2023年湖南省湘潭市成考專升本高等數學一自考真題(含答案)

2023年湖南省湘潭市成考專升本高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.A.A.

B.0

C.

D.1

3.

4.A.A.1/4B.1/2C.1D.2

5.微分方程y＋y＝0的通解為（）．A.A.

B.

C.

D.

6.函數等于()．

A.0B.1C.2D.不存在

7.（）。A.

B.

C.

D.

8.A.

B.0

C.

D.

9.微分方程y''-2y=ex的特解形式應設為（）。A.y*=Aex

B.y*=Axex

C.y*=2ex

D.y*=ex

10.

11.則f(x)間斷點是x=（）。A.2B.1C.0D.-1

12.設函數f(x)在(0，1)內可導，f'(x)＞0，則f(x)在(0，1)內A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調

13.

14.微分方程(y)2=x的階數為()A.1B.2C.3D.4

15.∫1+∞e-xdx=()

A.-eB.-e-1

C.e-1

D.e

16.

17.

18.

19.

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.設，其中f(x)為連續(xù)函數，則f(x)=______．26.27.28.

29.

30.

31.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.

32.

33.

34.設f(x，y)=sin(xy2)，則df(x，y)=______.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

42.

43.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

44.

45.46.47.48.求微分方程的通解．49.證明：

50.

51.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．52.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則53.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．54.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

55.

56.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．57.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．58.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．59.求曲線在點(1，3)處的切線方程．60.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．四、解答題(10題)61.

62.

63.設y=y(x)由方程X2+2y3+2xy+3y-x=1確定，求y'．

64.

65.66.設區(qū)域D為：67.用鐵皮做一個容積為V的圓柱形有蓋桶，證明當圓柱的高等于底面直徑時，所使用的鐵皮面積最小。68.求微分方程y"-y'-2y=3ex的通解．69.設y=ln(1+x2)，求dy。70.五、高等數學(0題)71.

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.B

2.D本題考查的知識點為拉格朗日中值定理的條件與結論．

可知應選D．

3.C

4.C

5.D本題考查的知識點為－階微分方程的求解．

可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作－階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解．

解法1將方程認作可分離變量方程．

解法2將方程認作－階線性微分方程．由通解公式可得

解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：

特征方程為r＋1＝0，

特征根為r＝－1，

6.C解析：

7.D

8.A

9.A由方程知，其特征方程為，r2-2=0，有兩個特征根r=±.又自由項f(x)=ex，λ=1不是特征根，故特解y*可設為Aex.

10.C

11.Df(x)為分式，當X=-l時，分母x+1=0，分式沒有意義，因此點x=-1為f(x)的間斷點，故選D。

12.B由于f'(x)＞0，可知．f(x)在(0，1)內單調增加。因此選B。

13.A

14.A

15.C

16.D

17.B

18.D解析：

19.A

20.A

21.

22.本題考查了改變積分順序的知識點。

23.2/32/3解析：

24.

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．25.2e2x本題考查的知識點為可變上限積分求導．

由于f(x)為連續(xù)函數，因此可對所給表達式兩端關于x求導．

26.本題考查的知識點為定積分的換元法．

27.1．

本題考查的知識點為二元函數的極值．

可知點(0，0)為z的極小值點，極小值為1．28.

29.y=lnx+Cy=lnx+C解析：

30.

解析：31.

32.ee解析：

33.

34.y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dydf(x，y)=cos(xy2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy)=y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy也可先求出，而得出df(x，y).

35.00解析：

36.

37.

38.y

39.

40.

41.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

42.

則

43.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％44.由一階線性微分方程通解公式有

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.由等價無窮小量的定義可知53.由二重積分物理意義知

54.

55.

56.

57.

列表：

說明

58.函數的定義域為

注意

59.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

60.

61.

62.63.解法1將所給方程兩端關于x求導，可得2x+6y2·y'+2(y+xy')+3y'-1=0，整理可得

解法2令F(x，y)=x2+2y3+2xy+3y-x-1，則本題考查的知識點為隱函數求導法．

y=y(x)由方程F(x，Y)=0確定，求y'通常有兩種方法：

一是將F(x，y)=0兩端關于x求導，認定y為中間變量，得到含有y'的方程，從中解出y'．

二是利用隱函數求導公式其中F'x，F(xiàn)'y分別為F(x，y)=0中F(x，y)對第一個位置變元的偏導數與對第二個位置變元的偏導數．

對于一些特殊情形，可以從F(x，y)=0中較易地解出y=y(x)時，也可以先求出y=y(x)，再直接求導．

64.解所給問題為參數方程求導問題．由于

65.(11/3)(1,1/3)解析：66.利用極坐標，區(qū)域D可以表示為0≤θ≤π,0≤r≤2本題考查的知識點為二重積分的計算(極坐標系)．

如果積分區(qū)域為圓域或圓的一部分，被積函數為f(x2+y2)的二重積分，通常利用極坐標計算較方便．

使用極坐標計算二重積分時，要先將區(qū)域D的邊界曲線化為極坐標下的方程表示，以確定出區(qū)域D的不等式表示式，再將積分化為二次積分．

本題考生中常見的錯誤為：

被積函數中丟掉了r．這是將直角坐標系下的二重積分化為極坐標下的二次積分時常見的錯誤，考生務必要注意．

67.

于是由實際問題得，S存在最小值，即當圓柱的高等于地面的直徑時，所使用的鐵皮面積最小。于是由實際問題得，S存在最小值，即當圓柱的高等于地面的直徑時，所使用的鐵皮面積最小。68.相應的齊次微分方程為y"-y'-2y=0．其特征方程為r2-r-2=0．其特征根為r1=-1，r2=2．齊次方程的通解為Y=C1e-x+C2e2x．由于f(x)