圓與方程（知識點串講）（解析版）

第五講圓與方程1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．3.確定圓心的方法求圓的標準方程，其關(guān)鍵是確定圓心，確定圓心的主要方法有：(1)當題目條件中出現(xiàn)直線與圓相切時，可利用圓心在過切點且與切線垂直的直線上來確定圓心位置；(2)當題目條件中出現(xiàn)直線與圓相交，可考慮圓心在弦的垂直平分線上；(3)當題目條件出現(xiàn)兩圓相切時，可考慮切點與兩圓的圓心共線．4.求圓的方程的兩種方法(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程．(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．例1．(2022·山東威海調(diào)研)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圓，則實數(shù)k的取值范圍是()A．R B．(－∞，1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)【答案】B[由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圓，則5－5k>0，解得k<1.故實數(shù)k的取值范圍是(－∞，1).]例2．(2022·天津卷)在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為____________．【答案】x2＋y2－2x＝0[方法一設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圓經(jīng)過點(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,2＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝0.))∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0．方法二畫出示意圖如圖所示，則△OAB為等腰直角三角形，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為1，所以所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.]練習(xí)．(2022·黑龍江伊春月考)過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4【答案】C[AB的中垂線方程為y＝x，所以由y＝x，x＋y－2＝0的交點得圓心(1,1)，半徑為2，因此圓的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4.]5.與圓有關(guān)的最值問題的常見解法(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題．例3.已知實數(shù)x,y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0．(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值．解原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．(1)eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx．當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取得最大值或最小值，此時eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)(如圖1)．所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3)．圖1圖2(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)(如圖2)．所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6)．[變式探究]在本例條件下，求x2＋y2的最大值和最小值．解x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖)．又圓心到原點的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3)．練習(xí).已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為()A．7 B．6C．5 D．4【答案】B[由(x－3)2＋(y－4)2＝1，知圓上點P(x0，y0)可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3＋cosθ，,y0＝4＋sinθ.))∵∠APB＝90°，即eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，∴(x0＋m)(x0－