高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案：立體幾何專題訓(xùn)練

8-3（一）高三立體幾何專題訓(xùn)練（十一假期作業(yè)每天4道題）1.如圖,斜三棱柱中,為銳角,底面是以為斜邊的等腰直角三角形,.(1)證明:平面平面;(2)若直線與底面成角為,,求二面角的余弦值.2.如圖,四棱錐的底面是正方形,平面,,點是上的點,且.(1)求證:對任意的,都有;(2)若二面角的大小為,求的值.3.如圖,等腰直角與梯形所在的平面垂直,且,,,,,為中點.

(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.4.如圖，在四棱錐中，

是棱上一點，且，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且平面平面，平面與棱交于點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.5.如圖,三棱柱中,側(cè)面?zhèn)让?,,,為棱的中點,在棱上,面.(1)求證:為的中點;(2)求二面角的余弦值.6.如圖，在等腰梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.(1)求證：平面；(2)點在線段上運動，設(shè)平面與平面二面角的平面角為，試求的取值范圍.7.如圖,在三棱錐中,，底面,，且．(1)若為上一點,且，證明:平面平面．(2)求二面角的余弦值．8.如圖（1），等腰直角三角形的底邊，點在線段上，于，現(xiàn)將沿折起到的位置（如圖（2））.（1）求證：；（2）若，直線與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的正弦值.

8-3（一）高三立體幾何專題訓(xùn)練1.如圖,斜三棱柱中,為銳角,底面是以為斜邊的等腰直角三角形,.(1)證明:平面平面;(2)若直線與底面成角為,,求二面角的余弦值.解：(1)因為,,,所以平面.因為平面,所以平面平面.(2)因為平面,在平面內(nèi)作,垂足為,所以平面.因為底面成角為,所以.因為,,所以平面,所以,四邊形是菱形.因為為銳角,所以,于是是中點.設(shè),以為坐標(biāo)原點,為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,,,,,,,設(shè)是平面的一個法向量,則,即,可以取.設(shè)是平面的一個法向量,則,即,可以取.因為,二面角平面角是鈍角,故二面角的余弦值是.2.如圖,四棱錐的底面是正方形,平面,,點是上的點,且.(1)求證:對任意的,都有;(2)若二面角的大小為,求的值.解析：

(1)證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,

,.,,∴,對任意都成立,即對任意的,都有.(2)顯然是平面的一個法向量,設(shè)平面的法向量為,∵,,∴

,即

,∴,取,則,∴,∵二面角的大小為,∴,∵,∴

.3.如圖,等腰直角與梯形所在的平面垂直,且,,,,,為中點.

(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.解析：(1)在等腰直角中,,又為中點,∴,又平面平面,平面平面,∴平面,故.如圖,連接,在梯形中,,,則,又,∴,且,∴四邊形為平行四邊形,又,∴四邊形為菱形,∴.又,∴平面.(2)如圖,過點作,交于.∵,∴.由(1)知平面,故以點為坐標(biāo)原點,分別以,,所在的直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系.在中,,又,,∴.在梯形中,,,故.,.∴,,,即,.故,,.設(shè)平面的法向量為,由,得,令,則,.∴為平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量為,由,得,令,則,.∴為平面的一個法向量.∴.由圖可知,二面角為銳二面角,故其余弦值等于.4.如圖，在四棱錐中，

是棱上一點，且，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且平面平面，平面與棱交于點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.解析：

（1）在正方形中，,又平面平面,且平面平面，平面.又平面，底面是正方形，又平面平面，平面.又四點共面，且平面平面，又，;

為棱的中點，是棱的中點.是正三角形，；又平面平面平面平面平面.（2）取的中點，以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．設(shè)平面的法向量為，則，，解得令則為平面的一個法向量．設(shè)平面的法向量為，則，，，得，令，則為平面的一個法向量．，由圖知二面角為鈍角，二面角的余弦值為．5.如圖,三棱柱中,側(cè)面?zhèn)让?,,,為棱的中點,在棱上,面.(1)求證:為的中點;(2)求二面角的余弦值.解：(1)連接,因為為正三角形,為棱的中點,所以,從而,又面?zhèn)让?面?zhèn)让?面,所以面.以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,不妨設(shè),則,,,設(shè),則,,因為平面,平面,所以,所以,解得,即,所以為的中點.(2),,,設(shè)平面的法向量為,則即解得令,得,顯然平面的一個法向量為,所以,所以二面角的余弦值為.6.如圖，在等腰梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.(1)求證：平面；(2)點在線段上運動，設(shè)平面與平面二面角的平面角為，試求的取值范圍.解:（1）證明：在梯形中，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴平面平面，平面平面，平面，∴平面

（2）由（1）可建立分別以直線為軸，軸，軸的如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令，則，∴.設(shè)為平面的一個法向量，由，得，取，則，∵是平面的一個法向量，∴.∵，∴當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值，∴7.如圖,在三棱錐中,，底面,，且．(1)若為上一點,且，證明:平面平面．(2)求二面角的余弦值．解析：(1)證明:由底面,得．又,故平面．∵平面,∴平面平面(2)∵,∴,則以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則,．設(shè)是平面的法向量,則,即令,得設(shè)是平面的法向量,則,即令,得．∴,由圖可知,二面角為鈍角,故二面角的余弦值為．8.如圖（1），等腰直角三角形的底邊，點在線段上，于，現(xiàn)將沿折起到的位置（如圖（2））.（1）求證：；（2）若，直線與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的正弦值.解:（1）∵，，，∴平面，又∵平