單元測驗五答案

bhbh(x)+單元測驗五一．判斷題（12分）1若f(x)在a,b]上可導(dǎo)，且f

(x)有界，則f

(x)在a,b]上可積。2設(shè)f(x)>0a.e.于E，若f(x)dx=0,則mE=0。E3設(shè)f(x)是E上的可測函數(shù)且則a.e.于E。E4若f(x)在（+上非負可積，則f(x)0(x+。5

cosxx

[勒貝格可積函數(shù)。6f(x,y)在D={(x,y):a上可積,其g(x),h(x)是[a,b]上連續(xù)函數(shù),則P)dP

fx,)。D二．選擇題（18分）

a

g(x)1設(shè)f(x)可測集E上的非負可測函數(shù)，則f(x)（）A必可積；

B必幾乎處處有限；C；必積分確定；

D不一定積分確定2設(shè)f(x)可測集E上可積，則在上（）Af(x)與f-(x)只有一個可積；Bf+(x)與-(x)皆可積；Cf

+

(x)與f(x)不一定可積；

Df

(x)與f-(x)少有一個不可積3設(shè)為狄利克雷函數(shù)，則D(x)dx=（）A0

；

B1；

C1/2

；

D不存在4設(shè)f(x)Cantor集的特征函數(shù)，則f(x)dx=（）A0

；

B1/3；

C2/3

；

D15設(shè)mE=0（E是E上的實函數(shù)，則下面敘述正確的是（）Af(x)在E上不一定可測；Cf(x)E上可積且積分值為0；/

Bf(x)在E上可測但不一定可積；Df(x)在E上不可積

EEEE6f(x)可測集EL可積的必要條件是，為（）AC

連續(xù)函數(shù)；單調(diào)函數(shù)；

BD

幾乎處處連續(xù)函數(shù)；幾乎處處有限的可測函數(shù)7列斷言（）正確的Af(x)在[a,b]上可積在a,b]L積Bf(x)在[a,b]上R積在a,b]R可積Cf(x)在a,b]L積在[a,b]上R可積D在(a,+上義可積f(x)在a,+上積8設(shè)f(x)E

n

上有定義，則f(x)的不連續(xù)點全體構(gòu)成一個（）A開集

B

閉集

CG型集

DF型集9設(shè)f(x)在E上可積，AI(mA0),則有)AAI>0;BI=0;CI<0D

不能確定三．證明題（42分）1設(shè)f(xE[0,1]上可積函數(shù)，lim[fn

]02

設(shè)(x

在E上可積，,E可，nn

且

limmEnn

,

證明：lim

f()

f(x)。

E3設(shè)是測集,{n

}

是E內(nèi)的一列可測子集.f()n

(x)

EnEEn

n求證：{f()}在E上一致收斂于1的充分且必要條件是:,,Enn(2)

f

n

(x)

的充分且必要條件是:limm(EE)nn/

四．計算題（28分）1

x為[的有理數(shù)設(shè)定f)x2為[的

，f()。[02

設(shè)p算

10

xpln。單元測驗五答案一．判斷題1．正確2．正確3．錯誤4．錯誤5．錯誤6．正確二．選擇題1．C2．B3．A4．A5．C6．D7．A8．D9．B三．證明題1．證明E[]，因()在E可積，故f(x在上也可積，且有

f()

E

f()

[0,1]

f()

E

f()

所以mE

E

f()，

故

mEf]。n證由積分

E且

f)dx

E對N(E)

f()dx

f(x)dx

f(x)dx

即lim

f(dx

f(x)dxE

E

E

E

E13．證明(1)nN,,(x)2n由于x(x)因此只能EEE

E

)即/

nnnn11111nnnn11111,N,n反,:N,.則N,f(x這必有{f()}在E上一致收斂nnn于1.(2)若),則n

1,,mE[f]2

.1但:[f]E,因此limmEE)0.2n反之E[fnnf(n四．計算題

因此,由lim(E)nn

可得1．解

f(x)[的有可測數(shù)([0,1]).且

f()

f()

f)

x

2

dx

x

2

dx,[0

[0[0

Q

x[連續(xù)([0,1])且

[0

x201xp12.解由n得lnxln且xnln在0,1)上非負可測，11xnnxp1由逐項積