2022屆湖南省湘潭市一模數(shù)學試題及答案解析

湘潭市2022屆高三第一次模擬考試

數(shù)學

注意事項：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上。

3.回答選擇題時,選出每小題答案后.用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑,如有改動，

用橡皮擦干凈后.再選涂其他答案；回答非選擇題時.符答案寫在答題卡上，寫在本試卷

上無效。

4.考試結(jié)束后?將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合A={—l,0,l,2,3},B={"2">2},則ADB=

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{-1,0,1}

2.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z1=l—2i,zz=2+i,則復數(shù)zizz對應的復平面上的點位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限D(zhuǎn)c,

3.如圖，在直四棱柱3n中，下列結(jié)論正確的是/I

A.AC與是兩條相交直線

B.AAi〃平面BB.D,

C.

D.A,C,B一□四點共面產(chǎn)------\

4.我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學家程大位（1533—1606年）所著.程

少年時.讀書極為廣博，對書法和數(shù)學頗感興趣.20歲起便在長江中下游一|

帶經(jīng)商.因商業(yè)計算的需要，他隨時留心數(shù)學，遍訪名師，搜集很多數(shù)學書籍，

刻苦鉆研，時有心得.終于在他60歲時，完成了《算法統(tǒng)宗》這本著作.該書中

有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭

幾盞燈？”根據(jù)詩詞的意思，可得塔的最底層共有燈

A.192盞B.128盞C.3盞D.1盞

5.已知函數(shù)/（x）=sin2w,則

A./⑺的周期為今

B.將/（了）的圖象向左平移半個單位，得到的圖象對應的函數(shù)解析式為y=cos2了

【高三第一次模擬考試?數(shù)學第1頁（共4頁）】

C.八7)的圖象關于點(￡,0)對稱

D./⑺的圖象關于直線■對稱

6.已知拋物線C，=2力工(">0)的焦點為F,點、T在C上，且|FT\=亳，若點M的坐標為(0,1),

且則C的方程為

A.J=2z或/=87B.?或/=&r

C.丁=21r或丁2=4zD.V=4,或/=4工

7.某地區(qū)公共衛(wèi)生部門為了了解本地區(qū)中學生的吸煙情況,對隨機抽出的200名學生進行了調(diào)

查.調(diào)查中使用了下面兩個問題：

問題一：你的父親陽歷生日日期是不是奇數(shù)？

問題二：你是否經(jīng)常吸煙？

調(diào)查者設計了一個隨機化裝置：一個裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個白球和50個紅

球的袋子.每個被調(diào)查者隨機從袋子中摸取1個球(摸出的球再放回袋子中)，摸到白球的學

生如實回答第一個問題，摸到紅球的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中

放一個小石子，回答“否”的人什么都不要做.如果一年按365天計算，且最后盒子中有60個

小石子，則可以估計出該地區(qū)中學生吸煙人數(shù)的百分比為

A.7%B.8%C.9%D.30%

8.已知定義域為R的函數(shù)八了)的導函數(shù)為了'(",且/'(">/&),若實數(shù)。>0.則下列不等

式恒成立的是

A.a/(Ina)>e?-"Q-1)B.af(Inf(a-1)

C.e"-'/(lna)>a/(a-l)D.e^1/(In?)<?/(?-1)

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知向量。=(1,2))=(2,—4),且a與b的夾角為a,則

A.a-fr=(l,-2)B.|b|=2\a\C.a//bD.cosa=—

5

10.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,23,則

A.X的數(shù)學期望為E(X)=0B.X的方差為D(X)=2

C.P(X>0)=yD.P(X>2)=y

11.若6"=2,6'=3,則

A.—>1B.a2+b2<^-C.I),ft—a>T7；

aN410

12.已知雙曲線端=13>。">。)的左,右焦點為匕5右頂點為A,則下列結(jié)論中,

正確的有

A.若a=b,則C的離心率為四

B.若以B為圓心"為半徑作圓F1，則圓儲與C的漸近線相切

C.若P為C上不與頂點重合的一點，則△PRK的內(nèi)切圓圓心的橫坐標z=a

D.若M為直線z=S(c="TF)上縱坐標不為0的一點，則當M的縱坐標為

C

土〃西(，一〃)時,△MAB外接圓的面積最小

【高三第一次模擬考試?數(shù)學第2頁(共4頁)】

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知角a的終邊經(jīng)過點（1,2）,則sincosa=.

14.已知定義域為R的偶函數(shù)/（1）在［0,+8）上單調(diào)遞減，且2是函數(shù)/'（1）的一個零點，則不

等式/（幻>0的解集為.

15.已知某正方體外接球的表面積為3冗，則該正方體的棱長為.

16.用實數(shù)m（ni=0或1）表示命題p的真假，其中m=0表示命題p為假，〃?=1表示命題p為

19

真.設命題A：V/GZ,彳一歹+.r--y》a（a￡R）.

乙o

（1）當a=2時，〃?=________；（2）當m=\時，實數(shù)a的取值范圍為_________.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

已知S,,為數(shù)列｛a,,｝的前n項和，且a”+i=a”+d,（“GN,,d為常數(shù)），若S:i=12,asa5+2a3

—5a$一10=0.求：

（1）數(shù)列｛七｝的通項公式;

（2）S?的最值.

18.（本小題滿分12分）

在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,若4csinB-（A/6+72）6=0.

⑴求sinC的值；

（2）是否存在角A,B（A<B）,滿足tanAtanB=痣？若存在，求出A,B的值；若不存在，請

說明理由.

19.（本小題滿分12分）

某學校舉行“英語風采”大賽，有30名學生參加決賽.評委對這30名同學分別從“口語表達”

和“演講內(nèi)容”兩項進行評分，每項評分均采用10分制，兩項均為6分起評，兩項分數(shù)之和為

該參賽學生的最后得分.若設“口語表達”得分為X.“演講內(nèi)容”得分為y,比賽結(jié)束后，統(tǒng)計

結(jié)果如下表：

演講內(nèi)容

6分7分8分9分10分

6分11000

7分32120

口語表達8分12310

9分1m211

10分001n1

（1）從這30名學生中隨機抽取1人.求這名學生的最后得分為15分的概率;

【高三第一次模擬考試?數(shù)學第3頁（共4頁）】

(2)若“口語表達”得分X的數(shù)學期望為色.求:

0

①的值；

②這30名參賽學生最后得分的數(shù)學期望.

20.(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，PAJ_底面ABC,/ABC=90°,PA=2,AC=2施;

(1)求證：平面PBC_L平面PAB；

(2)若二面角P-BC-A的大小為45°,過點4作4\_1_2(？于,\,求直線人'與平面「3。

所成角的大小.

21.(本小題滿分12分)

已知圓錐曲線E上的點M的坐標(z,y)滿足V(a-+73)2+y+73)2+>2=276.

(1)說明E是什么圖形，并寫出其標準方程；

(2)若斜率為1的直線/與E交于y軸右側(cè)不同的兩點A,3,點P為(2,1).

①求直線/在，軸上的截距的取值范圍；

②求證:NAPB的平分線總垂直于z軸.

22.(本小題滿分12分)

已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(jc)=er,g(x')=mx+n(.m,nER').

(1)若根+〃=0,且/(z)的圖象與g(.r)的圖象相切，求”的值；

(2)若/(Wg(_r)對任意的zGR恒成立，求，〃+”的最大值.

【高三第一次模擬考試?數(shù)學第4頁(共4頁)】

湘潭市2022屆高三第一次模擬考試-數(shù)學

參考答案、提示及評分細則

1.【命題意圖】本題重點考杳元素與集合的關系，集合的運算，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等數(shù)學基礎知識,屬容易題.

【答案】C

【解析】因為B={川2，>2}={川1>1},所以ADB={2,3}.故選：C.

2.【命題意圖】本題重點考查復數(shù)的幾何意義，復數(shù)的運算等復數(shù)的基礎知識，屬容易題.

【答案】D

【解析】因為4之2=（1—2i）（2+i）=4—3i.所以句之2對應的復平面上的點為（4,—3）,它位于第四象限.故

選：D.

3.【命題意圖】本題重點考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征.空間點線面的位置關系.考查學生的空間想象能力?屬容易題.

【答案】B

【解析】因為所以AAi〃平面B用。，所以B正確；A?C?D都不正確.故選：B.

4.【命題意圖】本題重點考查等比數(shù)列的概念、通項公式與前〃和等數(shù)列的基礎知識，考查學生的閱讀理解能

力、數(shù)學應用能力和家國情懷,屬容易題.

【答案】A

【解析】設這個塔頂層有才盞燈，則問題等價于一個首項為彳,公比為2的等比數(shù)列的前7項和為381,所以

等二1）=381?解得①=3,所以這個塔的最底層有3X277=192盞燈.故選：A.

4—1

5.【命題意圖】本題重點考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)?屬容易題.

【答案】B

【解析】因為/3=sin2工的周期為K,它的圖象關于直線工=竽+寸?和點（竽,0）（在Z）對稱，所以A,C,D

都不對；將/（工）的圖象向左平移1■個單位?得到的圖象對應的函數(shù)解析式為y=sin2（_r+乎）=

sin（2z+<）=cos2了,所以B正確.故選：B.

6.【命題意圖】本題重點考查直線的方程.拋物線的定義、標準方程與性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關系等解析

兒何的基礎知識.考查函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬中檔題.

【答案】A

【解析】設設為為則蕭=Gr°,gT）,又F（專析）,所以淀=（￡,一1）,

因為MFJ_MT，所以前?MT=0，可得-f.ro—山+1=0,又狀=2對，

聯(lián)立,消去了。，得J-4g+4=0,所以3=2.故T（y,2）,

又|FT|=_r0+3=4■，所以"一§■，即/>2—5/>+4=0,解得/>=1,或p=4,

乙乙LtLtP

所以C的方程為/=2①或V=8-故選：A.

7.【命題意圖】本題重點考查概率的有關知識.考查學生的閱讀理解能力與數(shù)學應用意識，屬中檔題.

【答案】C

【解析】因為一個裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個白球和50個紅球的袋子中，隨機摸出1個球，摸到

白球和紅球的概率都為十，因此，這200人中，回答了第一個問題的有100人?而一年365天中，陽歷為奇數(shù)

的有186天，所以對第一個問題回答“是”的概率為51,所以這100個回答第一個問題的學生中，約有

51人回答了“是”,從而可以估計，在回答第二個問題的100人中，約有9人回答了“是”，所以可以估計出該地

區(qū)中學生吸煙人數(shù)的百分比為9%.故選:C.

【高三第一次模擬考試?數(shù)學參考答案第1頁（共6頁）】

8.【命題意圖】本題重點考杳函數(shù)與導數(shù)、不等式的有關知識，考杳轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查學生的數(shù)學綜合解

題能力?屬稍難題.

【答案】D

【解析】令g（i）=3/，則久）］/"）＞（）,所以g（w）為增函數(shù)，

又當。＞0時，Ina4a—1,所以g（Ina）＜g（a—1）,即/"",

ae

所以e""（In—1）.故選：D.

9.【命題意圖】本題重點考查平面向量的坐標運算，向量的模?向量共線的條件,數(shù)量積，向量的夾角等平面向量

的基礎知識，屬容易題.

【答案】BD

【解析】對于A.因為。-6=（1—2,2+4）=（—1,6）,所以A不正確；

對于B,因為|a|=指_,|6|=2日,所以B正確；

對于C,因為十聲所以C不正確；

對于D,因為cos。=1*2%2乂,1）=一白，所以D正確.故選：BD.

V5X2V55

10.【命題意圖】本題重點考查正態(tài)分布的有關概念和性質(zhì)?屬容易題.

【答案】AC

【解析】由正態(tài)分布的定義及正態(tài)曲線的性質(zhì)，可知A.C正確，B,D不正確.故選：AC.

11.【命題意圖】本題重點考查指數(shù)與對數(shù)的運算.基本不等式，比較法等數(shù)學基礎知識，考查學生的估算能力，

屬中檔題（選對A,得2分很容易）.

【答案】ACD

【解析】由已知，有a=1。須2"=logs3.

對于A,有投~=2%=log23＞l,所以A正確；

alogs2

對于B,因為。+〃=晦2+*3=1,且a＞0心0,a*4,所以《裝》（竽）一，得/+加〉十，所以B不

正確；

對于C,因為。+。=1隔2+*3=1,且。＞0心026所以岫＜（審）一=十，所以?正確；

13

對于D,因為b~a=log63—logo2,而log63—log62—=log,；.、氓,

310C2-I11931

因為丁、471n=-而—=~2""l~w+…>1,所以logs]”>0,故。一，所以D正確.故選：ACD.

0A444O2A/6

12.【命題意圖】本題重點考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì).直線與圓的位置關系，正弦定理，三角變換及基本不等

式等有關知識，考查學生的綜合解題能力，屬稍難題（選對A,得2分很容易）.

【答案】ABD

【解析】對于A,因為a=仇所以2a2=5,故。的離心率e=￡=&■，所以A正確；

a

/）（-

對于B?因為F（—JO）到漸近線b.r-ay=0的距離為d=,=〃,所以B正確：

對于3由雙曲線的定義，可得△PRF2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標/=±a，所以C不正確；

對于D,由正弦定理，可知△MAB外接圓的半徑為/?="%片?，所以當sinNAME,最大時,R最小.

Zsin2_AMr2

因為所以NAMB為銳角.故sinZ.AMF2最大，只需tanNAME最大.

由對稱性，不妨設M（9,，）（，＞0）.設直線上=（與上軸的交點為N.則tanNAMFz=tan（NNM6一

【高三第一次模擬考試?數(shù)學參考答案第2頁（共6頁）】

(—a,1

ZNMA)

iI啟(廠a)Va(c-a)

czt

當且僅當,=也三，即，=心容五時“an/AMB取最大值,

由雙曲線的對稱性可知,當，=一"衛(wèi)三叵時，tan/AMF?也取得最大值,所以D正確.

C

故選：ABD.

13.【命題意圖】本題重點考查三角函數(shù)的定義?屬容易題.

【答案吟

【解析】因為sina=—，cosa=-，所以sina~cos

，"225/FTF55

故答案為:g.

14.【命題意圖】本題重點考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性?函數(shù)的零點，數(shù)形結(jié)合等函數(shù)的基礎知識，屬容易題.

【答案】<久|一2</<2}

【解析】因為2是函數(shù)八①）的一個零點，所以八2）=0,

因為函數(shù)八］）是偶函數(shù)，所以原不等式等價于八1川）>/（2）,

又因為函數(shù)/（外在［0,+8）上單調(diào)遞減?所以I川<2.解得一2V*<2.

故答案為：（川一2VxV2}.

15.【命題意圖】本題重點考查正方體與球的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積等立體幾何的基礎知識，考查學生的空間想

象能力?屬容易題.

【答案】］

【解析】設正方體的棱長為a,外接球的半徑為R,則乃a=2R,又47^=37：?所以R=等，故a=L故答案為：

1.

16.【命題意圖】本題是一道新定義創(chuàng)新題，重點考查命題，分段函數(shù)，函數(shù)的圖象與性質(zhì)等函數(shù)的基礎知識，考

查學生的閱讀理解能力及函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸?分類與整合等數(shù)學思想方法，屬稍難題（第

（1）問中檔題，第（2）問稍難題）.

【答案】⑴0;⑵（第（D問2分，第（2）問3分）

19

【解析】⑴當a=2時，不等式|L十|+|L旬>2對了=1不成立,所以p為假命題，故>?=0;

19

（2）因為,"=1,所以命題p為真命題，令/（X）=|J—y|+|4—y|,

卷一2了,（工時）

則/（工）={春，（十〈工〈春）.所以當咨1■時，/⑺為減函數(shù)，當Q等時，/⑺為增函數(shù)，要使VzCZ,

2.r-y,（x>y）

［a4卷

hr—十|+|工一■成立，只需h=0和z=l時，|工一■；|+|工都成立，所以j「，得

々5

"三

故答案為：（1）0;（2）.《葛?

0

17.【命題意圖】本題重點考查等差數(shù)列的定義、通項公式與求和公式等數(shù)列的基礎知識,考查函數(shù)與方程,分類

【高三第一次模擬考試?數(shù)學參考答案第3頁（共6頁）】

與整合等數(shù)學思想方法，屬容易題.

【解析】（1）由S3=12,得如=4,...............................................................1分

由。3a5+2心—5。5-10=0,得（圖-5）（as+2）=0,

所以。3=5，或。5=一2,.....................................................................3分

3=4

由（，得a1=3.4=1,此時，a”=〃一2；

1*=5

由產(chǎn)'?得川=6"=—2.此時，a“=—2〃+8；

1恁=-2

所以a”=〃+2,或a”=-2〃+8；................................................................5分

“2+6”2_|_弓

（2）當6=〃+2時，S“=修也，因為5“=號也是關于正整數(shù)〃的增函數(shù).所以Si=3為S”的最小值，S“

無最大值；.....................................................................................7分

當％=-2”+8時,5,=—"2+7”=一（"一卷）-+￥，因為"為正整數(shù)，所以當“=3或”=4時,S,,有最大

值S3=S,i=12,S“無最小值....................................................................10分

18.【命題意圖】本題重點考查正弦定理，誘導公式、同角一:角函數(shù)關系與兩角和的正切公式等三角函數(shù)的基礎

知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想和學生的探究能力，（1）屬容易題?（2）屬中檔題.

【解析】（1）因為4csinB-（V6H-72）6=O,

由正弦定理，得4sinCsinBT厭+72）sinB=0,

又因為0＜BV會所以sinBr0.故sinC=^f但；............................................4分

（2）假設存在角滿足tanAtanB=陰，

由sinC=巡/但及0＜（?＜告.可得tanC=2+#.

因為A+B=A—C,所以tan（A+B）=-2—萬,...................................................7分

由tan（A卜B）=丁”）2^1呼號=-2一耳，可得tanA4-tanB=1+耳，........................10分

1—tanAtanD

（tanAtan13=^3,,「

由，且AVB,解得tanA=1,tan

ItanA+tanB=1+

從而A=寧，B=，故存在A=,B=-y-滿足題意...........................................12分

19.【命題意圖】本題重點考查概率統(tǒng)計的有關知識.考查學生的閱讀理解能力和數(shù)據(jù)處理能力.屬中檔題.

【解析】（1）因為15=6+9=7+8=8+7=9+6,

所以最后得分為15的人數(shù)有。+1+2+1=4,故從這30名學生中隨機抽取1人，這名學生的最后得分為

15分的概率為白=白；.........................................................................4分

3015

（2）①由表可知?,口語表達”得分X有6分、7分、8分、9分、10分,

且每個分數(shù)分別有2人，8人，7人，相+5人，〃+2人.

所以“口語表達”得分X的分布列為：

X678910

287///-~〃+2

P

30303030

「“+、1,,,日八M”口,曰、L49umIZ56.56.9（〃？+5）10（〃+2）49

又口語表達得分的數(shù)學期望為至,所以而+而+而+『^+-^=瓦.

化簡?得96+10〃=56,

因為學生共有30人.所以初+〃=6,

9，〃+10〃=56

由，解得〃?=4,〃=2；8分

加+〃=6

【高三第一次模擬考試?數(shù)學參考答案第4頁（共6頁）】

②這30名參賽學生最后得分的分布列為

20.【命題意圖】本題重點考杳空間點線面的位置關系，二面角，宜線與平面所成的角等立體幾何的基礎知識，考

查學生的空間想象能力和運算推理能力，（1）屬容易題，（2）屬中檔題.

【解析】（1）因為PAJ_底面ABC,所以PA_LBC,又NA8C=90°,

所以AB_LBC,又PA.AB為平面PAB內(nèi)的兩條相交直線.所以3C_L平面PAB,

因為BCU平面P3C,所以平面PBC-L平面PA3；.........................................................................................4分

（2）解法一由（1）可知，NABP為二面角P-BC-A的平面角，所以NA3P=45°.

又PA=2,AC=2&,NABC=90°,所以AB=BC=2,

過點A作AM_LP3于M,則AM_L平面P3C且M為P3中點，連接MN,

則NANM為直線AN與平面PBC所成的角，

在RtZ\ANM中，AM=&,AN=孚，

所以sinNANM=g^=哮，

AN乙

故NANM=60°,

所以直線AN與平面尸3C所成的角為60°......................................................................................................12分

解法二建立如圖所示的空間直角坐標系，則由已知，可得B（0,0,0）,A（2,0,

0）.P（2,0,2）,C（0,2,0）,

設」\（才，3，之）.前=人逑（0</<1）,則x=2-2k.y=2X,z=2-2X.

因為AN±PC,AN=（J—2,3r,z）,PC=（-2,2,-2）,

所以一2（1—2）+2y—2之=0,

解得<=1■，所以N（母，口，等），故京=（一等,系等）,

oO?5O'O?5,3z

設平面PBC的法向量為a=（工，必z）,因為/=（0,2,0）,誣=（2,0,2）,

（a?BC=012y=0

由一,得cIC，

la?BP=012“+2之=。

令才=1.則2=—1,

所以。=（1,0,—1）為平面P3C的一個法向量.

__2___￡

所以cos<a,AN>=--_*=一哮，

故直線AN與平面RBC所成的角的正弦值為等，所以直線AN與平面P3C所成的角為60°............12分

21.【命題意圖】本題重點考查直線的傾斜角、斜率與方程.橢圓的定義與標準方程.直線與圓錐曲線的位置關系

等解析幾何的基礎知識，考查坐標法，函數(shù)與方程,數(shù)形結(jié)合.轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法，（1）屬容易題，

（2）屬稍難題.

【解析】（1）圓錐曲線E是以（一乃,0）,（乃，0）為焦點，長軸長為2同的橢圓，........................2分

其標準方程為《一?=1;........................................................................................................................................4分

63

（2）①設直線A（ii，v）.鳳小，32）?

【高三第一次模擬考試?數(shù)學參考答案笫5頁（共6頁）】

nJ

由?（63，消去了，得3/+46彳+2〃戶一6=0.

7\=（4w）2-4X3（2m2-6）＞0

由題意，有《才""2=一下＞°，解得一3＜“＜一雷，

2m2—6.

X\jc2=二0

所以直線/在了軸上的截距的取值范圍為（-3,一四）；..........................................8分

②因為點P在橢圓上，若直線/過點P.即點A（或點B）與P重合，則/與E的另一個交點為

（一仔，一,），不合題意,所以點A（或點3）與P不重合；

若AP或3P的斜率不存在，則直線/過點（2,—1）,此時?/與E只有一個交點，

所以AP與3P的斜率都存在，.........................