高考數學復習解題建議

高考數學復習解題建議俞新龍（浙江省紹興縣越崎中學312050）“鐵打的校園，流水的學生”，2022年高考已經圓滿結束，馬上就要步入2022年的高考復習，雖說高考復習“歲歲年年題不同”，但實際是“年年歲歲法相似”．在此，老師愿意將2022年高考復習中同學們在解題方面需要特別注意的幾方面提出來，并通過復習中遇到的具體實例講解，供同學們參考，希望同學們能以一個良好的開端取得事半功倍的效果．一、高考復習應重視基礎這是一個老生常談的話題．簡單的講就是要重視教材中的概念、定義、公理、定理等基本知識和在學習中得到的一些有益于解題的結論．只有夯實了基礎，解題才能得心應手，水到渠成．重視概念、定義、公理、定理等基本知識數學概念、定義、公理、定理等基本知識如同造房子的地基，萬丈高樓拔地起，靠的是牢固的地基．因此，數學基礎是解題之本，必須記憶、理解才能應用．所以，同學們應該同背語文、英語學科一樣的重視將它們熟背下來．例1設點為拋物線上任一點，則的最小值為__________．P圖1FAxyQ解析：該題如果通過代入解答，難以做出來，其實，本題考的僅是拋物線的定義：到焦點的距離等于到準線的距離．如圖1，因為，所以的幾何意義是拋物線上的點與定點的距離加上到軸的距離，而，故，即最小值為3．P圖1FAxyQ例2設函數的導函數為，對任意都有成立，則（）（A）（B）（C）（D）與的大小不確定解析：乍看題目，本題比較難找解題思路，但我們可以聯想導數求導法則中的商的導數公式，等價于，故可構造函數，只要考慮即可，在中學階段這樣的函數容易想到是或，故可以構造函數，并且知是上增函數，從而，即，則．另一方面，我們也可以從選擇子特征進行聯想．與的大小比較等價于與的大小比較，從而可以聯想到考慮函數的單調性，由知，所以，故是增函數，由得．也就是說，本題實際上僅考查導數運算中的商的導數公式這一法則．上面兩例舉的是教科書中的基礎問題，同學們還應注意提高自己即時學習基礎知識的能力．例3在平面斜坐標系中，點的斜坐標定義為：“若（其中，分別為與斜坐標系的軸，軸同方向的單位向量），則點的坐標為”．若，，且動點滿足，則點在斜坐標系中的軌跡方程為（）（A）（B）（C）（D）解析：本題的難點在于理解新概念：斜坐標定義，之后只要仿求即可．設，則，故，同理，所以，化簡得．重視有益于解題結論的記憶除了教科書中用黑體表示的基礎知識外，同學們在平時還能學習到許多有用的結論，這些結論的記憶、應用對解題的幫助也是很大的，也應關注它的記憶．例4已知內接于橢圓，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若AB、BC、CA所在直線的斜率為、、，OD、OE、OF的斜率為、、，當++=0時，求證為常數．ABCDEFOxy圖2ABCDEFOxy圖2結論：斜率為的直線與橢圓相交于A、B兩點，線段AB中點為P，若OP斜率為，則．用判別式法或點差法均可以證明，此處略．如若我們熟記了該結論，則當解答例4時，就可以從AB斜率、OD斜率進行思考，亦即可以得到如下證明方法：因為，，，所以==0為常數．AB圖3MCDBA并且以上證明過程呈現出++為常數為常數；++為常數為常數．AB圖3MCDBA例5在中，是的中點，，，則________．解析：平行四邊形對角線性質：兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和，同學們可以利用該性質來解．如圖3，將補成平行四邊形，則，得，又，所以．當然，平行四邊形對角線性質也有向量形式：和，則兩者平方作差得，所以．二、注意模式化解題因為考試是限時作業(yè)，除去閱讀題目的時間，真正留下答題的時間大約90分鐘，時間緊，任務重，所以要盡可能的熟悉各種題型的解法，不求熟能生巧，但要達到“條件反射式”的答題，這就需要同學們在復習中注意反思，總結各種題型的解法，做到“題來法出”．下面，通過具體例子給同學們羅列幾類，希望同學們有選擇、有重點的去總結解題模式．特殊法特殊法是指通過特殊的情形（可以是特殊值、特殊位置、特殊幾何體等）來求解一般情況下的答案，一般用在客觀題（即選擇題和填空題）中，但也可以用在解答題中尋找解題思路．同學們知道一般情況下成立，則特殊情況必成立，這是特殊法解題的依據．特殊法以解題快捷、準確出名，但同學們只有在平時解題中有目的訓練、應用才能較好掌握．見例2解析：既然該題沒有具體解析式，那么可以通過特殊函數來解決．例如取，則，而此時，，所以．顯然，這種方法比前面2種方法都簡單．例7在中，角所對的邊分別為，如果成等差數列，則__________．O圖4ACDBPl解析：會由得嘗試解本題，立馬被否決，思維易停止．本題的一種解法是余弦定理代入，，同理，將兩式代入目標式得，計算、化簡要求較高，而如果同學們想到用特殊三角形來解，則比較方便，如可以是邊長為3、4、5的直角三角形，當然取正三角形是最簡單的，．這也告訴同學們，特殊法中“特殊”O(jiān)圖4ACDBPl例8如圖4，在中，為上的一點，且，是的中點，過點的直線，是直線上的動點，若，則__________．P圖5OPCOPACOPBACOPDBACOPxy解析：該題的解題入口：向量共線定理較難發(fā)現，因為，，，所以，則．但是，同學們可以將其特殊化來降低難度，簡單化求解，例如如圖5，取，，，則，，所以直線，設，則由得，從而，所以．當然最簡單的應該是取點即為點，此時，，則．P圖5OPCOPACOPBACOPDBACOPxy橢圓、雙曲線離心率的求解離不開圖形性質的應用橢圓、雙曲線的離心率問題在高考中出現的頻率非常高，并且一般都可以通過幾何圖形性質得到簡解，當然，老老實實計算也可以做出來，但兩者所用時間差別很大，是區(qū)分同學們數學素養(yǎng)的題目之一．A圖6BAPBAOPBAxy例9已知雙曲線：，過點作圓的兩條切線，切點分別為A圖6BAPBAOPBAxy（A）（B）2（C）（D）解析：同學們比較多的是通過求切點、坐標，然后由兩點式斜率公式來做的，，點坐標計算較繁，要通過相切，聯立方程等方法求解得，從而．而實際上，如果用圓的有關性質馬上可以得斜率，如圖6，因為，所以由立得，從而，解得離心率．例10已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個交點，且軸，若為雙曲線的一條斜率大于0的漸近線，則的斜率可以在下列給出的某個區(qū)間內，該區(qū)間可以是（）F圖7AOxy（A）（B）F圖7AOxy解析：如圖7，利用拋物線方程得，代入雙曲線方程得，解得或（舍去），故雙曲線方程為，則漸近線的斜率為．但實際上，同學們可以從圖形中觀察出漸近線的斜率大于的斜率2．多么方便??！向量問題坐標解向量客觀題在高考中出現的次數較多，已經成為命題創(chuàng)新的主陣地之一．數、形兼?zhèn)涫窍蛄康奶卣?，因此，如果能通過建系、用代數方法求解，則無疑能降低許多難度．例11已知a，b為平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足c+a=(c+b)（），則|c|的最小值為________．解析：本題有如下一些解法法1：（共線定理）由c+a=(c+b)得c=(－a)+(－b)，由于+=1，故c、－a、－b共線，又a，b為互相垂直的單位向量，所以|c|min=．法2：（坐標法）注意到a，b為互相垂直的單位向量，不妨設a=(1，0)，b=(0，1)，若記c=(x，y)，則(x+1，y)=(x，y+1)，接下去又有幾種不同的思考方式：思考1：由得，故|c|=，問題成為的最小值，一般用導數或經過配湊后的基本不等式解決問題，下略．思考2：注意到c+a=(c+b)實際上就是c+a與c+b共線，故有(x+1)(y+1)－xy=0，即x+y+1=0，故可以看成是直線上的點到原點的最小距離，即為原點到直線的距離；也可以消元或用基本不等式．同學們，你認為命題人到底想通過本題考查什么呢？主要是考查向量坐標解法與共線定理的應用，所以法2的思考2才是本題最好的解法，并且同學們可以據此方法類似的解決下面的變式．變式1已知a，b為平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足c+2a=(2c－b)（），則|c|的最小值為________．變式2已知a，b為平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(c+a)(c+b)=0，則|c|的最小值為________．變式3已知a，b為平面內兩個互相垂直的向量，且|a|=1，|b|=2，若向量c滿足c+2a=(c－b)（），則|c|的最小值為________．變式4已知向量a，b，c滿足|a|=|b|=ab=2，(a－c)(b－2c)=0，則|b－c|的最小值為________．變式1和變式2基本上與原題相同，僅為簡單模仿；變式3僅改變了b向量的坐標，簡單升級；變式4要求同學們能靈活建系并得到相應向量坐標，是能力的提高．例12中，，，，為的重心，點滿足，，（），則||的最小值為_______．解析：該題如果從純粹的向量角度求解比較難，如果能從直角三角形考慮建系做，則就能通過計算解決．以、為軸、軸建立直角坐標系，則，，，從而，由，得，，則，當時取到．這樣就變成了一個求二次函數最值的問題．焦點三角形問題的突破我們把橢圓或雙曲線的兩個焦點、及圓錐曲線上任一點構成的三角形稱為焦點三角形，以這個三角形中的某些元素作為條件的圓錐曲線問題稱為焦點三角形問題，該類問題在圓錐曲線的出現頻率相當高，是一類常見問題，但也是同學們比較懼怕的，因為總是感覺找不到解題的入口．其實，這類焦點三角形問題有一個解決的“基本程式”，同學們只要掌握了這個“基本程式”，則焦點三角形問題就能迎刃而解．xOPy圖8例13已知橢圓的焦點為、，是橢圓上一點且，求的面積．xOPy圖8解析：如圖8，根據橢圓定義可以知道，在中，運用余弦定理得，即，，再由三角形面積的正弦定理得．例13的分析過程，基本代表了解決焦點三角形問題的基本程式，即一般可以分以下幾步操作：第1步，先運用橢圓或雙曲線的定義得到或；第2步，抓住其中的一個內角（比較多的為）運用余弦定理得；由上述2步可以求出或的值，如果要求焦點三角形的面積或題中有焦點三角形的面積這個條件，則再用第3步，用三角形面積的正弦定理．同學們請注意，當為直角三角形時，余弦定理和正弦定理都將簡化．只要我們掌握、理解好上述解決焦點三角形問題的基本程式，一般地說，此類圓錐曲線問題就都能比較輕松的解決了．5．等差數列類比到等比數列的規(guī)律類比、推理題在高考中時有出現，這里以等差數列與等比數列的類比為例，分析一下解題是有規(guī)律可循的．例14已知命題：“若數列為等差數列，且，則”，現已知數列為等比數列，且，若類比上述結論，則可以得到_______________．解析：本題同學們自己類比時，絕大多數同學都是錯誤的．究竟結果是怎樣的呢？我們可以先從問題的解決方法上得到結果．設的公比為，則，故，因此．觀察等差數列中與等比數列中的結果，我們就可以歸納出等差數列類比到等比數列的規(guī)律：等差數列中項前的系數轉化為等比數列中項的指數；等差數列中項間的加（或減）轉化為等比數列中項間的乘（或除）；等差數列中的除數轉化為等比數列中的開放數．此外，橢圓與雙曲線、平面圖形到空間立體圖形的類比也都是有一定的規(guī)律可循的．注意模式化解題的道理如同“磨刀不誤砍柴功”，當同學們考試中每解一道題都能順利做出時，你肯定會有一個愉悅的心情，從而考出好成績．三、重視三大解題思想的應用問題是數學的心臟．學習數學很大程度上就是學習解題；而數學思想是解題的靈魂，可以說能否順利解題就取決于數學思想的掌握程度和應用能力．因此，解題學習中，貫穿數學思想的始終應是堅定不移的．數形結合、分類討論、化歸轉化是高考必考的三大數學思想，同學們在解題過程中應特別重視應用能力的培養(yǎng)．1．數形結合所謂數形結合，是一種重要的數學思想方法．它既有數學學科的鮮明特點，又是數學研究的常用方法．其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，在“數”“形”之間互相轉化，使數量關系和空間形式巧妙、和諧地結合起來，并充分利用這種“結合”尋找解題思路，從而巧妙地解決．例15已知函數，若方程有四個不同的實數根，則的取值范圍為（）（A）（30，34）（B）（30，36）（C）（32，34）（D）（32，36）解析：如圖9所示，不妨設，則可知，故；為方程的兩根，則，故．我國著名數學家華羅庚用“數缺形時少直觀，形少數時難入微．”高度概括數形結合思想，但數形結合也不是萬能的，在解題中也會因圖形失真而出錯，因此，同學們作圖時應注意精確度．2．分類討論分類討論思想橫貫高中數學的各個章節(jié)，不僅形式多樣，而且具有很強的綜合性和邏輯性，在中學數學中占有十分重要的地位．把所有研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的，稱之為分類討論思想．當問題中的條件，結論不明確或題意中含或不確定時，就應分類討論．分類討論的原則是不重復、不遺漏．討論的方法是逐類進行，還必須要注意綜合討論的結果，以使解題步驟完整．例16已知中心在原點，離心率為的橢圓的頂點、恰好是雙曲線的左、右焦點，點是橢圓上不同于、的任意一點，則直線、的斜率之積是___________．解析：由題意知、，所以橢圓方程為，設，則，于是．這是絕大多數同學們做該題時的答案，將、默認為長軸的端點，實際上題中并沒有明確，因此，還有一種情況是、為短軸的端點，此時橢圓方程為，．所以本題的