2022-2023學(xué)年初中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題1-9 二次函數(shù)中的最值問題【八大題型】（浙教版）（原卷版）

專題1.9二次函數(shù)中的最值問題【八大題型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1已知二次函數(shù)的對稱軸及自變量取值范圍求最值】 2【題型2已知含參二次函數(shù)的對稱軸及最值求參】 4【題型3已知二次函數(shù)解析式及最值求自變量取值范圍】 6【題型4二次函數(shù)中求線段最值】 10【題型5二次函數(shù)中求線段和差最值】 18【題型6二次函數(shù)中求周長最值】 32【題型7二次函數(shù)中求面積最值】 42【題型8二次函數(shù)在新定義中求最值】 52【知識點(diǎn)1二次函數(shù)的最值】1.對于二次函數(shù)在上的最值問題（其中a、b、c、m和n均為定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自變量x為全體實(shí)數(shù)，如圖①，函數(shù)在時，取到最小值，無最大值．（2）若，如圖②，當(dāng)，；當(dāng)，．（3）若，如圖③，當(dāng)，；當(dāng)，．（4）若，，如圖④，當(dāng)，；當(dāng)，．2.對于二次函數(shù)，在（m，n為參數(shù)）條件下，函數(shù)的最值需要分別討論m，n與的大小．【題型1已知二次函數(shù)的對稱軸及自變量取值范圍求最值】【例1】（2022秋?開福區(qū)校級期中）二次函數(shù)y＝x2﹣2x+m．當(dāng)﹣3≤x≤3時，則y的最大值為（用含m的式子表示）．【變式1-1】（2022秋?河西區(qū)期末）當(dāng)x≥2時，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3有（）A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4【變式1-2】（2022秋?上城區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝x2，當(dāng)﹣1≤x≤2時，求函數(shù)y的最小值和最大值．小王的解答過程如下：解：當(dāng)x＝﹣1時，y＝1；當(dāng)x＝2時，y＝4；所以函數(shù)y的最小值為1，最大值為4．小王的解答過程正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答過程．【變式1-3】（2022?安徽模擬）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），且對稱軸為直線x＝1．（1）求b+c的值．（2）當(dāng)﹣4≤x≤3時，求y的最大值．（3）平移拋物線y＝x2+bx﹣c，使其頂點(diǎn)始終在二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值．【題型2已知含參二次函數(shù)的對稱軸及最值求參】【例2】（2022?鹿城區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx（m為不等于0的常數(shù)），當(dāng)﹣2≤x≤3時，函數(shù)y的最小值為﹣2，則m的值為（）A．±16 B．?16或12 C．?16【變式2-1】（2022秋?龍口市期末）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+2x+2a+3，當(dāng)0≤x≤1時，y的最大值為10，則a的值為．【變式2-2】（2022?灌南縣二模）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c，當(dāng)﹣1≤x≤2時，y有最小值7，最大值11，則a+c的值為（）A．3 B．9 C．293 D．【變式2-3】（2022?青山區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c，當(dāng)x＞0時，函數(shù)的最小值為﹣3，當(dāng)x≤0時，函數(shù)的最小值為﹣2，則b的值為（）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【題型3已知二次函數(shù)解析式及最值求自變量取值范圍】【例3】（2022?寧陽縣一模）當(dāng)0≤x≤m時，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3的最小值為﹣3，最大值為1，則m的取值范圍是（）A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥2【變式3-1】（2022?龍港市模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4x+5，當(dāng)m≤x≤m+3時，求y的最小值（用含m的代數(shù)式表示）．【變式3-2】（2022?廬陽區(qū)一模）設(shè)拋物線y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b為實(shí)數(shù)，a＜0，且經(jīng)過（3，0）．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（2）若a＝﹣2，當(dāng)t﹣2≤x≤t時，函數(shù)的最大值是6，求t的值；（3）點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），將點(diǎn)A向右平移3個單位長度，得到點(diǎn)B．若拋物線與線段AB有兩個公共點(diǎn)，求a的取值范圍．【變式3-3】（2022?文成縣一模）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的一個交點(diǎn)為（﹣1，0），且經(jīng)過點(diǎn)（2，c）．（1）求拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)t≤x≤2﹣t時，函數(shù)的最大值為M，最小值為N，若M﹣N＝3，求t的值．【題型4二次函數(shù)中求線段最值】【例4】（2022?黔東南州二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，求MB+MC的最小值；（3）若點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，線段PQ是否存在最大值？若存在，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式4-1】（2022?太原一模）綜合與實(shí)踐如圖，拋物線y＝x2+2x﹣8與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D在直線AC下方的拋物線上運(yùn)動，過點(diǎn)D作y軸的平行線交AC于點(diǎn)E．（1）求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）求線段DE的最大值；（3）當(dāng)點(diǎn)F在拋物線的對稱軸上運(yùn)動，以點(diǎn)A，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【變式4-2】（2022?平果市模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（0，3），點(diǎn)P是直線AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P在第一象限，連接AM，BM．當(dāng)線段PM最長時，求△ABM的面積；（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，M，B，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式4-3】（2022春?九龍坡區(qū)校級期末）拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A（﹣4，0）和B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動點(diǎn)．求拋物線的解析式；（1）過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，求22PE的最大值及此時點(diǎn)P（2）將拋物線y＝ax2+bx+4向右平移4個單位，得到新拋物線y'，點(diǎn)M是拋物線y'的對稱軸上一點(diǎn)．在x軸上確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．【題型5二次函數(shù)中求線段和差最值】【例5】（2022春?良慶區(qū)校級期末）如圖，已知拋物線的解析式為y=?34x2?94x+3，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與（1）請分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；（2）連接AC、BC，將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為M、N，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P為該拋物線上一動點(diǎn)，在（2）的條件下，請求出使|NP﹣BP|最大時點(diǎn)Р的坐標(biāo)，并請直接寫出|NP﹣BP|的最大值．【變式5-1】（2022?濠江區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝x2+（m+1）x+4m+9．（1）對于任意m，二次函數(shù)都會經(jīng)過一個定點(diǎn)，求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)m＝﹣3時，如圖，二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為M，頂點(diǎn)為N．①若點(diǎn)P是x軸上的動點(diǎn)，求PN﹣PM的最大值及對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；②設(shè)點(diǎn)Q是二次函數(shù)上的動點(diǎn)，點(diǎn)H是直線MN上的動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得△OQH是以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△OQH？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式5-2】（2022?建華區(qū)二模）綜合與實(shí)踐如圖，已知正方形OCDE中，頂點(diǎn)E（1，0），拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C、點(diǎn)D，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），直線x＝t（t＞0）交x軸于點(diǎn)（1）求拋物線的解析式，且直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)G是拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，且使AG+CG最小，則G點(diǎn)坐標(biāo)為：；（3）在直線x＝t（第一象限部分）上找一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、點(diǎn)B、點(diǎn)F為頂點(diǎn)的三角形與△OBC全等，請你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）點(diǎn)M是射線AC上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)O、點(diǎn)A、點(diǎn)M、點(diǎn)N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請你直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式5-3】（2022?南寧一模）如圖1所示拋物線與x軸交于O，A兩點(diǎn)，OA＝6，其頂點(diǎn)與x軸的距離是6．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P的直線y＝x+m與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)Q．①當(dāng)△POQ與△PAQ的面積之比為1：3時，求m的值；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時，過點(diǎn)B（3，3）的直線AB與直線PQ交于點(diǎn)C，求PC+CQ的最大值．【題型6二次函數(shù)中求周長最值】【例6】（2022?南京模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2ax+4與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），B（x2，0），與y軸交于點(diǎn)C．經(jīng)過點(diǎn)B的直線y＝kx+b與y軸交于點(diǎn)D（0，2），與拋物線交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的表達(dá)式及B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上的動點(diǎn)，當(dāng)△AEP的周長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是直線BE上的動點(diǎn)，過M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N，判斷是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)M，N，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式6-1】（2022?樂業(yè)縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是2．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使得△PBC的周長最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在一點(diǎn)E，使得以E、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式6-2】（2022?覃塘區(qū)三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣1）和點(diǎn)B（5，4），P是直線AB下方拋物線上的一個動點(diǎn)，PC∥y軸與AB交于點(diǎn)C，PD⊥AB于點(diǎn)D，連接PA．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)△PCD的周長取得最大值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PCD周長的最大值；（3）當(dāng)△PAC是等腰三角形時，請直接給出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式6-3】（2022?黃石模擬）如圖，已知拋物線y=ax2+85x+c與x軸交于A（2，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4），直線l：y=?12x?4與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線y=ax2+8（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是拋物線上位于第三象限的一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m，四邊形PCOB的面積是S．①求S關(guān)于m的函數(shù)解析式及S的最大值；②點(diǎn)Q是直線PE上一動點(diǎn)，當(dāng)S取最大值時，求△QOC周長的最小值及FQ的長．【題型7二次函數(shù)中求面積最值】【例7】（2022?三水區(qū)校級三模）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x軸于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若經(jīng)過點(diǎn)A的直線y＝kx+k交拋物線于點(diǎn)D．①當(dāng)k＞0且a＝﹣1時AD交線段BC于E，交y軸于點(diǎn)F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；②當(dāng)k＜0且k＝a時，設(shè)P為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動點(diǎn)，那么以A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，請說明理由．【變式7-1】（2022?宜興市二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a為常數(shù)，且a＜0）與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線BD與y軸相交于點(diǎn)E．（1）求證OC=12（2）M為線段OB上一點(diǎn)，N為線段BE上一點(diǎn)，當(dāng)a=?12時，求△（3）若Q為第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，小林猜想：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時，四邊形ABQC的面積取得最大值．請判斷小林猜想是否正確，并說理由．【變式7-2】（2022秋?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，直線y=?34x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=?38x2+34x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為C，點(diǎn)P是第一象限拋物線上的點(diǎn)，連結(jié)OP交直線AB于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m【變式7-3】（2022?大慶三模）如圖，已知拋物線y=14x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，2），對稱軸為x＝2，直線y＝kx（k＞0）分別交拋物線于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），直線y＝mx+n分別交y軸、x軸于點(diǎn)D，E（4，0），交拋物線y軸右側(cè)部分于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)P，且OC＝（1）求拋物線及直線DE的函數(shù)表達(dá)式；（2）若G為直線DE下方拋物線上的一個動點(diǎn)，連接GD，GF，求當(dāng)△GDF面積最大時，點(diǎn)G的坐標(biāo)及△GDF面積的最大值；【題型8二次函數(shù)在新定義中求最值】【例8】（2022?安順）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為和諧點(diǎn)．例如：點(diǎn)（1，1），（12，12），（?2（1）判斷函數(shù)y＝2x+1的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點(diǎn)（52，5①求a，c的值；②若1≤x≤m時，函數(shù)y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值為﹣1，最大值為3，求實(shí)數(shù)【變式8-1】（2022?姑蘇區(qū)校級模擬）平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意的三個點(diǎn)A、B、C，給出如下定義：若矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A，B，C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的“三點(diǎn)矩形”．在點(diǎn)A，B，C的所有“三點(diǎn)矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的“最佳三點(diǎn)矩形”．如圖1，矩形DEFG，矩形IJCH都是點(diǎn)A，B，C的“三點(diǎn)矩形”，矩形IJCH是點(diǎn)A，B，C的“最佳三點(diǎn)矩形”．如圖2，已知M（4，1），N（﹣2，3），點(diǎn)P（m，n）．（1）①若m＝2，n＝4，則點(diǎn)M，N，P的“最佳三點(diǎn)矩形”的周長為，面積為；②若m＝2，點(diǎn)M，N，P的“最佳三點(diǎn)矩形”的面積為