黑龍江省2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試考試數(shù)學(xué)試卷

黑龍江省2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、多選題1．下列抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的是（

）A．某工廠從老年、中年、青年職工中按2∶5∶3的比例選取職工代表B．用抽簽的方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)C．福利彩票用搖獎(jiǎng)機(jī)搖獎(jiǎng)D．規(guī)定凡買到明信片最后四位號(hào)碼是“6637”的人獲三等獎(jiǎng)2．若直線a平行于平面α，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)平行于α內(nèi)的有限條直線B．α內(nèi)有無數(shù)條直線與a平行C．直線a上的點(diǎn)到平面α的距離相等D．α內(nèi)存在無數(shù)條直線與a成90°角3．設(shè)，，為不同的直線，，，為不同的平面，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若，，，，則4．小王于2017年底貸款購置了一套房子，根據(jù)家庭收入情況，小王選擇了10年期每月還款數(shù)額相同的還貸方式，且截止2021年底，他沒有再購買第二套房子．如圖是2018年和2021年小王的家庭收入用于各項(xiàng)支出的比例分配圖：根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論中正確的是（

）A．小王一家2021年用于飲食的支出費(fèi)用跟2018年相同B．小王一家2021年用于其他方面的支出費(fèi)用是2018年的3倍C．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍D．小王一家2021年用于房貸的支出費(fèi)用與2018年相同5．已知正方體的棱長為2，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)(包括邊界)運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（

）A．若在線段上，則三棱錐的體積為定值B．若在線段上，則與所成角的取值范圍為C．若平面，則點(diǎn)的軌跡的長度為D．若，則與平面所成角正切值的最大值為二、單選題6．已知，，是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，，，，則“，相交“是“，相交”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件7．某校有男生3000人，女生2000人，學(xué)校將通過分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100人的身高數(shù)據(jù)，若按男女比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取到的學(xué)生平均身高為，其中被抽取的男生平均身高為，則被抽取的女生平均身高為（

）A． B． C． D．8．從二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向二面角的兩個(gè)面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角的關(guān)系是（

）A．互為余角 B．相等 C．其和為周角 D．互為補(bǔ)角9．某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖,估計(jì)這次測(cè)試中數(shù)學(xué)成績的平均分、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（

）A．73.3，75，72 B．72，75，73.3C．75，72，73.3 D．75，73.3，7210．對(duì)于數(shù)據(jù)：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同學(xué)得出了下列結(jié)論：甲：平均數(shù)為5；乙：沒有眾數(shù)；丙：中位數(shù)是3；?。旱?5百分位數(shù)是7，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．411．為了貫徹落實(shí)《中共中央國務(wù)院全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》的文件精神，某學(xué)校結(jié)合自身實(shí)際，推出了《植物栽培》《手工編織》《實(shí)用木工》《實(shí)用電工》《烹飪技術(shù)》五門校本勞動(dòng)選修課程，要求每個(gè)學(xué)生從中任選三門進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)考核合格后方能獲得該學(xué)校榮譽(yù)畢業(yè)證，則甲?乙兩人的選課中僅有一門課程相同的概率為（

）A． B． C． D．12．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為A．2 B． C． D．1三、填空題13．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E、F、G分別為棱、、的中點(diǎn)，P是底面ABCD上的一點(diǎn)，若平面GEF，則下面的4個(gè)判斷①點(diǎn)P的軌跡是一段長度為的線段；②線段的最小值為；③；④與一定異面．其中正確判斷的序號(hào)為__________．14．甲、乙兩同學(xué)參加“建黨一百周年”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙獲得一等獎(jiǎng)的概率分別為、，獲得二等獎(jiǎng)的概率分別為、，甲、乙兩同學(xué)是否獲獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則甲、乙兩人至少有人獲獎(jiǎng)的概率為___________.15．?dāng)?shù)據(jù)，，…，平均數(shù)為6，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為________.16．將正方形沿對(duì)角線折起，并使得平面垂直于平面，直線與所成的角為__________.四、解答題17．如圖，在直三棱柱中，，G是棱的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)證明：平面平面．18．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，在天中，兩臺(tái)機(jī)床每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為：甲：；乙：．（1）分別求兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)；（2）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果比較兩臺(tái)機(jī)床性能．19．某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成組：，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）從總體的名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于的概率；（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于的學(xué)生有人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.20．某學(xué)校招聘在職教師，甲、乙兩人同時(shí)應(yīng)聘．應(yīng)聘者需進(jìn)行筆試和面試，筆試分為三個(gè)環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)都必須參與，甲筆試部分每個(gè)環(huán)節(jié)通過的概率依次為，乙筆試部分每個(gè)環(huán)節(jié)通過的概率依次為，筆試三個(gè)環(huán)節(jié)至少通過兩個(gè)才能夠參加面試，否則直接淘汰；面試分為兩個(gè)環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)都必須參與，甲面試部分每個(gè)環(huán)節(jié)通過的概率依次為，乙面試部分每個(gè)環(huán)節(jié)通過的概率依次為，若面試部分的兩個(gè)環(huán)節(jié)都通過，則可以成為該學(xué)校的在職教師．甲、乙兩人通過各個(gè)環(huán)節(jié)相互獨(dú)立．(1)求甲未能參與面試的概率；(2)記乙本次應(yīng)聘通過的環(huán)節(jié)數(shù)為，求的值；(3)記甲、乙兩人應(yīng)聘成功的人數(shù)為，求的的分布列和數(shù)學(xué)期望21．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面，分別為的中點(diǎn)，(1)求證：MN//平面PAC(2)求證：平面PBC平面PAM22．如圖，在四棱柱中，底面ABCD為菱形，其對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，，，.(1)證明：平面ABCD；(2)求三棱錐的體積.參考答案：1．BC【分析】由題意，根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的定義，可得答案.【詳解】對(duì)于A，此為分層抽樣；對(duì)于B，此為隨機(jī)數(shù)表法；對(duì)于C，此為簡單隨機(jī)抽樣；對(duì)于D，此為系統(tǒng)抽樣.故選：BC.2．BCD【分析】根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)即可判斷.【詳解】因?yàn)橹本€a平行于平面α，所以a與平面α內(nèi)的直線平行或異面，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，C，D正確.故選：BCD.3．ACD【分析】選項(xiàng)ACD，可借助正方體構(gòu)造反例；選項(xiàng)B，在平面分別取直線滿足，直線滿足，可證明，，即得證.【詳解】A選項(xiàng)：取平面，，但是不垂直于平面，命題A錯(cuò)誤．B選項(xiàng)：設(shè)，，在平面分別取直線滿足，直線滿足．因?yàn)?，，所以，，又，，所以，，所以．命題B正確．C選項(xiàng)：平面，平面，但平面與平面不平行，命題C錯(cuò)誤．D選項(xiàng)：平面平面，交線為，平面，，但與平面不垂直，命題D錯(cuò)誤．故選：ACD4．BD【分析】由題意，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，小王一家2021年用于飲食的支出比例與跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∴小王一家2021年用于飲食的支出費(fèi)用比2018年多，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)2018年收入為a，∵相同的還款數(shù)額在2018年占各項(xiàng)支出的60%，在2021年占各項(xiàng)支出的40%，∴2021年收入為：，∴小王一家2021年用于其他方面的支出費(fèi)用為，小王一家2018年用于其他方面的支出費(fèi)用為，∴小王一家2021年用于其他方面的支出費(fèi)用是2018年的3倍，故B正確；對(duì)于C，設(shè)2018年收入為a，則2021年收入為：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，小王一家2021年用于房貸的支出費(fèi)用與2018年相同，故D正確．故選：BD．5．ACD【分析】A.如圖，當(dāng)在線段上時(shí)，當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x不變，又底面的面積是定值，所以三棱錐的體積為定值，所以該選項(xiàng)正確；B.如圖，分析得與所成角的取值范圍為，所以該命題錯(cuò)誤；C.如圖，分別是中點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是線段，所以該選項(xiàng)正確；D.點(diǎn)的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，以1為半徑的半圓，,所以的最小值為,所以與平面所成角正切值的最大值為.所以該選項(xiàng)正確.【詳解】A.如圖，因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫嫠援?dāng)在線段上時(shí)，當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x不變，又底面的面積是定值，所以三棱錐的體積為定值，所以該選項(xiàng)正確；B.如圖，因?yàn)樗耘c所成角就是與所成的角（銳角或直角），當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，由于△是等邊三角形，所以這個(gè)角為，當(dāng)時(shí)，這個(gè)角為，由圖得與所成角的取值范圍為，所以該命題錯(cuò)誤；C.如圖，分別是中點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是線段,由于,平面,平面,所以平面，同理可得平面，又平面,,所以平面平面，所以平面，，所以點(diǎn)的軌跡的長度為，所以該選項(xiàng)正確；D.如圖，由題得與平面所成角為,,即求的最小值，因?yàn)?平面,所以平面,所以,所以點(diǎn)的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，以1為半徑的半圓，,所以的最小值為,所以與平面所成角正切值的最大值為.所以該選項(xiàng)正確.故選：ACD6．C【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：①若，相交，，，則其交點(diǎn)在交線上，故，相交，②若，相交，可能，為相交直線或異面直線．綜上所述：，相交是，相交的充分不必要條件．故選：C．7．A【分析】由分層抽樣求出100人中的男女生數(shù)，再利用平均數(shù)公式計(jì)算作答.【詳解】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣原理，被抽取到的男生為60人，女生為40人，設(shè)被抽取到的女生平均身高為，則，解得，所以被抽取的女生平均身高為.故選：A8．D【分析】做出圖像數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】如圖，A為二面角內(nèi)任意一點(diǎn)，，，過B作于D，連接CD，因?yàn)?，，所以因?yàn)?，，所以，且，所以平面，且面，所以則為二面角的平面角，，為兩條垂線AB與AC所成角，所以，所以兩條垂線所夾的角與二面角的平面角互為補(bǔ)角.故選：D.9．B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖,結(jié)合平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求法,即可得解.【詳解】由頻率分布直方圖可知,平均數(shù)為眾數(shù)為最高矩形底邊的中點(diǎn),即中為數(shù)為:可得所以中為數(shù)為綜上可知,B為正確選項(xiàng)故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.10．B【分析】分別求出平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，第75百分位數(shù)即可得解.【詳解】解：平均數(shù)為，故甲正確；眾數(shù)為：3，6，8，故乙錯(cuò)誤；將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列：，則中位數(shù)為，故丙錯(cuò)誤；，則第75百分位數(shù)為，故丁正確，所以正確的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B.11．C【分析】先分析總的選課情況數(shù)，然后再分析甲、乙兩人的選課中僅有一門課程相同的情況數(shù)，然后兩者相除即可求解出對(duì)應(yīng)概率.【詳解】甲、乙總的選課方法有：種，甲、乙兩人的選課中僅有一門課程相同的選法有：種，（先選一門相同的課程有種選法，若要保證僅有一門課程相同只需要其中一人從剩余門課程中選取門，另一人選取剩余的門課程即可，故有種選法）所以概率為，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于分析兩人的選課僅有門相同的選法數(shù)，可通過先確定相同的選課，然后再分析四門課程中如何做到兩人的選課不同，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算方法完成求解.12．D【詳解】試題分析：因?yàn)榫€面平行，所求求線面距可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到面的距離，選用等體積法．平面，到平面的距離等于到平面的距離，由題計(jì)算得，在中，，邊上的高，所以，所以，利用等體積法，得:,解得:考點(diǎn)：利用等體積法求距離13．①③【分析】先證明平面平面，可判斷P的軌跡是線段，結(jié)合選項(xiàng)和幾何性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】分別連接，所以，又因?yàn)?，則，同理，，故平面平面，又因?yàn)槠矫鍳EF，且P是底面ABCD上的一點(diǎn)，所以點(diǎn)在上．所以點(diǎn)P的軌跡是一段長度為，故①正確；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，線段最小，最小值為，故②錯(cuò)；因?yàn)樵谡襟w中，平面，又平面，則，故③正確；當(dāng)與重合時(shí)，與平行，則④錯(cuò)．故答案為：①③14．【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知，甲不中獎(jiǎng)的概率為，乙不中獎(jiǎng)的概率為，因此，甲、乙兩人至少有人獲獎(jiǎng)的概率為.故答案為：.15．16【詳解】試題分析：由題意知，，則，，而，所以所求方差為．故正確答案為16．考點(diǎn)：兩組線性數(shù)據(jù)間的特征數(shù)的運(yùn)算．【方法點(diǎn)晴】此題主要考查兩組俱有線性關(guān)系的數(shù)據(jù)的特征數(shù)關(guān)系，當(dāng)數(shù)據(jù)與中若有時(shí)，那么它們之間的平均數(shù)與方差（標(biāo)準(zhǔn)差）之間的關(guān)系是：，或是，掌握此關(guān)系會(huì)給我們計(jì)算帶來很大方便．16．60°【分析】將所求異面直線平移到同一個(gè)三角形中，即可求得異面直線所成的角.【詳解】如圖，取，，的中點(diǎn)，分別為，，，則，所以或其補(bǔ)角即為所求的角.因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?設(shè)正方形邊長為，，所以，則.所以.所以是等邊三角形，.所以直線與所成的角為．故答案為：60°17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由線面垂直得到，從而求出平面，得到；（2）根據(jù)正方形得到，結(jié)合第一問求出的，得到平面，從而證明面面垂直.（1）∵平面，且平面，∴．又因?yàn)椋矫?，所以平面．∵平面，∴．?）∵，易知矩形為正方形，∴．由（1）知，又由于平面，∴平面．又∵平面，∴平面平面．18．（1）甲的眾數(shù)等于；乙的眾數(shù)等于和；甲的中位數(shù)等于；乙的中位數(shù)等于；（2）甲乙的平均水平相當(dāng)，但是乙更穩(wěn)定.【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的公式直接計(jì)算，眾數(shù)是指數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位數(shù)是按從小到大排列，若是奇數(shù)個(gè)，則正中間的數(shù)是中位數(shù)，若是偶數(shù)個(gè)數(shù)，則正中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)；（2）平均數(shù)指數(shù)據(jù)的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差指數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度，離散水平.【詳解】解：（1）由題知：甲的眾數(shù)等于；乙的眾數(shù)等于和；甲的中位數(shù)等于；乙的中位數(shù)等于（2）甲的平均數(shù)等于乙的平均數(shù)等于甲的方差等于

乙的方差等于所以甲的標(biāo)準(zhǔn)差等于，乙的標(biāo)準(zhǔn)差因此，甲乙的平均水平相當(dāng)，但是乙更穩(wěn)定！【點(diǎn)睛】本題考查樣本的眾數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，重點(diǎn)考查定義和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.19．（1）0.4；（2）20；（3）.【分析】（1）根據(jù)頻率組距高，可得分?jǐn)?shù)小于70的概率為：；（2）先計(jì)算樣本中分?jǐn)?shù)小于40的頻率，進(jìn)而計(jì)算分?jǐn)?shù)在區(qū)間，內(nèi)的頻率，可估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間，內(nèi)的人數(shù)；（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等，分別求出男生、女生的人數(shù)，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖知：分?jǐn)?shù)小于70的頻率為：故從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率為0.4；（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，故樣本中分?jǐn)?shù)小于40的頻率為：0.05，則分?jǐn)?shù)在區(qū)間，內(nèi)的頻率為：，估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間，內(nèi)的人數(shù)為人，（3）樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為：0.6，由于樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．故分?jǐn)?shù)不小于