第31講空間幾何體體積及點到面的距離問題4種題型-【題型講義】高一數(shù)學教學題型講義（人教A版2019必修第二冊）

第31講空間幾何體體積及點到面的距離問題4種題型【題型目錄】題型一：三棱錐體積題型二：四棱錐的體積題型三：分割作差法求多面體的體積題型四：點到面的距離問題（等體積法）【典型例題】題型一：三棱錐體積三種思路：1.直接找高2.轉換頂點3.轉化為大的棱錐的倍數(shù)【例1】如圖，在正三棱錐P﹣ABC中，，．(1)求P﹣ABC的體積．【例2】如圖，在直三棱柱中，，，平面，點為側棱上一個動點.(1)求此直三棱柱的表面積；(2)當最小時，求三棱錐的體積.【例3】如圖，在多邊形中（圖1）．四邊形為長方形，為正三角形，，，現(xiàn)以為折痕將折起，使點在平面內的射影恰好是的中點（圖2）．(1)證明：平面；(2)若點在線段上，且，求三棱錐的體積．【例4】如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形.，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD.(1)若M為PB的中點，證明：面PAD；(2)求三棱錐的體積.【例5】如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，點M，N分別是棱PD的三等分點．(1)證明：平面ACM；(2)求三棱錐N－ACM的體積．【題型專練】1．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側棱底面，，是的中點，作交PB于點.(1)求三棱錐的體積；2．在直三棱柱中，，，，D是AB的中點．(1)求三棱錐的體積；(2)求證：∥平面；3．如圖，在三棱錐中，，，O，M分別為，的中點.(1)證明：平面；(2)若，求三棱錐的體積.4.如圖，在三棱柱中，，，側面是正方形，E是的中點，，．(1)求證：；(2)是線段上的點，且滿足．求三棱錐的體積．題型二：四棱錐的體積【例1】在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，Q為的中點.(1)求四棱錐的體積；【例2】如圖，平面平面，，直線AM與直線PC所成的角為，又．(1)求證：；(2)求多面體的體積．【例3】如圖，在底面是矩形的四棱錐中，底面，，，與交于點．(1)求證：平面平面；(2)若，求四棱錐的體積．【例4】如圖所示，在四棱雉中，，，點M在線段SB上，且平面SAD．(1)求的值，并說明理由；(2)若，，求四棱雉的體積．【例5】如圖，在長方形中，，，M為DC的中點.將沿AM折起得到四棱錐，且.(1)證明：；(2)若E是線段DB上的動點，三棱錐的體積與四棱錐的體積之比為1：2，求的值.【例6】如圖，在正四棱錐P－ABCD中，AB＝2，側面PAD與底面ABCD的夾角為.(1)求正四棱錐P－ABCD的體積；(2)若點M是正四棱錐P－ABCD內任意一點，點M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距離分別為，，，，，證明：；【題型專練】1．如圖，在四棱錐中，⊥平面，正方形的邊長為，，設為側棱的中點.(1)求四棱錐的體積；2．如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，，側面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為．(1)求四棱錐的體積；(2)證明：．3．如圖在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，，為的中點，且，底面，為的中點.(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐的體積.4．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面為的中點，且.(1)證明：平面平面；(2)若，求四棱錐的體積.5．如圖，三棱錐中，平面平面，點在線段上，且，點在線段上，且平面.(1)證明：平面；(2)若四棱錐的體積為7，求線段的長.6．如圖①，是由正三角形和正方形組成的平面圖形，其中；將其沿折起，使得，如圖②所示.（1）證明：圖②中平面平面；（2）在線段上取一點，使，當三棱錐的體積為時，求的值.題型三：分割作差法求多面體的體積【例1】如圖，在四棱錐（圖一）和三棱錐（圖二）中，四邊形為正方形，平面，≌，將四棱錐和三棱錐重新組合成一個新的幾何體（圖三），且面和面完全重合，且，．(1)證明：平面；(2)求四棱錐的體積與組合后的幾何體的體積比．【例2】如圖，多面體中，是菱形，，平面，，且.(1)求證：平面平面；(2)求多面體的體積.【例3】芻（chu?）甍（me?ng）是幾何體中的一種特殊的五面體.中國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，屋蓋也.求積術日：倍下表，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，四邊形為長方形，平面，和是全等的等邊三角形.(1)求證：；(2)若已知，求該五面體的體積.【例4】如圖所示，在直三棱柱中，是的中點.(1)證明：平面；(2)設，求幾何體的體積.【例5】小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．【題型專練】1．如圖，底面是邊長為2的菱形，平面，，與平面所成的角為.(1)求證：平面平面；(2)求幾何體的體積2．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，為的中點．(1)證明：平面；(2)求多面體的體積．3．如圖，已知多面體中，平面，平面，且，，，四點共面，是邊長為2的菱形，，．(1)求證：平面；(2)求多面體的體積．4．如圖，在多面體中，底面是正方形，，，底面.(1)證明：平面；(2)若，求該多面體的體積.題型四：點到面的距離問題（等體積法）【例1】如圖所示，三棱柱中，，平面．（1）證明：平面平面；（2）若，，求點到平面的距離．【例2】如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AC、BD相交于點O，，，平面BCF⊥平面ABCD，，點G是BC的中點.(1)求證：直線OE⊥平面ABCD；(2)若，，求點G到平面ADE的距離.【例3】如圖，在四棱錐中，，，側面底面，底面為矩形，為上的動點（與，兩點不重合）．(1)判斷平面與平面是否互相垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由；(2)若，，當為的中點時，求點到平面的距離．【例4】如圖，在四棱錐中，平面，，，，，是的中點，在線段上，且滿足．(1)求證：平面；(2)求點到平面距離．【題型專練】1．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，.點M為BC的中點.(1)證明：平面平面；(2)求點到平面的距離.2．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離．3．如圖，正方形ABCD所在平面外一點P滿足PB