2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué) 平行四邊形 培優(yōu) 易錯(cuò) 難題練習(xí)附詳細(xì)答案

備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)行四邊形培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)(含答案)附詳細(xì)答案一、平四邊形1．如圖，四邊形中對(duì)角線AC、相于點(diǎn)O，=BODO，ABCADC．（）證：四形ABCD是形．（）若ADF：FDC：，，求BDF的數(shù)．【答案】見(jiàn)析；（）18°.【解析】【分析】（）據(jù)平行邊形的判定得出四邊形ABCD是行四邊形，求出ABC=90°，據(jù)矩形的判定得出即可；（）出FDC的數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求DCO根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OD=OC，求出，可求出答案．【詳解】（）明，四形是行四邊形，ABC=ADC，ABC+ADC=180°，ABC=，四形是形；（）：ADC=90°ADF：FDC=3：，F(xiàn)DC=36°，AC，DCO=90°﹣，四形是形，OC=OD，ODC=54°BDF=ODC﹣FDC=18°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對(duì)角線相等，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．2．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中O為角線BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的線EF分交，于E，兩，連結(jié)BE，．

（）證eq\o\ac(△,)DOEBOF．（）當(dāng)DOE等于多少度時(shí)，四邊形BFDE為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（）明見(jiàn)解析；2）DOE=90°時(shí)，四邊形為形，理由見(jiàn)解析【解析】試題分析：1）用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得eq\o\ac(△,)DOE（）（）先利用組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是行四邊形，進(jìn)而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED，可得出答案試題解析：1）在ABCD中，為對(duì)角線BD的點(diǎn)，，EDB=，eq\o\ac(△,)EOD和FOB中，DOEBOF（）（）當(dāng)DOE=90°時(shí)四邊形BFDE為形，理由：DOEBOF，OE=OF又，四邊形EBFD是行四邊形，，，四形BFDE為菱形．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．3．如圖，四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，射線BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接CF．（）證：四形是形；（）AD=1，，求的長(zhǎng)．【答案】（）明見(jiàn)解析223【解析】（）AF，=，=BFD，

點(diǎn)E為的點(diǎn)，=，F(xiàn)BCBFDeq\o\ac(△,)BCEeq\o\ac(△,)FDE中CDF

，

DEBCE，DF，又DFBC，四形BCDF為行四邊形，BDBC，四形BCFD是菱形；（）四形BCFD是菱形，BDDF=BC，，在eq\o\ac(△,)中，ABADAF=AD+，在eq\o\ac(△,)中，BF

AB2AF

2

=23．4．在正方形中點(diǎn)E，分在邊BCCD上，且EAF=CEF=45°.(1)eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，eq\o\ac(△,)如①)求證eq\o\ac(△,)AEGAEF；(2)若線EF與AB，的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M如②，證：EF+NF

；(3)將方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其條件不(如③，請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段，BE，之的數(shù)量關(guān)系【答案】（）明見(jiàn)解析；2）明見(jiàn)解析；）EF=2BE+2DF.【解析】試題分析：1）據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AGGAE=45°，可eq\o\ac(△,)AEGAEF（）eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)A順針旋轉(zhuǎn)90°得eq\o\ac(△,)ABG，連結(jié)GM．由（）AEGAEF，則．eq\o\ac(△,)BMEeq\o\ac(△,)、CEF均等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，，然后證明GME=90°，，用勾股定理得出2，等量代換即可證明=ME2+NF；（）eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)A順針旋轉(zhuǎn)90°得eq\o\ac(△,)ABG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到ADFABG則DF=BG，證eq\o\ac(△,)AEF得出EG=EF，，量代換得到EF=BE+DF．試題解析：1）繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得eq\o\ac(△,)，AF=AG，EAF=45°，，eq\o\ac(△,)與AFE中，

，AFE（）（）正方形的長(zhǎng)．eq\o\ac(△,)繞著點(diǎn)順針轉(zhuǎn)，eq\o\ac(△,)ABG連結(jié)．eq\o\ac(△,)ABG．由（）eq\o\ac(△,)，．CEF=45°，BMEeq\o\ac(△,)、CEF均等腰直角三角形，CE=CF，，NF=﹣BE=a﹣，BE=DF，BMG=45°，GME=45°+45°=90°，2=ME2，

，，MG=+NF2；

BM=DF=NF（）2=2BE+2DF2．如圖所示，延長(zhǎng)交AB延線于M點(diǎn)，交AD延線于N點(diǎn)eq\o\ac(△,)繞著點(diǎn)順針轉(zhuǎn)，eq\o\ac(△,)AGH，結(jié)HM，．由（）eq\o\ac(△,)AEF則由勾股定理有GH+BE）=EH2，即（GH+BE）+BM﹣）=EH

2又，BE=BM，以有（）+（﹣GH）=EF，

即2（2+BE

）2考點(diǎn)：四邊形綜合題5．圖1、2是張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．（）圖1中出等腰直角三角形MON，使點(diǎn)N在格點(diǎn)上，且；（）圖2中格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)正形，正形面等于（）等腰直角三角形MON面的4倍，并將正方形分成以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，且正方形ABCD面沒(méi)有剩余（畫(huà)出一種即可）．【答案】（）圖參見(jiàn)解析；2作圖參見(jiàn)解析【解析】試題分析：1）點(diǎn)O向線段OM作線，此直線與格點(diǎn)的交點(diǎn)為N連接MN即；（）據(jù)勾股理畫(huà)出圖形即可．試題解析：1）點(diǎn)O向線段OM作線，此直線與格點(diǎn)的交點(diǎn)為N連接MN，如圖1所示；（）腰直角角形面積是5，此正方形面積是，如圖所示；于是根據(jù)勾股定理畫(huà)出圖：

1111111111111111111111111考點(diǎn)：作圖﹣用與設(shè)計(jì)作圖勾定.6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線DE交x軸點(diǎn)（0）交y軸點(diǎn)D（，40）直線：＝

+5交x軸點(diǎn)A，交軸點(diǎn)，交直線于P，過(guò)點(diǎn)作⊥軸交直線于，EF為邊向右作正方形EFGH．（）邊EF的；（）正方形EFGH沿線FB的方向以每秒個(gè)位速度勻速平移，得到正方形FG，在平移過(guò)程中邊FG始終與軸直，設(shè)平移的時(shí)間為秒（t＞）．①當(dāng)移到點(diǎn)時(shí)，求的；②當(dāng)GH兩點(diǎn)中有一點(diǎn)移動(dòng)到直線DE上，請(qǐng)直接寫(xiě)出此正方形EFGH與重疊部分的面積．【答案】（）15；（）；②120【解析】【分析】（）據(jù)已知（，）點(diǎn)D0，），求出直線的線解析式y(tǒng)=-

x+40，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出F點(diǎn)標(biāo)即可；（）易求B（，），當(dāng)點(diǎn)移到點(diǎn)時(shí)，t=101010=10；②F點(diǎn)動(dòng)到F'的離是10，垂x軸向移動(dòng)的距離是，點(diǎn)H運(yùn)到直線DE上時(shí)，在eq\o\ac(△,)F'NF中

1MH4=，eq\o\ac(△,)中EM

，

t=4，

×(12+)×11=

；當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到直線DE上，在eq\o\ac(△,)F'PK中

1=，F(xiàn)3PK=t-3，，eq\o\ac(△,)PKG'中

t＝＝，，（15-7=120.KG3【詳解】（）直線DE的線解析式y(tǒng)＝kx+b將點(diǎn)，），點(diǎn)D（，），

k，b

，y＝

x+40，直線AB與直線DE的交點(diǎn)P，），由題意知F（，），＝；（）易求B（，），BF＝當(dāng)1

10，移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)＝101010＝；②當(dāng)運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)移動(dòng)的距離是t，在eq\o\ac(△,)F'NF中，

NF1=，NF3FN，＝3t，MH'＝＝，EM＝＝﹣＝﹣，在eq\o\ac(△,)DMH'中MH4EM3

，

tt3

，t＝，＝3MH'＝，＝)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)到直線DE上，

；F點(diǎn)移動(dòng)的距離是t，＝

10，PF'10

﹣，在eq\o\ac(△,)F'PK中PKF3

，PK＝3，＝﹣，在eq\o\ac(△,)PKG'中

PKt＝＝，tt＝，＝﹣7120.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)；掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用三角形的正切值求邊的關(guān)系，利用勾股定理在直角三角形中建立邊之間的聯(lián)系，準(zhǔn)確確定陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．7．菱形中、BAD＝，O為線上動(dòng)點(diǎn)，作射線與直線相交于點(diǎn)，射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，到線ON，線ON與線相交于點(diǎn)．（）圖，點(diǎn)O與重時(shí)，點(diǎn)E，分在線段BC，上，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，CA三條段段之間的數(shù)量關(guān)系；（）圖，點(diǎn)O在的長(zhǎng)線上，且OA＝

，，分在線段的延長(zhǎng)線和線段CD的長(zhǎng)線上，請(qǐng)寫(xiě)出，CFCA三線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（）O在段上若＝6，BO＝7，CF1時(shí)請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的．

【答案】（）．（）CF-CE=

AC．（）的為或或．【解析】【分析】（）圖中，結(jié)論：CA=CE+CF．要證eq\o\ac(△,)ACE（）可解決問(wèn)題（）論：

AC．如圖中，如圖作AD交于，eq\o\ac(△,)是等邊三角形．只要證eq\o\ac(△,)（）可解決題；（）四種情畫(huà)出圖形分別求解即可解決問(wèn).【詳解】（）圖中，結(jié)論：CA=CE+CF．理由：四形是形BAD=120°，BAC=DAC=60°，ACD都等三角形，DAC=EAF=60°，，CA=AD，ACE=60°ADFACE（），，．（）論：

AC．理由：如圖中如圖作AD交于，eq\o\ac(△,)OGC等邊三角形．

FOE=60°，F(xiàn)OG=EOC，OG=OC，，F(xiàn)OG（，，OC=OG，CA=CD，，CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+

AC=AC（）BHAC于H．AB=6，，如圖中當(dāng)點(diǎn)在線段AH上，點(diǎn)在段CD上點(diǎn)E在段BC上．7，

OB

2

BH

2，OC=3+1=4，由（）知，OC=4CF=1，，BE=6-3=3．如圖中當(dāng)點(diǎn)在線段AH上，點(diǎn)在段DC的長(zhǎng)線上點(diǎn)在段BC上．

由（）知CE-CF=OC，，．如圖中當(dāng)點(diǎn)在線段CH上點(diǎn)F在段CD上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)．同法可證：，，CF=1，，BE=6-1=5．如圖中當(dāng)點(diǎn)在線段CH上點(diǎn)F在段DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段BC上．同法可知：，，，綜上所述，滿足條件的的為3或5或．

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．8．（）圖1，矩形折疊，使落對(duì)角線BD上折痕為BE，落在點(diǎn)∠ADBo，DBE的數(shù)為_(kāi)____o.（）明手中一張矩形紙片

ABCD

，，

AD

.（畫(huà)一畫(huà)）如圖，點(diǎn)在張矩形紙片的邊AD上將紙片折疊，使落在

所在直線上，折痕設(shè)為

MN

（點(diǎn)M

，

分別在邊，

上），利用直尺和圓規(guī)畫(huà)出折痕

（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；（算一算）如圖，點(diǎn)F在張矩形紙片的邊

BC

上，將紙片折疊，使FB落射線上，折痕為

GF，A,B分落在點(diǎn)

，

處，若

AG

，求

長(zhǎng)【答案】（）；2）一；見(jiàn)解析；算一算：

B【解析】【分析】（）用平行的性質(zhì)以及翻折不變性即可解決問(wèn)題；（）畫(huà)一畫(huà)，如圖中延長(zhǎng)BA交的延長(zhǎng)線由G，的平分線交AD于M，BC于，線即所求；【算一算】首先求出GD=9-

，由矩形的性質(zhì)得出BC，，平線的性質(zhì)得出DGF=，由翻折不變性可知BFG=DFG，證出DFG=，等腰三角形的判定定理證出DF=DG=

，再由勾股定理求出CF，可得BF，利用翻折不變性，可知FB′=FB，此即可解決問(wèn)題．

【詳解】（）圖1所：四形是形，，ADB=，由翻折的性質(zhì)可知，DBE=EBC=故答案為．（）畫(huà)一畫(huà)如圖所示：

，【算一算】如所：AG=

，，GD=9-

，四形是形，，BC=AD=9，DGF=，由翻折不變性可知，BFG=DFG，DFG=，

22

，CD=AB=4，在eq\o\ac(△,)CDF中由勾股定理CF=

DF

2

CD

2

2

，BF=BC-CF=9

11

，由翻折不變性可知，F(xiàn)B=FB

，′D=DF-FB′=

.【點(diǎn)睛】四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用翻折不變性解決問(wèn)題．9．如圖，正方形ABCD中，AD=6，點(diǎn)是對(duì)角線BD上意一點(diǎn)，連接，過(guò)P作PE交直線AB于．（）求：PC=PE;（）延AP交直線CD于點(diǎn)F.①如2，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，eq\o\ac(△,)APE的積；②若ΔAPE的面積是

，則DF的長(zhǎng)為（）如3，在AB上連接EC交BD于M,作E關(guān)BD的對(duì)稱點(diǎn)，接，，過(guò)點(diǎn)P作PNCD交EC于點(diǎn)，接QN，，MN=面積是

2

，則MNQ的【答案】（）；（2），或；）【解析】【分析】

（）用正方每個(gè)角都是90°對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，等角對(duì)等邊等性質(zhì)容易得;（）eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)的高，由面積法容易求出這個(gè)高的從而得eq\o\ac(△,)PAE的和，并求出面積第2小思路一樣，通過(guò)面積法列出方程求解即;（）據(jù)已經(jīng)件證eq\o\ac(△,)是直角三角形，計(jì)算直角邊乘積的一半可得其面.【詳解】(1)證：點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，ADPPE，EPB+EBP+EPB=45°+90°-BPC=135°-BPC,＝∠DCP=BPC-PDC=BPC-45°,BPC-45°)=BPC,PAE,PC=PE;（）如圖，過(guò)點(diǎn)分別作PHAD,PG垂分別為H、延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M.四形是方形，在對(duì)角線上，四形是方形，AB,設(shè)PH=PG=a,F是CD中點(diǎn)6，F(xiàn)D=3,SADF

=9,SADFADPnDFP

=

ADDFPG

,

,解a=2,又PA=PE,

APE

=

,②設(shè)HP＝由可

a3a3

APE

=

b6

,解得b=2.4或3.6SADF

=

S

DFP

=

ADDFPG

,

1DFDF22

,當(dāng)b=2.4時(shí)，；當(dāng)＝時(shí)，DF＝即DF的為4或9;（）圖，EQ關(guān)BP對(duì)，1＝22+3＝4,易eq\o\ac(△,)PNQPNC,6,7=8,EM=QM,NQ=NC,7=90°,MNQ是角三角形,設(shè)列程組73

,可得

ab=,

S

VMNQ

,【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思.

10．圖，現(xiàn)將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′與CD交于點(diǎn)．（）證eq\o\ac(△,)AED；（）點(diǎn)作AC交AB于F，連接CF判斷四邊形AECF的形狀并給予證明．【答案】（）解析（2見(jiàn)解析【解析】【分析】（）題意可，B=D=B'且，用AAS證全等，則結(jié)論可得；（）eq\o\ac(△,)CEB可得，且EF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF垂平分AC，AEF=CEF．AF=CF，AFE=AEF可得AE=AF，可證四邊形AECF是形．【詳解】證明：1）四形ABCD是行四邊形＝，，＝平四邊形沿對(duì)角線AC折BC＝B'C，＝B'＝B'＝且DEA＝B'ECB'EC（）邊形AECF是菱形B'EC＝＝，EFAC垂平分，＝CEF＝CDCEF＝EFA且＝CEFAEF＝EFA＝＝＝＝四形AECF是形【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

11．圖1，形中，，；E是角BD上動(dòng)點(diǎn)，連接CE作EFCE交AB邊于點(diǎn)，CE和為邊作矩形CEFG作其對(duì)角線相交于點(diǎn)．（）如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重時(shí)CE=

，

；②如3，點(diǎn)E是BD中點(diǎn)時(shí)，

，

；（）圖1，接，矩形CEFG隨點(diǎn)E的動(dòng)而變化時(shí)，猜eq\o\ac(△,)EBG的狀？并加以證明；（）圖1，

CGCE

的值是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出它的值；若改變，說(shuō)明理由；（）圖1，DE的為，矩形CEFG的積為，求關(guān)x的數(shù)關(guān)系式，直接寫(xiě)出x的取值范圍．18【答案】（），，，；（eq\o\ac(△,)是角三角形，理由詳見(jiàn)解析；3）；（）x﹣x+48≤x）5【解析】【分析】（）利用面積法求出，再利用勾股定理求出EF即利用直角三角形斜邊中線定理求出CE，再利用相似三角形的性質(zhì)求出即；（）據(jù)直角角形的判定方法：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形即可判斷；（）要證eq\o\ac(△,)，可解決問(wèn)題；（）用相似邊形的性質(zhì)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可；【詳解】（）如圖中，在eq\o\ac(△,)中

AD

AB=10，

eq\o\ac(△,)BCD

=

1?CD?BC=?BD?CE2CE=

18．6)=

．②如3中，過(guò)點(diǎn)E作MNAM交AB于，交CD于MDE=BECE=

BD=5，CME△ENF，

CMENEF

，CG=EF=

154

，（）論eq\o\ac(△,)是角三角形．理由：如圖1中連接BH．在eq\o\ac(△,)BCF中，，，四形EFGC是形，，EBG是直角三角形．（）如1中，，CE、、G五點(diǎn)共圓，，EBF，CDAB，CDE，

ABCD=ABCD=DCB=ECG=90°，DCE=BCG，△，

6DC8

．（）（）可知：CGCDCECB4

，矩CEFG形ABCD，

SS

矩形EFG矩形ABCD

CE2CD64

，

CE

=（

24-x）+），=48，5S

CEFG

[（）（）5矩CEFG的積S=x-x+48≤x）．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定和性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形或直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．12．明在矩形紙片上畫(huà)正角形，他的做法是對(duì)矩形紙片使AB與DC重，得到折痕EF，紙片展平；沿折痕BG折紙片，使點(diǎn)C落EF上的點(diǎn)P處，再折出PB，后用筆畫(huà)eq\o\ac(△,出)PBC(1)．（）證：圖中的

是三角形：（）圖2，明在矩形紙HIJK上又畫(huà)了一個(gè)正三角形，中，且HM=JN．①求：IH=IJ②請(qǐng)出NJ的；（）明發(fā)現(xiàn)在矩形紙片中，若一邊長(zhǎng)為，當(dāng)另一邊的長(zhǎng)度變化時(shí)，在矩形紙片上總能畫(huà)出最大的正三角形，但位置會(huì)有所不同．請(qǐng)根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫(huà)出不同情形的示

意圖作工具不限，能說(shuō)明問(wèn)題即)，直寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的a的取值范圍．【答案】（）明見(jiàn)解析；2）證見(jiàn)解析②12-63（）3＜＜，＞43【解析】分析：1）折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC，，出PB=PC=CB可；（）利用“HL證eq\o\ac(△,)IHMeq\o\ac(△,)IJN即可得；②IJ上一點(diǎn)，使QI=QN，由eq\o\ac(△,)IHMeq\o\ac(△,)IJN知HIM=，繼而可得，NJ=x，、QJ=x，據(jù)IJ=IQ+QJ求即得；（）等邊三形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計(jì)算，畫(huà)出圖形即可．（）明①對(duì)矩形紙片ABCD(AB>BC)，與DC重合，得到折痕EFPB=PC沿痕BG折紙片，使點(diǎn)落在EF上的點(diǎn)P處PBC是三角形：（）明①圖矩AHIJH=J=90°是邊三角形在eq\o\ac(△,)和eq\o\ac(△,)JNI中

MININJeq\o\ac(△,)MHIeq\o\ac(△,)JNI（）HI=IJ②在段上點(diǎn)，eq\o\ac(△,)IHMeq\o\ac(△,)IJN，

JIN，、，，由QI=QN知，NQJ=30°設(shè)，則IQ=QN=2x，QJ=QN

3x，IJ=6cm，

3x=12-6

3，NJ=12-6（）（）三種情：①如：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，0＜，則

，

，＜≤②如

3

=3；當(dāng)DF與重時(shí)，，

3

=33，當(dāng)DE與DA重合時(shí)，33＜；

33，

③如DEF是邊三角形FDC=30°

cos30＞4點(diǎn)睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大．13．圖1，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，，中，將沿EF折點(diǎn)E.F分在邊、上，點(diǎn)落AD邊的點(diǎn)M處點(diǎn)C落點(diǎn)N處，MN與CD相交于點(diǎn)P，接設(shè)

AM

n

，其中0<n(1)如2，當(dāng)即M點(diǎn)與點(diǎn)合，證四邊形BEDF為菱形；(2)如3，當(dāng)

(M為AD的點(diǎn)，的發(fā)生變化時(shí)，求證EP=AE+DP(3)如1，當(dāng)m=2(即AB=2AD)，的發(fā)變化時(shí)，

BEAM

的值是否發(fā)生變說(shuō)理由【答案】證見(jiàn)解析；2）證明見(jiàn)解析；不變，理由見(jiàn)解.【解析】試題分析：1）條件可知，當(dāng)n=1（M點(diǎn)D點(diǎn)合），時(shí)，AB=2AD，設(shè)

4A4A，則，矩形的性質(zhì)可以得eq\o\ac(△,)ADE，就可以得出AE=NF，，在eq\o\ac(△,)中，由勾股定理就可以表出AE的，再求出的就可以得出結(jié).（）長(zhǎng)PM交EA延線于G，條件可以得eq\o\ac(△,)GAMeq\o\ac(△,)EMG由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié).（）圖1，接BM交EF于點(diǎn)Q，點(diǎn)作FKAB于K交BM于，通過(guò)證明ABMKFE，可以得出

EKKF，，AB=2AD=2BC，BK=CFAMAMAB就可以得出

BE的值是為定值．AM2（）四形是形，，，A=C=．且n=2，AB=2ADADE+EDF=90°，EDF+NDF=90°，ADE=NDF．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中A，＝，＝NDF，NDF（）AE=NF，．FN=FC，AE=FC．AB=CD，AB-AE="CD-CF."BE="DF."BE=DE．eq\o\ac(△,)中，由勾股定理，得AE

DE

，即AE2ADAE

AD2，AE=

AD.BE=2AD-AD=.5AD334

.（）圖3，長(zhǎng)PM交EA延線于G，．M為的點(diǎn)．四形是形AB=CD，B=∠C=D=90°，CD.GAM=PDM．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)PDM中，＝PDM，＝，AMG＝DMP，（）eq\o\ac(△,)和EMG中＝，PME＝GME，＝，EMPEMG）PD+AE=EP即

（）

BECF1AM2

，值不變，理由如下：如圖，接BM交于Q，點(diǎn)F作于K，BM于點(diǎn)O，EM=EB，MEF=BEF，即FQO=90°.四形FKBC是形，，KBO+KOB=90°.QOF+，QOF=，KBO=OFQ.A=，ABMKFE.

KF即.AMAM，，

BE1AM2

.

BEAM

的值不變．考點(diǎn)：折疊問(wèn)2.矩形的性質(zhì)；3.全三形的判定和性質(zhì)4.勾定理；相似三角形的判定和性質(zhì)．14．正方形中動(dòng)點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)．（）圖，當(dāng)點(diǎn)自向，點(diǎn)自C向B移時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)，你寫(xiě)出AE與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（）圖，當(dāng)，分移到邊，的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE和，（）的結(jié)論還成立嗎？（請(qǐng)你直接回答是或否，須證明）（）圖，當(dāng)，分在，的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，連接，DF，1中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（）圖，當(dāng)，分在，上移動(dòng)時(shí)，連接和