)是偶函數(shù)，正確；

B.a>0時，y—af(.x+1)=ae^'+ae',?*.y'—-ae''=

x+iaa(ex^1+l)(e*^1-l)

-1時，y'>0；x<-1時，y'<0,

?-y—af(x+1)在(-1,+°°)上是增函數(shù)，在(-8,-i)上是減函數(shù)，

又二次函數(shù)y=g(x)在(-1,+8)上是增函數(shù)，在(-8,-1)上是減函數(shù)，

，當a>0時，y=af(x+1)與y=g(x)有相同的單調性，...B正確；

C.當a>0時，y—af(x+1)和y=g(x)都關于x--1對稱，

x=-1時，y=afCx+l)取最小值2a>0；x=-1時，y=g(x)取最小值-1,即函數(shù)y

=af(x+1)和y=g(x)的頂點不重合，

???根據(jù)對稱性，在x=-1的左邊有幾個交點，在x=-1的右邊就有幾個交點，即有偶

數(shù)個交點，；.C正確；

D.根據(jù)C,若y=4(x+l)和y=g(X)的圖象只有一個公共點時，這個公共點應是這

兩個圖象的頂點，

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.,.2a--1,解得a=----正確.

2

故選：ABCD.

【點評】本題考查了偶函數(shù)的定義及判斷，根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調性的方法，基本

初等函數(shù)和復合函數(shù)的求導公式，二次函數(shù)和偶函數(shù)的圖象的對稱性，考查了計算能力，

屬于中檔題.

三.填空題（共4小題）

13.（2021春?東莞市期中）一質點沿直線運動，如果由始點起經過f秒后的位移為

s—t（單位：〃?），那么這個質點在2秒末的瞬時速度是（m/s）.

3

【考點】變化的快慢與變化率；導數(shù)的運算.

【專題】函數(shù)思想；定義法；導數(shù)的概念及應用；數(shù)學運算.

【分析】利用導數(shù)的物理意義，求出瞬時速度，然后將/=2代入求解即可.

【解答】解：因為所以s'=戶-1,即v（/）=產-1,

3

當f=2時，v（2）=22-1=3,

所以這個質點在2秒末的瞬時速度是3（m/s）.

故答案為：3.

【點評】本題考查了導數(shù)的物理意義的理解和應用，解題的關鍵是掌握位移的導數(shù)即為

瞬時速度，屬于基礎題.

14.（2021?臨沂二模）現(xiàn)有標號為①，②，③，④，⑤的5件不同新產品，要放到三個

不同的機構進行測試，每件產品只能放到一個機構里.機構4,8各負責一個產品，機構

C負責余下的三個產品，其中產品①不在N機構測試的情況有1^種（結果用具體數(shù)

字表示）.

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)題意，有產品①必須在8機構或者C機構測試，由此分2種情況討論，由

加法原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，產品①不在“機構測試，則產品①必須在8機構或者C機構

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測試，

若產品①在B機構檢測，有C4k33=4種情況，

若產品①在C機構檢測，有C42A22=12種情況，

則一共有4+12=16種情況，

故答案為：16.

【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分類、分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

15.（2004?福建）如圖，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再

2

沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器.當這個正六棱柱容器的底面邊長為———

【專題】壓軸題.

【分析】要求正六棱柱容器的容積最大，得需要得出容積表達式；由柱體的體積公式知,

底面積是正六邊形，

是六個全等小正△的和，高是Rt△中60°角所對的直角邊，由高和底面積得出容積函數(shù),

用求導法可以求出最大值時的自變量取值.

【解答】解：如圖，設底面六邊形的邊長為x,高為力則

d=?怎.｝（17）；又底面六邊形的面積為：

S=6'—,A2,sin60°=—/^2；J聽以，這個正六棱柱容器的容積為:

22v

3r~、A/3923

V=Sd=——(1-x)=———宏），則對r求導,則

4

92

V-——(2x-3x2),令%=0,得x=0或工=——，

43

第15頁共27頁

當0cx<_!時，V'>0,「是增函數(shù)；當x>上時，V<0,/是減函數(shù)；.時,

333

修有最大值.

2

故答案為：_

3

【點評】本題通過建立體積函數(shù)表達式，由求導的方法求函數(shù)最大值，是比較常用的解

題思路，也是中學數(shù)學的重要內容.

16.(2021?鏡湖區(qū)校級模擬)已知三棱錐Z-8CO中，點/在平面BCD上的射影與點。重

合,4)=。=4.若NC8O=135°,則三棱錐Z-8CC的外接球的體積為_32y§\—?

【考點】球的體積和表面積.

【專題】數(shù)形結合；綜合法；空間位置關系與距離；數(shù)學運算.

【分析】由題意畫出圖形，求解三角形可得三角形88外接圓的半徑，再由勾股定理求

出三棱錐A-BCD的外接球的半徑，代入球的體積公式可得三棱錐A-BCD的外接球的

體積.

【解答】解：如圖，

設△6C0的外接圓的圓心為Oi,半徑為一，三棱錐4-BCQ的外接球的球心為O,

AT)

半徑為R,則OO4平面BCQ,故00,=^——=2，

1O

CD_

在△BCD中，由正弦定理得2r=----------------------=4/2,故尸=2Jv^，

sinZ_CBD、

則R=W+OO」=2遍

4&4_a

故球。的體積為v=——天夫j=——兀x（2禽）」=32^/3^-

33

故答案為：32V/§匯

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【點評】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算

求解能力，是中檔題.

四.解答題(共6小題)

17.(2021春?如東縣期中)從下列三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答

①。sio4=jgacosB；(2)(a+c+b)(a+c-b)—3ac；③2cos8(acosC+ccos/)—b.在

△/8C中，角/,B,C,所對的邊分別為a,b,c,滿足條件

(1)求角8的大小;

(2)若。=4,SAXBC=6/W，求6的值.

【考點】正弦定理；余弦定理.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學運算.

【分析】選①：由正弦定理化簡可求tanB,進而可求&

選②：由已知整理后利用余弦定理可求cos8,進而可求8；

選③：由正弦定理及兩角和的正切公式進行化簡可求cos8,進而可求8,

(2)由以h8。=」-<1csinB=6,W可求c,然后結合余弦定理可求從

【解答】解：選①6sin4=、/孕cos8,

由正弦定理得sin8sinJ=\/Wsirt4cos8,

因為sinJKO,

所以sirtB=jgcosB,

故tanB=

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因為6為三角形內角,

所以B=-f

3

選②：(a+c+b)(q+c-b)=3acf

所以(a+c)2-P=3ac，

222

整理得a+c-b=acf

222

由余弦定理得cos^=——-------,

2ac2

因為8為三角形內角，

所以B=—,

3

選③：2cos8(acosC+ccos/)=b,

由正弦定理得2cosB(sinylcosC+sinCcosJ)=sinB,

即2cosBsin(A+C)=sinB,

所以2cos8sin5=sin8,

因為sin8>0,

所以cosfi=—,

2

因為8為三角形內角，

所以B=—f

3

(2)若。=4,S△45c=：acsinB=6、/W，

則上X4cX4^=6/§>

22V

c=6,

.1a'-\-c~-b~16+36—廣

由z余弦定理得cosB=——=--------------=---------------,

22ac2X4X6

解得6=2

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【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面積公式在求解

三角形中的應用，屬于中檔題.

18.(2019?永州三模)某機器生產商，對一次性購買兩臺機器的客戶推出兩種超過質保期后

兩年內的延保維修方案：

方案一：交納延保金6000元，在延保的兩年內可免費維修2次，超過2次每次收取維修

費1500元;

方案二：交納延保金7740元，在延保的兩年內可免費維修4次，超過4次每次收取維修

費a元.

某工廠準備一次性購買兩臺這種機器，現(xiàn)需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為

此搜集并整理了100臺這種機器超過質保期后延保兩年內維修的次數(shù)，統(tǒng)計得如表：

維修次數(shù)0123

機器臺數(shù)20104030

以這100臺機器維修次數(shù)的頻率代替一臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率.記X表示這兩臺機

器超過質保期后延保的兩年內共需維修的次數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)以所需延保金與維修費用之和的期望值為決策依據(jù)，該工廠選擇哪種延保方案更合

算.

【考點】離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差.

【專題】計算題；轉化思想；概率與統(tǒng)計；排列組合.

【分析】(1)確定隨機變量X的所有的取值為0,1,2,3,4,5,6對應的概率即相應

頻率，列出分布列即可.

(2)求出(1)中分布列的數(shù)學期望，即可做出判斷.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，隨機變量X的所有取值為0,1,2,3,4,5,6因為以這

100臺機器維修次數(shù)的頻率代替一臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率.

所以，P(X=0)=0.2X0.2=0.04,P(X=l)=f\0.2X0.1=0.04,P(X=2)=0.1

xo」+0.2X0.4=017,尸(x=3)=C；XO.1XO.4+C；XO.2XO.3

=0.2.P(%=4)=04X0.4+C：X0.IX0.3=022

P(%=5)=c：X0.4X0.3=024,尸(X=6)=0.3X0.3=0.09.

第19頁共27頁

所以隨機變量X的分布列為:

X0123456

P0.040.040.170.20.220.240.09

(2)設所需延保金與維修費用之和為%(〃=1,2),若采用方案1,則隨機變量H的

分布列為：

n6000750090001050012000

P0.250.20.220.240.09

貝IJ隨機變量"的期望為:H)=6000X0.25+7500X0.2+9000X0.22+10500X0.24+12000

X0.09=8580%.

若采用方案2,則隨機變量力的分布列為：

Y27740a+77402a+7740

P0.670.240.09

所以隨機變量力的期望為：

E(當)=0.67*7740+0.24X(a+7740)+0.09X(2a+7740)=7740+0.42。元.

令7740+0.424=8580,得“=2000元，

①若。＜2000,則方案1的費用高，應選擇方案2.

②若。=2000,則兩種方案費用一樣多，可以任選一個方案.

③若。＞2000,則方案2的費用高，應選擇方案1.

【點評】本題考查了隨機變量的分布列，容易錯把統(tǒng)計的100臺機器的概率分布當成購

買的兩臺機器的概率分布，屬于難題.

19.(2021?濟寧一模)如圖所示多面體/8。。￡尸中，平面/?！辏海矫?18?！?,。/_1_平面/8?！?,

兀

△4DE是正三角形，四邊形A&CD是菱形，4B=2,CF=熱ZBAD=——.

(1)求證：EF〃平面4BCD；

(2)求二面角E-/尸-C的正弦值.

第20頁共27頁

F

E

(D，

AB

【考點】直線與平面平行；二面角的平面角及求法.

【專題】轉化思想；向量法；立體幾何：直觀想象；數(shù)學運算.

【分析】（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理證明；（2）用向量數(shù)量積計算二面角的余

弦值，進而求解.

【解答】（1）證明：取/。中點N,連接NE、NC,

因為△力。E是正三角形，所以EN=2?sin60°=J§，

因為平面平面/8C。，平面力OEA平面

所以EN_L平面ABCD,又因為CF_L平面/8C。，

所以EN〃C