高中數(shù)學第二章平面向量4第1課時平面向量的坐標表示平面向量線性運算的坐標表示教學案數(shù)學教學案

第1課時平面向量的坐標表示平面向量線性運算的坐標表示[核心必知]1．平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，如圖，分別取與x軸，y軸方向同樣的兩個單位向量i，j作為基底，a為坐標平面內(nèi)的隨意愿量，以坐標原點O為起點作OP＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得OP＝xi＋yj，所以a＝xi＋yj.把實數(shù)對(x，y)叫作向量a的坐標，記作a＝(x，y)．2．平面向量線性運算的坐標表示1122．已知a＝(x，y)，b＝(x，y)運算坐標表示語言表達兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)相應坐標的和兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量減法a－b＝(x1－x2，y1－y2)相應坐標的差實數(shù)與向量積的坐標分別等于實數(shù)與向數(shù)乘λa＝(λx1，λy1)量的相應坐標的乘積3．向量AB的坐標表示設定點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1)，即：一個向量的坐標等于其終點的相應坐標減去始點的相應坐標．[問題思慮]1．相等向量的坐標同樣，對嗎？提示：正確．相等向量經(jīng)過平移能夠擁有共同的始點O(O為坐標原點)，這時其終點相同，而終點的坐標即是這些向量的坐標，所以正確．2．向量的坐標與點的坐標有何差別？提示：平面向量的坐標與該向量的始點、終點的坐標都相關，它的坐標等于終點坐標減去始點坐標，只有始點在原點時，向量的坐標才與終點坐標相等．當實數(shù)對(x，y)表示點時可記為P(x，y)，表示向量時可記為a＝(x，y)．3．若i，j分別是與x軸，y軸同方向的單位向量，則i，j的坐標分別是什么？提示：依據(jù)平面向量的坐標定義，i＝(1，0)，j＝(0，1)．講一講1．如下圖，試分別用基底i，j表示向量a，b，c，d，并求出它們的坐標．[試試解答]由圖可知，a＝＝2i＋3j，∴a＝(2,3)，同理，b＝－2i＋3j，b＝(－2,3)．c＝－3i＋0j，c＝(－3,0)．d＝－3i－2j，d＝(－3，－2)．1．求向量的坐標的一般方法：利用平行四邊形(或三角形)法例，將向量用基底i，j(i，j分別是與x，y軸同方向的單位向量)表示，而后確立其坐標．求起點和終點的坐標，并用終點的坐標減去起點的相應坐標．2．向量的坐標表示是給出向量的又一種形式，它的坐標只與始點、終點的相對地點有關，三者中給出隨意兩個，都能夠求出第三個．練一練1．已知O是坐標原點，點A，B在第一象限，＝43，∠xOA＝∠yOB＝30°，求向量的坐標．解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＝y(tǒng)2＝|OA|cos30°＝6，y1＝x2＝|OA|sin30°＝23.∴A(6,23)，B(23，6)．∴OA＝(6,23)，AB＝(23，6)－(6,23)＝(－6＋23，6－23)．講一講2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設OA＝a，求3a＋b－3c的坐標；求知足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標及向量MN的坐標．[試試解答]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，－6m＋n＝5，m＝－1，∴解得－3m＋8n＝－5，n＝－1.1．向量線性運算的坐標表示其實是相應坐標的加、減、乘、除混淆運算，嫻熟掌握運算法例是解題的重點．2．用坐標表示的向量，線性運算后的結(jié)果仍用坐標表示．3．解題過程中要注意方程思想的運用．練一練2．(1)已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，1求：①3a＋4b；②a－3b；③2a－4b.(2)已知點A、、C的坐標分別為(2，－4)、(0,6)、(－8，10)，求向量BABC的坐標；解：(1)①3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)．a(chǎn)－3b＝(2，1)－3(－3，4)(2，1)－(－9，12)＝(11，－11)．1111③－＝(2，1)－(－3，4)2a4b2413711，2－－4，1＝4，－2.(2)由A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，1(－2,10)＋2(－8,4)－2(－10,14)(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)(－18,18)－(－5,7)＝(－13,11)．講一講如下圖，已知平行四邊形ABCD的三個極點A、B、C的坐標分別是(－2，1)、(－1，、(3，4)，試求極點D的坐標．[試試解答]法一：(待定系數(shù)法)設極點D的坐標為(x，y)．∵＝(－1,3)－(－2,1)＝(1,2)，(3－x,4－y)．由，得(1,2)＝(3－x,4－y)．1＝3－x，x＝2，∴∴2＝4－y，y＝2.∴極點D的坐標為(2,2)．法二：(直接法)如圖，由向量加法的平行四邊形法例可知(－2,1)－(－1,3)＋(3,4)－(－1，3)(－1，－2)＋(4,1)(3，－1)．而＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)，∴極點D的坐標為(2,2)．有了向量的坐標表示，就能夠?qū)缀螁栴}轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題來解決．向量用坐標表示，體現(xiàn)了數(shù)形聯(lián)合的思想．借助于向量的坐標表示，向量的線性運算可轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)的運算，此中正確分清向量的坐標與點的坐標的差別和聯(lián)系是重點，同時還應嫻熟掌握用坐標表示的向量的運算法例．練一練3．[多維思慮]若把此題條件改為“已知平行四邊形的三個極點坐標分別為A(4，3)，B(3，－1)，C(1，－2)”，所求問題不變，結(jié)果怎樣？解：設點D坐標為(x，y)①若平行四邊形四個極點的次序為ABCD，－1＝1－x，x＝2，得解得－4＝－2－y，y＝2.故極點D的坐標為(2,2)．②若平行四邊形四個極點的次序為ACBD，x＝6，解得y＝4.故極點D的坐標為(6,4)．③若平行四邊形四個極點的次序為ABDC，x＝0，解得y＝－6.故極點D的坐標為(0，－6)．綜上，極點D的坐標是(2,2)，(6,4)或(0，－6).已知點A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若(λ∈R)，試求當點P在第三象限時λ的取值范圍．[錯解]由已知得＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，又點P在第三象限，∴3＋5λ<0，∴λ<－3，故λ的取1＋7λ<0，53值范圍為(－∞，－5)．[錯因]錯解中誤把向量AP的坐標看作P點的坐標，實質(zhì)是對向量的坐標表示的觀點理解不清，只有當向量的始點是坐標原點時，向量的坐標才等于終點的坐標．[正解]由已知得＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，設點P(x，y)，則AP＝(x－2，y－3)，于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，x－2＝3＋5λ，即y－3＝1＋7λ.又點P在第三象限，所以x＝5＋5λ<0，解得λ<－1.y＝4＋7λ<0.所以λ的取值范圍為(－∞，－1).1．對坐標平面內(nèi)的任一直量a，給出以下四個結(jié)論：①存在獨一的一對實數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的始點是原點O；④若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標是(x，y)，則a＝(x，y)．此中，正確結(jié)論的個數(shù)是( )A．1B．2C．3D．4分析：選A由平面向量基本定理可知，①正確；因為a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②錯誤；因為向量能夠平移，所以a＝(x，y)與a的始點是否是原點沒關，故③錯誤；當a的終點坐標是(x，y)時，a＝(x，y)是以a的始點是原點為前提的，故④錯誤．2．設a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，用a，b作基底可將c表示為c＝pa＋qb，則實數(shù)p、q的值為( )A．p＝4，q＝1B．p＝1，q＝4C．p＝0，q＝4D．p＝1，q＝－4分析：選B∵c＝pa＋qb＝(－p，2p)＋(q，－q)(q－p，2p－q)＝(3，－2)，∴q－p＝3且2p－q＝－2，解得：p＝1，q＝4.3．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，，則點P的坐標為( )A．(－8,1)B3．(－1，－)23C．(1，2)D．(8，－1)分析：選B設P(x，y)，由得，1(x，y)－(3，－2)＝2[(－5，－1)－(3，－2)]1即(x－3，y＋2)＝(－4，)，2x－3＝－4，331∴∴x＝－1，y＝－，故P(－1，－)．y＋2＝，2224．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－)，d的有向線段首尾相接能組成四邊形，則向量＝________．cd分析：由題意知，4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0.d＝－6a－4b＋4c(－6，18)－(－8，16)＋(－4，－8)＝(－2，－6)．答案：(－2，－6)5．若向量＝(1，y)，a＝(x，y)，則向量a＝________.分析：∵＝0即(4＋x,8＋b)＝0，∴x＝－4，y＝－8.則a＝(－4，－8)．答案：(－4，－8)6．已知點(3，－4)與點(－1,2)，點P在直線AB上，且，求點PAB的坐標．解：由知.設P點的坐標為(x，y)．當時，得(－3，＋4)＝2(－1－x,2－)，xyyx－3＝－2－2x，1x＝，∴y＋4＝4－2y，解得3y＝0.1P坐標為(，0)．3當時，得(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，x－3＝2＋2，x＝－5，∴解得y＋4＝2y－4，y＝8.∴P點坐標為(－5,8)．綜上可知，P點坐標為(1，0)或(－5,8)．3一、選擇題1．(廣東高考)若向量＝( )A．(－2，－4)B．(3，4)C．(6，10)D．(－6，－10)分析：選A＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．2．已知＝(0,3)，把向量AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°獲得向量AC，則向量OC等于()A．(－2,1)B．(0，－1)C．(3,4)D．(3,1)分析：選B依題意，，設(，)，則：Cxy(0,3)－(0,1)＝－(x，y－1)，即(－x，－y＋1)＝(0,2)．－x＝0，∴∴x＝0，y＝－1，故OC＝(0，－1)．－y＋1＝2，3．已知A(5,7)，B(2,3)，將AB的起點移到原點，則平移后向量的坐標為( )A．(－3，－4)B．(－4，－3)C．(1，－3)D．(－3,1)分析：選AAB＝(2,3)－(5,7)＝(－3，－4)，∵將AB平移后所得向量與AB―→相等，∴平移后的坐標仍為(－3，－4)．4．已知點A(x,1)，B(1,0)，C(0，y)，D(－1,1)．若AB＝，則x＋y等于( )A．1B．2C．3D．4分析：選DAB＝(1－x，－1)，＝(－1,1－y)，∵AB＝，即(1－x，－1)＝(－1,1－y)，1－x＝－1，x＝2，故x＋y＝4.∴∴y＝2.－1＝1－y，二、填空題5．已知i，j是分別與x軸，y軸同方向的單位向量，若OA＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(x∈R)，則點A位于第________象限．分析：可知點A的坐標為(x2＋x＋1，－x2＋x－1)．∵x2＋123x2x－1＝－(x123＋1＝(＋)＋>0，－＋－)－<0.xx2424∴點A位于第四象限．答案：四6．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，AB＝ma＋nb，＝a－2b，若AB＝－2，則m＝________，n＝________.分析：AB＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)；(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．AB＝－2，即(2m－n,3m＋2n)＝(－8,2)．2m－n＝－8，m＝－2，∴解得3m＋2n＝2，n＝4.答案：－247．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，則a＝______，b＝________．a(chǎn)＋b＝（2，－8）①分析：聯(lián)立②a－b＝（－8，16）①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8，16)＝(－6，8)∴a＝(－3，4)，而b＝(2，－8)－a＝(2，－8)－(－3，4)(2＋3，－8－4)＝(5，－12)．∴a＝(－3，4)，b＝(5，－12)．答案：(－3，4)(5，－12)8．在△中，點P在BC上，且，點Q是AC的中點，若＝(4,3)，ABC________.分析：∵Q是AC的中點，∴，＝(－6,21)．答案：(－6,21)三、解答題9．已知點A(0,2)，B(2,4)及，求點C，D和的坐標．設C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1＝1，－x2＝－6，∴2－y2＝－6.y1－2＝1，x1＝1，x2＝6，得y2＝8.y1＝3，C，D的坐標分別為(1,3)，(6,8)(6,8)－(1,3)＝(5,5)．10．在平行四邊形ABCD中，點A(