2022年全國(guó)一卷新高考數(shù)學(xué)題型（含答案）圓錐曲線2小題橢圓(中檔1單選)

2022年全國(guó)一卷新高考題型細(xì)分S1-3

——圓錐曲線2小題橢圓（中檔）

1、試卷主要是2022年全國(guó)一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)174套。

2、題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會(huì)被復(fù)制過(guò)去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號(hào)可

以查看。方便老師備課選題。

3、比較單一的題型按知識(shí)點(diǎn)、方法分類排版；綜合題按難度分類排版，后面標(biāo)注有該題目類型。

圓錐曲線——橢圓——中檔:

1.（2022年江蘇南京六校聯(lián)調(diào)JO3）已知點(diǎn)F為橢圓。：=+3=1（a>匕〉0）的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)。的

ab

直線/交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，若|產(chǎn)用=3|QF|且不，則該橢圓的離心率為（°）

A.旦

4-4-4

（橢圓，中檔；）

2.（2022年江蘇南京金陵中學(xué)J08,單選7）“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：

橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個(gè)與橢圓同心的圓上.該圓稱為橢圓的“蒙日?qǐng)A”若橢圓

。：：+匯=1（a>0,根#4）的離心率為半，則橢圓C的“蒙日?qǐng)A”方程為（②）

A./+>2=5或/+,2=7B.Y+y2=7或X?+丁=20

C.d+y2=5或犬+y2=2。D.d+V=7或f+>2=28

（橢圓，圓，中檔：）

3.（2022年江蘇蘇州J19,單選8）在平面直角坐標(biāo)系宜?中，若直線%+緲+3=0上存在動(dòng)點(diǎn)P,使

得過(guò)點(diǎn)P的橢圓C:上+丁=1的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（⑧）

3

（］（6］「君）\后行

A.-oo,--—IJ—,+0°B.-oo,--—O—,+ooC.---D.---

22222222

（橢圓，直線，中檔；）

,2

4.（2022年江蘇鹽城三模J62,單選7）已知點(diǎn)P為橢圓C：X21（0＜。＜1）的上頂點(diǎn)，點(diǎn)A,

B在桶圓上，滿足且Q4=P8，若滿足條件的△Q46有且只有一個(gè)，則C的離心率的取

值范圍為（?）

（橢圓，中檔；）

5.（2022年福建名校聯(lián)盟J38,單選8）傳說(shuō)，意大利的西西里島有個(gè)山洞是用來(lái)關(guān)押罪犯的，罪犯?jìng)?/p>

曾多次密謀商議逃跑，但不管多完美的計(jì)劃都會(huì)被獄率發(fā)現(xiàn)，原來(lái)山洞內(nèi)的空間是一個(gè)橢球體，最大

截面部分是一個(gè)橢圓面，罪犯和獄率所待的地方正好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，罪犯?jìng)冋f(shuō)的話經(jīng)過(guò)洞壁的反

射，最終都傳向了獄警所在的地方，即橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，這里面含著橢圓的光學(xué)性質(zhì).請(qǐng)利用橢圓的

22

該性質(zhì)解決下列問(wèn)題：已知P是橢圓C：工+匕=1上的點(diǎn).耳、居是橢圓。的左右焦點(diǎn)，

43

3

cos/耳。用=[,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0到橢圓C在P處的切線的距離為（⑤）

A.-B.叵C.巫D.-（橢圓，中檔；）

2233

1.（2022年湖北示范高中J62,單選7）橢圓：=+3=1（“＞/,＞（））有一特殊性質(zhì)，從一個(gè)焦點(diǎn)射出

a"b

的光線到達(dá)橢圓上的一點(diǎn)P反射后，經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓的焦距為2,且歸用+|P閭=4,當(dāng)

sinN耳尸鳥(niǎo)=；時(shí)，橢圓的中心。到與橢圓切于點(diǎn)P的切線的距離為：（?）

,RA/6+'72「V6+>/2?A/6+V2jx-s/6—5/2

L1D.----------------C.----------------L>.----------------蛻--------

4222

（橢圓，原始定義，直線，中檔；）

1.（2022年河北石家莊J03,單選8）已知片，工分別為橢圓E:，+0=l（a＞人＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn),

P是橢圓E上的點(diǎn)，PFyVPF2,且sin?PE63sin?P6片，則橢圓E的離心率為（?）

,亞

A.-V-i-o-RL）.V--l-O-C.nU.Vs

2424

（橢圓，原始定義，中檔；）

72

2.（2022年河北衡水中學(xué)一模J10）已知橢圓C：/十萬(wàn)3＞方＞0）的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,上頂

點(diǎn)、為B,過(guò)點(diǎn)尸與x軸垂直的直線與直線A8交于點(diǎn)P.若線段OP的中點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓。的

離心率為（?）A.B.2ZIzlC.!-D.

2323

（橢圓，中檔；）

3.（2022年河北唐山三模J17）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積.當(dāng)

我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率乃與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸

長(zhǎng)的乘積，已知橢圓C:[+與=1（。＞b＞0）的面積為6缶，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為6,居，點(diǎn)尸為橢

a-b~

o

圓C的上頂點(diǎn).直線y="與橢圓c交于4,8兩點(diǎn)，若尸APB的斜率之積為一則橢圓c的長(zhǎng)

軸長(zhǎng)為（@）

A.3B.6C.2V2D.472

（橢圓，中檔；）

尤2V2

4.（2022年河北演練二J40,單選7）已知耳、尼分別為橢圓C：與+方=1（a＞8＞0）的左、右焦點(diǎn),

A為右頂點(diǎn)，5為上頂點(diǎn)，若在線段A3上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)月（i=l,2）,使得

麗?甌=一二，則橢圓。的離心率的取值范圍為（?）

,1,23

（橢圓，中檔：）

5.（2022年高考甲卷_103）橢圓。：=+與=13>8>0）的左頂點(diǎn)為4點(diǎn)「，。均在C上，且關(guān)于y

ab

軸對(duì)稱.若直線AP,AQ的斜率之積為』，則C的離心率為（"）

4

A.1B.1C.JD.-（橢圓，中檔；）

2223

6.（2022年山東東營(yíng)J58,單選7）已知橢圓。：\+2=l（a>6>0））的左、右焦點(diǎn)分別為耳（-。,0）

和瑞（C,0）,M[,§）為C上一點(diǎn)，且△加百鳥(niǎo)的內(nèi)心為/（9』），則橢圓C的離心率為（12）

A.—B.—C.；D.—（橢圓，圓，中檔；）

3525

Y+V

7.（2022年廣東華附三模J16,單選7）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是橢圓CZI靛+后=1（。>。>0）的左

焦點(diǎn)，4口8分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且尸軸.過(guò)點(diǎn)4的直線/與線段PF交于點(diǎn)M,

與y軸交于點(diǎn)E若直線8M經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（13）

1123

A.-B.-C.-D.-（桶圓，中檔；）

3234

2

8.（2022年廣東仿真J04）（5分）已知橢圓C:5+丁=1的左、右焦點(diǎn)分別是耳、F,,過(guò)鳥(niǎo)的直線，

與C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若。后=OA+O6,則四邊形AOBE面積的最大值為（14）

A.1B.V2C.y/3D.272（橢圓，中檔；）

22

9.（2022年廣東潮汕名校聯(lián)考J05,單選8）如圖，已知片，尸2分別為橢圓C：=+4=l（a>0>0）

a~b

的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，以點(diǎn)尸為圓心，pg為半徑的圓交y軸于48兩點(diǎn).若的

最大值為2&a，則C的離心率為（is）.

BD.V3-1

人,日-T0母-、

（橢圓，圓，中檔；）

10.（2022年山東J53,單選7）已知￡、入分別為橢圓C二+二=1（。＞。＞0）的左、右焦點(diǎn)，P

ab

是橢圓C上的一點(diǎn)，直線/：X=^±L,且PQJ./,垂足為。點(diǎn).若四邊形QP與鳥(niǎo)為平行四邊

a

形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（⑹）

A.-^-,1B.^＞/2—1,1jC.（0,應(yīng)-1）D.0,-^-

（橢圓，直線，中檔；）

?答案：A；

②【7題答案】

【答案】C

【解析】

【分析】分類討論機(jī)＞4和0（加＜4,當(dāng)機(jī)＞4時(shí)，根據(jù)離心率求出加=16,然后在橢圓

上取兩點(diǎn)，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的切線方程求出交點(diǎn)，進(jìn)而求出圓半徑即可；對(duì)于0＜m＜4的情況

與加＞4的方法步驟一致.

【詳解】若加＞4,則或二4=正,即加=16,所以c：工+匯=1,

際2416

由于橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，

不妨取兩點(diǎn)（2,0）,（0,4）,則兩條切線為x=2和y=4,所以兩條切線的交點(diǎn)為（2,4）,且

點(diǎn)（2,4）在蒙日?qǐng)A上，所以半徑為在I不=病，所以蒙日?qǐng)A為V+y2=20；

若0＜加＜4,則，4二〃二且,即加=1,所以C:±+y2=i,

224

由于橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，

不妨取兩點(diǎn)（2,0）,（0,1）,則兩條切線為x=2和y=l,所以兩條切線的交點(diǎn)為（2,1）,且點(diǎn)

（2,1）在蒙日?qǐng)A上，所以半徑為J否了=石，所以蒙日?qǐng)A為x?+y2=5；

綜上：橢圓C的“蒙日?qǐng)A”方程為x2+y2=5或/+/=20

故選：C.

?【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線分別為PM、PN,其中M、N為切點(diǎn)，得四邊形PMON

|0+0+3|

為矩形，矩形的對(duì)角線|0"=2,再由橢圓中心到直線的距離＜2,即可得到答案.

l+a2

【詳解】如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線分別為PM、PN,其中例、N為切點(diǎn),

則OM_LPM、ONLPN

又由于尸河_LRV

故四邊形PMON為矩形

由橢圓的方程為二+y2=i

3-

故矩形的對(duì)角線|OP|=V3+1=2

即矩形PMON的長(zhǎng)不超過(guò)2

即以橢圓與直線》+紗+3=0有公共點(diǎn)，以(0,0)為中心

10+0+31-9

故?/22,得,<4

ae-oo,

故選：B.

?【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)24：y=^+b取人〉0,聯(lián)立橢圓結(jié)合Q4J.求出/、8的點(diǎn)坐標(biāo)，由P4=依

及兩點(diǎn)距離公式得到爐+僅2-1快+〃2]=。，根據(jù)題設(shè)左=i且無(wú)其它左值，得

到』+

k+1=1進(jìn)而求〃的范圍，即可求離心率范圍.

kb2

【詳解】設(shè)直線B4：y=kx+b,則尸3：y=--+b,而P(0,份,

k

2kb

不妨取Z>0,直線24與橢圓聯(lián)立,消去y得(6+%2)/+2妨x=o,解得*=一

、

2kb2k2b2kb3+b

所以A-+b則3

VTb1PF+122

7kb+l

(2姑y2

(lkb\(2”

因?yàn)锽4=P8,所以M+

(公+從廣+儼+8)(%W+1)2(/2+1)2

整理得，（%—1）3%+僅2—1快+的=0,易知左=1符合,

因?yàn)闈M足條件的aPA6有且只有一個(gè)，

所以以2+伊一1伙+廿=0無(wú)左=1之外的解，整理得左+：+1=\,

故選：B

?【答案】B

【解析】

【分析】先求出尸的坐標(biāo)，再求出/￡尸鳥(niǎo)的角平分線與X的交點(diǎn)，從而可求切線方程，故

可得。到橢圓C在P處的切線的距離.

22

由橢圓方程3+（=1可得半焦距c=l,故忻用=2,且￡（一1,0）,6（1,0）,

3）,3

因?yàn)閏os/6尸瑪="故|尸耳「+歸入『―2|際療入卜1=4,

故（|尸用+|明）2-3閥療用=4即閥||尸引=甘，

所以S四附||「用sin4Pg=￡x「^=孚，

故gx2xyp=乎即i.=乎，故Xp=^~，

2+斗，同理歸用=2-斗,

所以|「用

|加丹||%|7-幣幣-1

設(shè)/F]PF?的平分線交x軸于M，則I=??=----7==—j=—,

■\MF\|P耳|7+幣77+1

3s

故|M用=^^ix2=I-,，故加7

,故偌

,03不1,

7

由題設(shè)中的橢圓性質(zhì)可得過(guò)P切線與MP垂直，故切線的斜率為-1,

-x+幣,

故選：B

@【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)過(guò)P點(diǎn)的切線為/,分別做［MJ./、F?N工1、?？冢?于用、N、Q點(diǎn)，做

尸”_L/交x軸于4點(diǎn)，設(shè)NM6P=a,入射角和反射角相等得

“PH=ZHPF2=ZPF2N=a,

利用中位線可得|Oq|=4Cosa,再根據(jù)sin/￡P(guān)g=g,可得答案，

【詳解】設(shè)過(guò)P點(diǎn)的切線為/,分別做￡M_U、F?N工1、。01_1./于加、N、&點(diǎn),

做交x軸于〃點(diǎn)，所得。。是耳M、瑪N的中位線，

設(shè)NMEP=a,入射角和反射角相等，則NF]PH=NHPF?=NPF?N=a,

則|0Q|=恒陷+優(yōu)M=恒Heos”隹PM

恒?|+|凡?|

=---!~~-cosa-acosa，

2

因?yàn)閍=2,c=l,當(dāng)尸為上頂點(diǎn)時(shí)，/耳「心為60，

因?yàn)?，sinZF.PF^-,所以N《PK=30。，

即2a=30°，a=15%

i＜。//i＜。an。'c瓜+近V6+V2

acosa=^cosl5=acos(45-30j=2x-------=-------,

故選：C.

?【答案】B

【解析】

【分析1由題意得|PK|=3|%],利用橢圓定義及勾股定理求得橢圓參數(shù)關(guān)系，即可求離

心率.

【詳解】由題意及正弦定理得：|P用=3歸圖,

令|?￡|=3|0用=3九，則3〃+〃=2。，9n2+n2=4c2?可得?16=402,

所以橢圓的離心率為：c=c，回.

故選：B

【答案】A

【解析】

【分析】聯(lián)立直線43與工=一，，得到尸（一c,（"十°M）,繼而得到M代

a22a

入橢圓求解即可

【詳解】由題意,F（-c,O）,A（a,O）,B（O,Z＞）

由直線方程的截距式可得直線A8為：-+v=l

ab

過(guò)點(diǎn)尸與x軸垂直的直線為：戈=-。

xy

聯(lián)立力+了=1可得x=-c,y="辿

a

x=-c

故p（-c,OP中點(diǎn)〃（一￡,（"+’,）〃）,

a22a

代入橢圓方程得：+（"+?2=1=；+￡-3=0。/+6-3=0,

4礦46raa22

解得e=也二1（舍負(fù)）

2

故選：A

?【答案】B

【解析】

r.2o

【分析】由題意得到方程組必=6夜口和4=3②，即可解出。、從求出長(zhǎng)軸長(zhǎng).

a~9

【詳解】橢圓的面積S=7出?=，即①.

因?yàn)辄c(diǎn)尸為橢圓C的上項(xiàng)點(diǎn)，所以p（0,力）.

22

因?yàn)橹本€y=質(zhì)與橢圓C交于/,8兩點(diǎn),不妨設(shè)A（m,"），則3（一帆,一〃）且1+2=1,

ab-

22

K|Q〃

所rr以"廠2=a'2----.

h2

因?yàn)镻APB的斜率之積為一?1，所以巴a.衛(wèi)a=一色，把加2=〃一空1代入整理化

9m—m9b"

序

簡(jiǎn)得：斗弓Q②

a~9

①②聯(lián)立解得：a=3,6=2及.

所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=6.

故選：B

?【答案】D

【解析】

【分析】求得線段AB的方程為±+2=1（04》《。），在線段AB上取一點(diǎn)

ab

P（x,y）（O<x<a）,由已知可得關(guān)于x的方程史g/—也/曳二^=o在

aa3

xw（O,a）時(shí)有兩個(gè)不等的實(shí)根，根據(jù)二次方程根的分布可得出關(guān)于。、〃、c的不等式組,

由此可解得e的取值范圍.

【詳解】易知點(diǎn)A（a,O）、8（0,。）、耳（-c,0）、鳥(niǎo)（c,0），則線段A8的方程為

—+-^=l(0<x<a),

________2b

在線段AB上取一點(diǎn)P（x,yXO<x<a）,滿足用■?至-----則丁=8—

PFi=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y),

222222

所以，PFX-PF2=(-c-x)(c—x)+(-y)-x+y-c-x+^Z?———c=,

擊攵工田—r4曰Q-+/22b~3b2—2c-

整理可得——--X2----X+--------=0,

aa3

由題意可知，關(guān)于X的方程絲歹/一絲生二Z￡l=o在xe（o,a）時(shí)有兩個(gè)不等的

aa3

實(shí)根,

>0

ab~

———-<a

a+h-a2a22-zp.123

則《可得〈，，可得一<e<-,

3b2-2c2c2325

-------->0n

3

(a2+/72)-2Z>2+3/?-2c>0

r-|V2VTS

所c以h，—<e<~—.

25

故選：D.

11【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)P（3,y）,則Q（-%，x）,根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得一?T再根據(jù)

22

%+2_=1,將力用七表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.

ab"

【詳解】解：A（—〃,（）），

設(shè)尸（％，%），則Q（f，y），

_2L_k=%

則AQ

龍?+a，-xt+a

_W=i

故卻應(yīng)。=宜

—Xj+ci—X12+〃~4

222-Xj2)

唔+A],則靖b(cr

a

叩J?)〃1

所以a21,即二=上，

——2~—=Ta4

-%1+a4

所以橢圓C的離心率e=￡=

a\a22

故選：A.

12【答案】D

【解析】

\Ml\\MF\\MFA2a2?

【分析】利用角平分線定理可得訝=謁=屆，進(jìn)而可得五=7-1.結(jié)合條件

即得.

【詳解】連接陰，/月,M/,延長(zhǎng),交x軸于E，則

\MI\_\MFt\_\MF2\

國(guó)=麗=網(wǎng)又M卜|,丁卜/（占,1）,

嘰幽業(yè)雹幺

陽(yáng)\FtE\+\F2E\2c

即2b=。+c,

又心獨(dú)立,

4

c3

所以3a=5c,即一=—.

a5

故選：D.

13【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：如圖取P與M重合，則由A(—a,O),M(—c,Z)n直線

a

/

...C/,、_EVC"2、同理由

AM:y=―--(x+cz)=>E(0,------)

—C+。CL-C

B(a,0),M(―c,—)=>G(0,——)n——=2bzz>6F=3c=>e=—，故選A.

aa+ca-cQ+C3

考點(diǎn)：1、橢圓及其性質(zhì)；2、直線與橢圓.

【方法點(diǎn)晴】本題考查橢圓及其性質(zhì)、直線與橢圓，涉及特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想和

轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難

b2

題型.如圖取P與“重合，則由A(—c,—)二直線

a

玖N.『

AM:y=(x+a)=>E(0,2同理由8(。，°)，“(一。，了)nG(0,

-c+aa-c

a+ca-ca+c3

14【答案】B

【詳解】設(shè)過(guò)心的直線的方程為x=(y+l,A(x「y),B(X2,y2).

；方—可得(2+?+2力-1=0,

聯(lián)立

-2t

%+%=五再g2=不

因?yàn)镺E=OW+O耳，所以四邊形AOBE為平行四邊形,

則四邊形AOBE的面積

。-1,,r-----3~~--2及二產(chǎn)+12&

s=2X]XIy_%1=+%)-一4乂必=-—,—,,加.