高中數學6示范教案(241等比數列的概念通項公式)新人教版必修5

2.4等比數列等比數列的觀點及通項公式冷靜講課本節(jié)內容先由師生共同解析平時生活中的實質問題來引出等比數列的觀點，再由教師引導學生與等差數列類比研究等比數列的通項公式，并將等比數列的通項公式與指數函數進行聯系，領會等比數列與指數函數的關系，既讓學生感覺到等比數列是現實生活中大批存在的數列模型，也讓學生經歷了從實質問題抽象出數列模型的過程.教課中應充分利用信息和多媒體技術，給學生以許多的感覺，激發(fā)學生學習的踴躍性和思想的主動性.準備豐富的閱讀資料，為學生供給自主學習的可能，從而達到更好的理解和穩(wěn)固講堂所學知識的目的.教課要點1.等比數列的觀點;2.等比數列的通項公式.教課難點1.在詳細問題中抽象出數列的模型和數列的等比關系

;2.等比數列與指數函數的關系.教具準備多媒體課件、投影膠片、投影儀等三維目標一、知識與技術1.認識現實生活中存在著一類特別的數列

;2.理解等比數列的觀點，研究并掌握等比數列的通項公式;3.能在詳細的問題情境中，發(fā)現數列的等比關系，并能用相關的知識解決相應的實質問題;4.領會等比數列與指數函數的關系.二、過程與方法1.采納察看、思慮、類比、歸納、研究、得出結論的方法進行教課;2.發(fā)揮學生的主體作用，作好研究性活動;3.親密聯系實質，激發(fā)學生學習的踴躍性.三、感情態(tài)度與價值觀1.經過生活中的大批實例，鼓舞學生踴躍思慮，激發(fā)學生對知識的研究精神和嚴肅仔細的科學態(tài)度，培育學生的類比、歸納的能力;2.經過對相關實質問題的解決，表現數學與實質生活的親密聯系，激發(fā)學生學習的興趣.教課過程導入新課師現實生活中，有很多成倍增加的實例.如，將一張報紙對折、對折、再對折、，對折了三次，手中的報紙的層數就成了8層，對折了5次就成了32層.你能舉出近似的例子嗎？生一粒種子生殖出第二代120粒種子，用第二代的120粒種子能夠生殖出第三代120×120粒種子，用第三代的120×120粒種子能夠生殖出第四代120×120×120粒種子，師特別好的一個例子！現實生活中，我們會碰到很多這種的案例.教師出示多媒體課件一：某種細胞分裂的模型.師細胞分裂的個數也是與我們上述提出的問題近似的實例.細胞分裂有什么規(guī)律，將每次分裂后細胞的個數寫成一個數列，你能寫出這個數列嗎？生經過察看和畫草圖，發(fā)現細胞分裂的規(guī)律，并記錄每次分裂所獲得的細胞數，從而獲得每次細胞分裂所獲得的細胞數構成下邊的數列：1，2，4，8，①教師出示投影膠片1：“一尺之棰，日取其半，萬世不停.”師這是《莊子·天下篇》中的一個闡述，能解說這個闡述的含義嗎？生思慮、議論，用現代語言表達.師(用現代語言表達后)假如把“一尺之棰”當作單位“1，”那么獲得的數列是什么樣的呢？生發(fā)現等比關系，寫出一個無量等比數列：1，1，1，1，1，②教師出示投影膠片2：計算機病毒流傳問題.24816一種計算機病毒，能夠查找計算機中的地點簿，經過郵件進行流傳.假如把病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪，郵件接收者發(fā)送病毒稱為第二輪，依此類推.假定每一輪每一臺計算機都感染20臺計算機,那么在不重復的狀況下,這種病毒感染的計算機數構成一個什么樣的數列呢?師(讀題后)這種病毒每一輪流傳的計算機數構成的數列是如何的呢？指引學生發(fā)現“病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪”“每一輪感染20臺計算機”中蘊涵的等比關系.生發(fā)現等比關系，寫出一個無量等比數列：1，20，202，203，204，③教師出示多媒體課件二：銀行存款利息問題.師介紹“復利”的背景：“復利”是我國現行按期積蓄中的一種支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一同算作本金，再計算下一期的利息，也就是往常說的“利滾利”我.國現行按期積蓄中的自動轉存業(yè)求實質上就是按復利支付利息的.給出計算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)n，這里n為存期.生列出5年內各年終的本利和，并說明計算過程.師生合作議論得出“時間”“年初本金”“年終本利和”三個量之間的對應關系，并寫出：各年終本利和(單位：元)構成了下邊數列：10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984，10000×1.01985.④師回想數列的等差關系和等差數列的定義，察看上邊的數列①②③④，談談它們有什么共同特色？師指引學生類比等差關系和等差數列的觀點，發(fā)現等比關系.引入課題：板書課題2.4等比數列的觀點及通項公式推動新課［合作研究］師從上邊的數列①②③④中我們發(fā)現了它們的共同特色是：擁有等比關系.假如我們將擁有這樣特色的數列稱之為等比數列，那么你能給等比數列下一個什么樣的定義呢？生回想等差數列的定義，并進行類比，說出：一般地，假如把一個數列，從第2項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列.［教師精講］師同學們歸納得很好，這就是等比數列(geometricsequence)的定義.有些書本把等比數列的英文縮寫記作G.P.(GeometricProgression).我們此后也常用G.P.這個縮寫表示等比數列.定義中的這個常數叫做等比數列的公比(commonratio)，公比往常用字母q表示(q≠0).請同學們想想，為何q≠0呢？生獨立思慮、合作溝通、自主研究.師假定q=0，數列的第二項就應當是0，那么作第一項后邊的任一項與它的前一項的比時就出現什么了呢？生疏母為0了.師對了，問題就出在這里了，所以，一定q≠0.師那么，等比數列的首項能不可以為0呢？生等比數列的首項不可以為0.師是的，等比數列的首項和公比都不可以為0，等比數列中的任一項都不會是0.［合作研究］師類比等差中項的觀點，請同學們自己給出等比中項的觀點.生假如在a與b中間插入一個數G，使a、G、b成等比數列，那么G叫做a、b的等比中項.師想想，這時a、b的符號有什么特色呢？你能用a、b表示G嗎？生一同研究,a、b是同號的Gb，G=±ab，G2=ab.G師察看學生所獲得的a、b、G的關系式，并賜予必定.增補練習：與等差數列同樣，等比數列也擁有必定的對稱性，對于等差數列來說，與數列中任一項等距離的兩項之和等于該項的2倍，即an-k+an+k=2an.對于等比數列來說，有什么近似的性質呢？生獨立研究，得出：等比數列有近似的性質：an-k·an+k=an2.［合作研究］研究：一個數列a1,a2,a3,,an,(a1≠0)是等差數列，同時還可以不可以是等比數列呢？(2)寫出兩個首項為1的等比數列的前5項，比較這兩個數列能否同樣？寫出兩個公比為2的等比數列的前5項，比較這兩個數列能否同樣？任一項an及公比q同樣，則這兩個數列同樣嗎？隨意兩項am、an同樣，這兩個數列同樣嗎？若兩個等比數列同樣，需要什么條件？師指引學生研究，并給出(1)的答案，（2)(3)(4)可留給學生回答.生研究并分組議論上述問題的解答方法，并溝通(1)的解答.［教師精講］歸納總結對上述問題的研究，得出：(1)中，既是等差數列又是等比數列的數列是存在的，每一個非零常數列都是公差為為1的既是等差數列又是等比數列的數列.歸納學生對(2)(3)(4)的解答.

0，公比(2)中，首項為

1，而公比不一樣的等比數列是不會同樣的；公比為

2，而首項不一樣的等比數列也是不會同樣的.中，是指兩個數列中的任一對應項與公比都同樣，可得出這兩個數列同樣；中，是指兩個數列中的隨意兩個對應項都同樣，能夠得出這兩個數列同樣；(5)中，結論是：若兩個數列同樣，需要“首項和公比都同樣”.(研究的目的是為了說明首項和公比是決定一個等比數列的必需條件；為等比數列的通項公式的推導做準備)［合作研究］師回首等差數列的通項公式的推導過程，你能推導出等比數列的通項公式嗎？生推導等比數列的通項公式.［方法指引］師讓學生與等差數列的推導過程類比，并指引學生采納不完整歸納法得出等比數列的通項公式.詳細的，設等比數列{an}首項為a1，公比為q，依據等比數列的定義，我們有：a2=a1q,a3=a2q=a1q2,,an=an-1q=a1qn-1，即an=a1qn-1.師依據等比數列的定義，我們還可以夠寫出a2a3a4...anq,a1a2a3an1從而有ann-1n-22n-331n-1.=aq=aq=aq==aq亦得an=a1qn-1.師察看一下上式，每一道式子里，項的下標與q的指數，你能發(fā)現有什么共同的特色嗎？生把an當作anq0，那么，每一道式子里，項的下標與q的指數的和都是n.師特別正確，這里不單給出了一個由an倒推到an與a1，q的關系，從而得出通項公式的過程，并且此中還包含了等比數列的基天性質，在后邊我們研究等比數列的基天性質時將會再提到這組關系式.師請同學們環(huán)繞依據等比數列的定義寫出的式子a2a3a4...anq,再思慮.a1a2a3an1假如我們把上邊的式子改寫成a2a3a4q,...,anq.a1q,q,an1a2a3那么我們就有了n-1個等式，將這n-1個等式兩邊分別乘到一同(疊乘)，獲得的結果是ann1n1n-1qq.a1,于是，得a=a師這不又是一個推導等比數列通項公式的方法嗎？師在上述方法中，前兩種方法采納的是不完整歸納法，嚴格的，還需給出證明.第三種方法沒有波及不完整歸納法，是一個完滿的推導過程，不再需要證明.師讓學生說出公式中首項a1和公比q的限制條件.生a1，q都不可以為0.［知識拓展］師前面實例中也有“細胞分裂”“計算機病毒流傳”“復利計算”的練習和習題，那邊是用什么方法解決問題的呢？教師出示多媒體課件三：前面實例中對于“細胞分裂”“計算機病毒流傳”“復利計算”的練習或習題.某種積蓄按復利計算成本利息，若本金為a元，每期利率為r，設存期是x,本利和為y元.（1）寫出本利和y隨存期x變化的函數關系式；（2）假如存入本金1000元，每期利率為2.25%，試計算5期后的本利和.師前面實例中對于“細胞分裂”“計算機病毒流傳”“復利計算”的問題是用函數的知識和方法解決問題的.生比較兩種方法，思慮它們的異同.［教師精講］經過用不一樣的數學知識解決近似的數學識題，從中發(fā)現等比數列和指數函數能夠聯系起來.(1)在同一平面直角坐標系中，畫出通項公式為nn-1的數列的圖象和函數y=2x-1的圖象，a=2你發(fā)現了什么？(2)在同一平面直角坐標系中，畫出通項公式為an(1)n1的數列的圖象和函數y=(1)x-1的22圖象，你又發(fā)現了什么？生借助信息技術或用描點作圖畫出上述兩組圖象，而后溝通、議論、歸納出兩者之間的關系.師出示多媒體課件四：借助信息技術作出的上述兩組圖象.察看它們之間的關系，得出結論：等比數列是特別的指數函數，等比數列的圖象是一些孤立的點.師請同學們從定義、通項公式、與函數的聯系3個角度類比等差數列與等比數列，并填補以下表格：等差數列等比數列定義從第二項起，每一項與它前一項的從第二項起，每一項與它前一差都是同一個常數項的比都是同一個常數首項、公差(公比)取值有沒有任何限制首項、公比都不可以為0無窮制通項公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1相應圖象的特色直線y=a11x-1圖象上孤立的點+(x-1)d上孤立的點函數y=aq［例題解析］【例1】某種放射性物質不停變化為其余物質，每經過一年，剩留的這種物質是本來的84％，這種物質的半衰期為多長(精準到1年)？師從中能抽象出一個數列的模型，并且該數列擁有等比關系.【例2】依據右圖中的框圖，寫出所打印數列的前5項，并成立數列的遞推公式，這個數列是等比數列嗎？師將打印出來的數挨次記為a1(即A)，a2，a3，.11可知a1=1;a2=a1×;a3=a2×.22于是，可得遞推公式a11,an1a1(n＞.2n1)因為an1，所以，這個數列是等比數列