2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專題突破：專題06 雙變量問題（解析版）

專題06雙變量問題

【方法技巧與總結(jié)】

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

【題型歸納目錄】

題型一：雙變量單調(diào)問題

題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題

題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題

題型四：雙變量不等式:中點(diǎn)型

題型五：雙變量不等式:剪刀模型

題型六：雙變量不等式:主元法

【典例例題】

題型一：雙變量單調(diào)問題

例1.(2022?蘇州三模)已知函數(shù)=,其中aeR.

(I)函數(shù)f(x)的圖象能否與x軸相切？若能，求出實(shí)數(shù)a,若不能，請說明理由；

(II)求最大的整數(shù)a,使得對任意X|WR,x2e(0,+oo),不等式/a+X2)-fa-％)>-2為恒成立.

【解答】解：(I)r(x)=xe*-ax.

假設(shè)函數(shù)/(x)的圖象與x軸相切于點(diǎn)Q,0),

(—了=0

則有

，即

Mbtd-at

2

顯然HO,d=a>0,代入方程8—1)/一￡產(chǎn)=0中得，t-2t+2=0.

...△=Y<0,二方程“一27+2=0無解.

故無論。取何值，函數(shù)f(x)的圖象都不能與x軸相切；

(II)依題意，f(x,+x2)~/(x,-x2)>(x(-x2)-(x,+x2)

<=>f(x]+X2)+(XX+x2)>/(x,-W)+(玉一工2)恒成立.

設(shè)g(x)=/(x)+x，則上式等價(jià)于g(X1+%2)>g(X|，

要使g(%+毛)>-%)對任意占eR，xie(0,+8)恒成立，即使g(x)=(x-l)e*-+x在R上單調(diào)遞增,

g'(x)=xe*-or+L.O在R上恒成立.

,.?g'(I)=e-a+L.O,則“，e+1,

.?./(幻..0在尺上成立的必要條件是：出e+1.

下面證明：當(dāng)〃=3時(shí)，3%+1..0恒成立.

設(shè)h(x)=ex-x-\則h\x)=eA-1,

當(dāng)xvO時(shí)，〃(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，廳(x)>0,

???〃(幻而”=。，即Vxw/?，ex..x+1.

那么，當(dāng)x..O時(shí)，+工，xev-3x+11>2-2x+1=(x-1)20：

當(dāng)x<0時(shí)，ex<\xex-3x+l=x(^v-3+—)>0」.、爐一3工+1..0恒成立.

9x,

因此，。的最大整數(shù)值為3.

例2.(2020秋?龍巖期中)已知函數(shù)g(x)=x-H/tx.

(1)討論g(x)的單調(diào)性；

(2)若。>2,且/'(x)=」-g(x)存在兩個極值點(diǎn)%,%2(%<X2)，證明：，一/(%)>(。-2)(玉一9)?

X

【解答】解：(1)g(x)=x—Hnr的定義域?yàn)?0,+8),^z(x)=l--=—

xx

⑴若4,0,則g'(x)..O,所以g。)在(0,+Q0)單調(diào)遞增；

(〃)若々>0,當(dāng)X￡(0,4)時(shí)，g〈x)v0；

當(dāng)X￡(a,+00)時(shí)，g'(x)>0.

所以g(x)在(0,。)單調(diào)遞減，在(a,KO)單調(diào)遞增；

證明：(2)因?yàn)槿颂幋嬖趦蓚€極值點(diǎn)且。>2,

X2一奴+1

f(x)=-

所以f(x)的兩個極值點(diǎn)百，￡滿足Y-依+1=0，

所以可工2=1，不妨設(shè)不<々，則工2>1，

則小)-〃毛)=_J__]+J—g

司一9

-Inx.-InXi-一2/碎

=-2+a-!----=-2+a-——工

%-工2±_x

人2

%

要證,3)一”6七一2,只需證」-一X2+2/以，<0,

X|一x2X2

設(shè)h(x)=——21nx(x>1),

x

則〃，(幻=一支￡<(),

X

知〃(x)在(1,+oo)單調(diào)遞減，又力(I)=0,

當(dāng)％￡(l,+oo)時(shí)，h(x)<0,故+2/nx,<0,

即/(%)一/3)<〃_2,

%一乙

所以/(%)-/(%)>(。-2)(5-x2).

例3.(2022?遼寧)已知函數(shù)/(3)=(〃+1)桃+加+1?

(1)討論函數(shù)/(幻的單調(diào)性；

(2)設(shè)av-l.如果對任意X，x2G(0,+OO),|/(XI)-/(X2)|..4|XI-I,求。的取值范圍.

【解答】解：(I)/(X)的定義域?yàn)?0，+00)/(x)=+2辦=2k+a+1.

XX

當(dāng)a..O時(shí)，r(x)>0,故f(x)在(0,內(nèi)))單調(diào)遞增；

當(dāng)4,一1時(shí)，廣⑶<0，故/(%)在(0,+oo)單調(diào)遞減：

當(dāng)一1<。<0時(shí)，令r(x)=0,解得x=J-?.

ru)>o；

故f(x)在(0,』^)單調(diào)遞增，在9,內(nèi))單調(diào)遞減.

(II)不妨假設(shè)方.七，而QV—1，由(I)知在(0,+oo)單調(diào)遞減,

從而D石，x2e(0,+oo),|/(X1)-/(X2)|..4|X1-X2|

等價(jià)于D%，x2e(0,+oo),/(Xj)+4X2.,f(xl)+4x,Q)

令g(x)=f(x)+4x,則g<x)=上如+2ax+4

x

①等價(jià)于g(x)在(0,y)單調(diào)遞減，即四+2ax+4?o.

X

―4x—1(21)2以22(2x-l)2

從而“R

2x2+12x2+1

故。的取值范圍為(ro,-2].(12分)

例4.(2020春?平頂山期末)已知函數(shù)/(x)=2/ar+%,m>0.

X

(1)當(dāng)m=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時(shí)，求/(x)的極小值;

(2)討論函數(shù)g(x)=/(x)-x的單調(diào)性;

(3)若加.1,證明：對于任意匕>a>0,八吁"。)<].

b-a

【解答】解：(1)當(dāng)“=e時(shí)，/(x)=2/nx+-,八尤)=與￡，

XX

當(dāng)X時(shí)，ru)<o；x=|w,rw=o；當(dāng)時(shí)，ru)>o.

所以，元=|時(shí),/(X)取得最小值/昌=2加2+2=4-2加2.

22

(八/、6/、,m,2m-x+2x-m-(x-1)+l-m

(2)g(x)=f(x)-x=2bvc+——x(x>0)，g(x)=-------y-l=----------------=-----------;---------

XXXX"X

1m.i2時(shí)，g'(x),,03,g(x)=/(x)—x4在(0,+oo)5單調(diào)遞減.

⑶證明：0<，"l時(shí)，1—〃。0,i-Ji=>o,goiT+^/i7^”一^7^,

X

當(dāng)0VXV1-J1一〃2時(shí),g〈x)vO；當(dāng)1-J1一〃?,,XV1+-加時(shí),g，(x)..0;

當(dāng).1+\Ji-m時(shí)，g'(x),,0.

即Ovmvl時(shí)，g(x)=/(x)—x在(0,1—和［l+VT^,+oo)上單調(diào)遞》必

在［1-在一一,1+Jl—m)上單調(diào)遞增.

由(2)知，當(dāng)機(jī).1時(shí)，g(x)=/(x)-x在(0,+oo)上單調(diào)遞減,

所以，當(dāng)“..1時(shí)，對任意b>Q>0，f(b)-b<f(a)-a,

即對任意。>a>0,/(吁f(a)<i.

b-a

題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題

例5.(2021春?海曙區(qū)校級期中)已知函數(shù)f(x)=」-x+Hnx.

x

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)已知a<9,若f(x)存在兩個極值點(diǎn)為，x2,且王<、,，求幺衛(wèi)2+32的取值范圍.

2X}X2

【解答】解:(I)f(x)的定義域是(0,yo),

令h(x)=-x2+ax-1,△=a2-4.

若-2助2,則△,,(),人(現(xiàn),0恒成立,即尸(x),,0,

則/(%)在(0,4^>)上單調(diào)遞減，

若a>2,令h(x)=0,解得：玉=―—4>0,x2=_￡■>。，

22

〃一J/—4

故x￡(0,---------------)時(shí)，/i(x)<0,即/'(X)<0,

xe(-~~。士)時(shí)，h(x)>0,即fr(x)>0,

〃+Jn~—4

xG(---------------,+oo)時(shí),h(x)<0,f\x)<0,

故f(x)在(0,紇或三)遞減，在(匕應(yīng)三，絲叵工)遞增，在(竺或三，y)遞減，

2222

。<-2時(shí)，令人(幻=0,解得：X)=-~~4<0,々="+&'4<0,

22

故xe(0,+a))時(shí)，h(x)<0,即f\x)<0,f{x}在(0.+0O)遞減，

綜上：a,2時(shí)，/(x)在(0,水?)單調(diào)遞減，

a>2時(shí)，/Xx)在(0,9電三)遞減，在(佇世三，”也三)遞增，在(竺或三，+00)遞減.

2222

(2)若/(x)存在兩個極值點(diǎn)與，x,,且々ex2，

則玉+工2=々，x(x2=l(x2>1),由aV],可得l<w<2,

則2^2+為=2-考-4+(考-與山,,

%!X2X2X2

令g(x)=2-九2——-+(x2——-)//tr(l<x<2),

，/、1C/1、71—X，1+X4.14-X41-X4C7\

g(x)=-x+—+2(x+—)lnx=——-——F2———bix=———(-------+2lnx),

X3x5XjXXl+X

令=~'^-+2lnx，且力(x)與g'(x)在(1,2)上符號一致,

1+x

2一8/+2(1+x4了2(1-%4)2

*(丫)_=

()-(l+x)+—----------------------=--------------

x(l+x4)2x(l+x4)2x

所以〃(x)單調(diào)遞增，所以〃(1)=0,即g'(x)>0,

所以g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)《o,引2-:

故管+等的取值范圍是喧心》

例6.(2021春?江寧區(qū)校級期中)已知函數(shù)f(x)=ar/nr,aeR.

(1)當(dāng)a=l時(shí),

①求/(X)的極值;

m

②若對任意的x..e都有/(外…'e》,m>09求m的最大值；

x

2

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+x2有且只有兩個不同的零點(diǎn)七,”,求證：x}x2>e.

【解答】解：(1)①。=1時(shí)，f(x}=xlnx?f\x)=Inx4-l(x>0),

令ra)>o,解得：x>-,令r(x)<o,解得：o<x<4，

ee

故/(X)在(0,3遞減，在(1，+8)遞增,

ee

故/(X)的極小值是/A=沒有極大值；

ee

m”竺竺

②對任意犬..e都有/(x)…一e"=exlnex,

x

即/(x)../(e，)恒成立，由m>0,故一>0,故

x

由①知f(x)在(L+00)單調(diào)遞增，

—tnin

故x..*,可得0,即功式..根，

X

當(dāng)寸，/(X)的最小值是/(e)=e,故m的最大值是e；

(2)證明：要證司工2>〃，只需證明加(%/)>2即可,

由題意內(nèi)，公是方程欠仇r+d=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根,

alnx+X!=0?消去q

'/x>0,}

alnx、

2+x2=0②

%+1

整理得：/”(X9)=/〃%?土一

WA_i

X2

不妨設(shè)片〉x,,令"五，則/>1,

X2

故只需證明當(dāng)，>1時(shí)，lnt-->2,即證明/，”>也二

r-1r+1

r+i-a-i)a-I)2

設(shè)%?)=%-處3,則〃(。=1一2?>0,

/+1tQ+l)2W+l)2

于是〃?)在(1,”)單調(diào)遞增，從而〃⑺>力(1)=0,

2

故Int>―—―，故x]x2>e.

r+1

例7.(2022?德陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=-|e2、(x-l)e'(aeR).

(1)當(dāng)〃時(shí)，求g(x)=r(x)"r的單調(diào)區(qū)間(廣。)是/(x)的導(dǎo)數(shù));

e

(2)若f(x)有兩個極值點(diǎn)玉、<x2),證明：x,+2x2>3.

【解答】解：(1)當(dāng)時(shí)，f(x)=—-—e2x+(x-\)ex?

e2e

則f\x)=ex-\-ex+ex),

g(x)=-ex+ex,/.g\x)=-ex+e,

顯然/(%)遞減，且爐(1)=0,

故當(dāng)工,1時(shí)，g〈x)..O,%>1時(shí)，g^x)<0?

故g(x)在(F,1)遞增，在(1,物)遞減；

(2)證明：?/f(x)=~e2x+(x-l)ex,

/.f\x)=-ae2x+xex=ex(-aex+x),

由題意知ra)=o有2個不相等的實(shí)數(shù)根，

即四X=x有2個不相等的實(shí)數(shù)根玉，x2,

則〃=土，令nt(x)=—,則m\x)=--,

exexex

令加(x)>0,解得：x<1,令加(x)v0,解得：x>\J

故〃2(x)在(-00,1)遞增，在(1,+8)遞減，

故加(X),,m(1)=-,而x—>8時(shí)，m(x)T0,

e

故。的取值范圍是(0，-].

e

x

故菁+2X2>3u>3<ae'4-2ae"

=3一馬(/i+22)=%-々(e"-&+2),

ex'-e^^』一1

令f=%一9，則/v0，

3v%+2赴o3v--—(d+2),r<0,

e-1

故不等式只要(37)d-2-3>0在fvO時(shí)成立,

令〃⑺=(3-2,一3(t<0),

???"⑺=(2—r)d—2(/<0),〃〃?)=(1—>0,

故〃”)在，v0上單調(diào)遞增，即〃")<"(0)=0,

故〃⑺在，<0上單調(diào)遞減，即〃⑴>"(0)=0,

故原不等式成立.

例8.(2022?潮州二模)已知函數(shù)a，g(x)=x2-ox(6f>0).

(1)討論函數(shù)〃(x)=/(x)+g(x)的極值點(diǎn)；

(2)若石，電(西<W)是方程/(幻-史2+'=0的兩個不同的正實(shí)根，證明：x\+>4a.

XX

【解答】解：(1)h(x)=/(x)+^(x)=/nx+x2-ax(x>0)(a>0),

一、132X2-ax+1

h(x)=—l-2x-a=--------------->

xx

令2/一"+1=0,△=/一8,

當(dāng)0<@2及時(shí)，△,,(),〃(x)..0,無極值點(diǎn)，

當(dāng)〃>2夜時(shí)，令212_以+1=0,解得：x=~―-——-,

4

當(dāng)XW(0,^-8),(4+J/g,+8)時(shí)，〃(X)>O,做工)遞增，

44

a—\[a~-8o+VtT-8H。\、系,甘

xe(--------------,---------------)時(shí)，A(x)<0,〃(x)速減，

44

故〃(X)極大值點(diǎn)是佇五m,極小值點(diǎn)是史五m：

44

綜上：0<凡2播時(shí)，〃(x)無極值點(diǎn)，

a>2立時(shí)，〃(x)極大值點(diǎn)是絲出三，極小值點(diǎn)是"近三；

44

(2)由f(x)—駕+」=/我一^^+工=0,即/nr+==0，

XXXXX

令k(x)=Inx+=(1>0,4>0),

x2

k\x)=--^-=—―,令k\x)=0,得x=y[2a，

xxx

當(dāng)0cxe伍時(shí)，K(x)<0,當(dāng)疝時(shí)，右(幻>0,

.?MQ)在。癡)遞減，在(癡，”)上遞增，

又?.?Z(x)有2個零點(diǎn)，

(疝)<0,B|J/nV2^+—<0.解得：0<a<—>

2a2e

lnx1+==0

且芭，兩式相減得：/礫一祇|=二一二

.axx,

lnx+==0A勺'

-y看

設(shè)Z=受。>1),Int=:一-工,

X%G

X：二卷(1一;)，要證明X；+￥>4〃，

即證明(1+產(chǎn))與2>4a,(l+z2)—(1一"\-)>4a,

Intr

?*?(1+^2)-^r(l-5)>2，

即證明21m2-t2+5vOQ>l),

q(x)=2ltvc-x+—(x>\)?

x

"(x)=_(x_,D<0,

X

.?.q(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞減,

/.q(x)<q(1)=0,

.e.21nx—xH—<0H|1x；+x；>4。.

x

例9.(2022?浙江模擬)已知awR,函數(shù)/(外=/-以+。.

(I)若/(x)..0,求。的取值范圍；

(H)記石，x2(其中xv乂)為/(x)在(。，+°°)上的兩個零點(diǎn)，證明：—^―<%)<—+1.

a-eIna

【解答】解：(1)ff(x)=ex-a,

⑴當(dāng)々=0時(shí)，/Xx)>0,/*)在R上遞增，

又/(幻=">0,故4=0符合題意，

⑺當(dāng)〃>0時(shí)，/(X)在(YO,癡0遞減，在(/w,+oo)遞增，

/.f(lna)=elna-alna+〃..()，故加一alna..0，

又。>0,

:.2-lna.0,解得:0<“，/,

(訪)當(dāng)"0時(shí)，/(工)>0,/⑴在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)x->—8時(shí)，，-0,-ax+a->-oo,

/./(x)->-co,不符合題意，

綜上：0領(lǐng)he1.

(2)證明：令/(x)=0,則〃=—一(尤>0且xwl),

x-1

記p(x)=~~^x>0且％。1)，由于"(x)=~~yr"，

故尸⑴在(0,1)和(1,2)匕遞減,在(2收)上遞增,

且當(dāng)X->0+時(shí)，p(x)—>-1,當(dāng)X-「時(shí)，P(九)一>-O0,當(dāng)X-1+時(shí)，p(x)->+00,當(dāng)X->+8時(shí)，p(x)f”,

1

根據(jù)題意可知，a>e,H1<%]<2<x2,

先證，_<玉，即證(為一1)。>6不，即證八〉6%,顯然成立；

a-e

7

再證X<——+1,

Ina

,：%>1,lna>0,

2

只需證,〃<----,

玉-1

,:。(工]-1)=e*,

Ina=\-Zn(X1-1)，

21?

/.只需證％—ln(x-1)<----,即證In-----<------%,

lX]—1Xj—1Xj—1

又In—!—?—---1,

%1—1%—1

1o1

二.只需證------1<------%，亦即%一1<-----,BP(%)-1)2<1,

%-1%!—1X1-1

由⑴知，1<AJ<2,

.,.0<XJ-1<1,故(3-1)2<1,即得證.

題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題

例10.(2021春?溫州期中)已知函數(shù)/(x)=/nr-L(ar-L).

2x

(1)若a=l,證明：當(dāng)Ovxvl時(shí)，f(x)>0；當(dāng)％>1時(shí)，/(x)<0.

(2)若存在兩個極值點(diǎn)斗，x2,證明：/(XJ7(X2)<1Z￡.

-x22

【解答】證明：(1)當(dāng)。=1時(shí)，f(x)=lnx--(x--),定義域?yàn)閧x|x>0},

2x

ra)2」」=一(x〉,“o在定義域上恒成立，

x22x~2x2

所以/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)>f(1)=0，

當(dāng)x>l時(shí)，/(%)<f(1)=0，原命題得證.

/c、/，/、]]/,]、—ax"+2x—1

⑵八幻=75("7)=-^

若存在兩個極值點(diǎn)，則，八，解得0<°<1，

[△=4-4。>0

71

由韋達(dá)定理可知，x+w=—,玉/=—(*),

aa

〃、\(/叫一/5)一:〃(X|一工2)+)(^/711

/(x)-/(x)_22%Ix_lnx-lnx11

l<2—2——x2ci

%1-x,X|-%2X|-%222石,

原命題即證：的一/%--

x}-X22XIX22

不妨設(shè)司>々，原命題即證：/〃土-±二土<土二五，

x22%吃2

由(*)知，-+—=2,即證：力五一土注〈三二三?(」-+」一),不妨令r=%>l,

x2%石+尤222xt2X2x,

原命題即證：/加一上口一工+，<(),記以，)=/〃/一上］一工+」-,(r>l)

r+144rr+144f

tQ+l)244*4」《+l)2

當(dāng)，>1時(shí)，g'(f)<0,g⑺在(1,+8)上單調(diào)遞減，

g(f)<g(1)=0?原命題得證?

例11.(2021春?浙江期中)已知函數(shù)f(x)=4—x+a底.

X

(1)當(dāng)“=0時(shí)，求函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程；

(2)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)若/*)存在兩個極值點(diǎn)王，x,,證明：如)二"苞)<“_2.

再一々

【解答】(1)解：因?yàn)?(x)=4-x+Hnr(x>0),

X

-f+QX—1

則/(%)=

當(dāng)a=0時(shí)，=

x

所以/'(1)=-2,

則/(x)在(1,0)處的切線方程為y=-2x+2；

(2)解：函數(shù)的定義域?yàn)?0,+oo),且八用=一_+產(chǎn)7，

X-

令g(x)=-d+OX-1，且g(0)=-l,

①當(dāng)小。時(shí),g(x)<0恒成立，此時(shí)尸(x)<0,則/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減：

②當(dāng)a>0時(shí).，判別式△=/-4,

⑺當(dāng)0<4,2時(shí)，A?0,即g(x),,0,所以f(x),,0恒成立，此時(shí)函數(shù)“X)在(0,”)上單調(diào)遞減；

(n)當(dāng)a>2時(shí),令g(x)>0,解得-勺<犬<一]，

令g(x)<0,解得0<x<"一"一、或x>"+"-，,

22

所以f(x)在(@二4三，"+"2—4)上單調(diào)遞增,在?空考三)和(竺*三，y)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)4,2時(shí)，,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>2時(shí)，/(x)在k'A,“+，[-4)上單調(diào)遞增，在(0/7'4)和(a+J；-4,田)上單調(diào)

遞減.

(3)證明：由(2)可知，a>2>0<Xj<1<,%/=1,

則/(x,)-/(x2)=--x1-\-alnx}-[―-4-alnx2]

%X2

=(九2-％)(1+~)+a(J曲i-Inx,)

NZ

=2(%—%)+a^bixx—/5)，

則/(X)一/(F)=2i/5),

X1-x2百一x2

故問題轉(zhuǎn)化為證明啊二也<1即可，

玉一工2

即證明lnxx-Inx^>x]-x2?則/叫一/〃,>玉一,‘

即證加X1+/3>斗---，即證2/g>x}----在(0,1)上恒成立，

令/z(x)=2lnx—x+—(0<x<l)>其中〃(1)=0?

x

XXXX

故〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

則h(x)>h(1),即21nx-x+—>0?

x

故2lnx>x~—?

x

所以/(Xj_/a2)<q_2.

七一W

例12.(2021秋?武漢月考)已知函數(shù)/(工)=伍￥+￡犬2-(Q+DXMCR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)為，工2(。〈西<X2)是函數(shù)g(X)=/(X)+X的兩個極值點(diǎn)，證明：8區(qū))一8(工2)〈〉歷。恒成立,

【解答】解：(1)/(X)的定義域?yàn)?0,+oo)，

1ax2-(a+l)x+l(x-l)(ar-l)

j(x)=—+ax-(a+V)=-------------=------------，

xxx

①當(dāng)《,0時(shí)，令r(x)>0,得Ovxvl,

令r(x)<o,得工>1,

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+00)上單調(diào)遞減，

②當(dāng)Ovavl時(shí)，令/(%)>0,得Ovxvl或,

a

令/7(x)<0,得1<無<，,

a

所以/(X)在(0,1),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(1,3上單調(diào)遞減，

aa

③當(dāng)a=l時(shí)，則尸(x)..O,

所以/(%)在(0,+oo)上/(%)單調(diào)遞增，

④當(dāng)a>l時(shí)，令/'(x)>0,得0cx或x>l,

a

r(x)>o,得Lx<i,

a

所以/(x)在(0」)，(1,go)上單調(diào)遞增，在d，1)上單調(diào)遞減，

aa

綜上所述，當(dāng)4,0時(shí)，在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,物)上單調(diào)遞減,

當(dāng)0<a<l時(shí)，/(x)在(0,1),(-,+oo)上單調(diào)遞增，在(1」)上單調(diào)遞減，

aa

當(dāng)a=l時(shí)，f(x)在(0,y)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>l時(shí)，f(x)在(0-)，(1,+oo)上單調(diào)遞增，在(L1)上單調(diào)遞減.

aa

(2)證明：g(x)=f(x)+x=bvc+^x2-ax則g(x)的定義域?yàn)?0,xo),

，/、1ax2-ax+l

g(x)=_+ar_a=---------，

xx

若gW有兩個極值點(diǎn)玉，x2(0<jq<%)，

則方程ar?-ar+1=0的判別式△=/-4。>0,且％+々=1，匕W=—>0?

a

解得a>4,又0<%<工2，所以工；〈不占=!，HP0<Xj<-j=?

+x

所以g(xy)-g(x2)=lnx1~^-ax[-lnx2~~2+3

3

=lnx}-ln-^--c—{xx+工2)(玉-x2)-a(x1-x2)

ax{2

=Inx、+/〃(辦?)-學(xué)2玉-1)

=lnx{+)+--ax^

設(shè)h(t)=Int+bi(at)+2一G,其中f=，a>4.

2

772

由"⑺=4—。=0,解得f=士，又士—<0,

taa

所以人⑴在區(qū)間(0,-)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,

內(nèi)單調(diào)遞減,

即h(t)的最大值為ft(-)=2ln2-Ina+--2<--Ina,

a22

所以g(X)—g*2)<￡—妨a恒成立.

題型四：雙變量不等式:中點(diǎn)型

例13.(2022?呼和浩特二模)已知函數(shù)/(幻=圓-加+(2-〃)x.

①討論f(x)的單調(diào)性；

②設(shè)a>0,證明：當(dāng)0<X<,時(shí)，/(—4-x)>/(--x)；

aaa

③函數(shù)y=/(x)的圖象與X軸相交于A、B兩點(diǎn),線段45中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為飛,證明/(天))<0.

【解答】解：①函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,收)，

『,/、1c小、(2x+l)(ar-l)

f(x)=—2.CIX+(2-ci)=--------------,

xx

。)當(dāng)a>0時(shí)，則由尸(x)=0,得*=l，

a

當(dāng)xw(O」)時(shí)，/,(x)>0,當(dāng)xed，+8)時(shí)，f'(x)<0,

aa

.?./。)在(0」)單調(diào)遞增，在d，+8)上單調(diào)遞減；

aa

(ii)當(dāng)&0時(shí)，f(%)>0恒成立,

.?./(X)在(0,zo)單調(diào)遞增；

②設(shè)函數(shù)g(x)=/(-+x)—/(--x),

aa

則g(x)-[/?(—+x)—a(—+x)2+(2-a)(—+x)]-[ln(--x)-a(--x)24-(2-a)(--x)]=//?(1+ax)-ln(\-ax)-lax,

aaaaaa

,aa2a'J

g(x)=E匚晟一2叫匚市

當(dāng)xe(O」)時(shí)，g(x)>0,而g(0)=0,

a

.,.g(x)>g(O)=O，

故當(dāng)0<x<—時(shí)，/(—+x)>/(--x)；

aaa

③由①可得，當(dāng)心0時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸至多有一個交點(diǎn),

故a>o,從而f(x)的最大值為/己)，且/d)>o，

aa

不妨設(shè)A(芭，0),8*2，0)，0<x,<x2,則0cxe

由②得，/(--X)=/(-+--^)>/(X)=/(A)=0,

aIaa12

又/(X)在d，+8)上單調(diào)遞減，

a

2工.日芭+為1

..——x<x于是天,二-5--->—,

a]22a

由①知，f'(x?)<0.

例14.(2021秋?山西期末)已知函數(shù)f(x)=2x+(l-2a)lnx+-.

X

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)如果方程/(x)=加有兩個不相等的解否，x2,且與<當(dāng)，證明：尸(土產(chǎn))>0.

【解答】解：(1)r(x)=2+-3=2廠+(1;2a)xa=(x4)(2、+1)(.>。),

XXTXX

①當(dāng)4,0時(shí)，xe(0,+oo),f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

②當(dāng)a>0時(shí)，xe(0,a),/,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

xe(a,+oo),f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)4,0時(shí)，f(x)在(0,丑o)單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,a)單調(diào)遞減，在(a,go)單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，當(dāng)&0時(shí)，/(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，f(x)=m至多一個根，不符合題意；

當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,a)單調(diào)遞減,在(a,M)單調(diào)遞增,則4(a)=0.

不妨設(shè)0"<”工2，

要證/'(三土衛(wèi))>0,即證與三>a,即證七+蜀>2,即證w>2a-x-

因?yàn)?&)在(〃,”)單調(diào)遞增，BPiiEf^)>f(2a-Xj),

因?yàn)?(尤2)=/(%)，所以即證/(西)>/(2a—耳)，即證/(a+K)v/(a-x)，

令g(x)=/(a+x)-/(〃-x)=[2(。+x)+(1-2a)ln(a+x)4———]-[2(a-x)+(l-2a)ln(a-x)+——]

a+xa-x

=4x+(l-2a)ln(a+x)-(l-2a)ln(a-x)+----------?

a+xa-x

，,,1-2^z\-2aaa

g(x)=4+-----+-------------7-------7

a+xa-x(a+x)(a-x)~

4+2。(1—2a)2a(礦+x~)4x2(x--ci~-ci)

a2-x2(a+x)2(a-x)2(a-^-x)2(a-x)2

當(dāng)xw(O,a),時(shí)，，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，Xg(0)=f(a+0)-f(a-0)=0,

所以x￡(O,a),時(shí)，g(x)<g(O)=O,BPf(a+x)<f(a-x),

即/。)>/(2。一次)，

又不￡(0,a),所以/(N)>/(2a-X1),所以/('；>)>().

例15.(2022?沙坪壩區(qū)校級開學(xué))已知函數(shù)/(x)=f—2ar+2//ir(4>0).

(1)討論函數(shù)/。)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=/RT-bx-C/,若函數(shù)/(外的兩個極值點(diǎn)X,天(與〈W)恰為函數(shù)g(x)的兩個零點(diǎn)，且

y=a-馬爾(土也)的取值范圍是,+00),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：(1)函數(shù)/(x)=V-2a￥+2/〃x(a>0)的定義域?yàn)?0,+oo),

o丫？_nx?1

又/'(x)=2x-2。+—=2--------(。>0,x>0),

XX

對于方程x2-ar4-1=0,△=ez2-4(a>0),

①若△=6—4,,0,即Ova,2時(shí),則廣(x)..O恒成立,

所以在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

②若△=°2—4>0,即a>2時(shí)，令/(x)=0,解得x—,或―+彳…,

當(dāng)xe(0,紇斗三)和(竺岑三，+8)時(shí)，f'(x)>0,

當(dāng)xe(空]三，小"4)時(shí)，尸(幻<0,

所以f(x)在(0,空當(dāng)三)和("+^^,+oo)上單調(diào)遞增，

.ci—\lci"—4a+，c廠—4、?

在(---------，----------)上單調(diào)遞減.

22

綜上所述，當(dāng)0<%2時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,”)，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)〃>2時(shí)，/'(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,右沖二A和(亞;二4,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(竺咚二±

a+y/a2-4

-2)；

(2)由(1)可知，當(dāng)〃>2時(shí)，xK+x2=a,x]x2=1(^<x2),

又g'(x)=——b-2cx(x>0),

x

故g，('：%)=----b-c(xx+x2),

2Xj+x2

由ga)=g(>2)=。，

lnx-bX[_cx)2=0

可得]

lnx2-hx2-cx^=0

兩式相減，可彳？/〃」=Z?(X—工2)+C(X；—石),

2(^-1)

所以y=a-W)g'("^)=2(4一々)2(西一々)一/〃五=」-----/〃土,

-b(xt-x2)-c(x^-Xj)=

X1+x2Xj4-^2々J[*2

Y

令」=飛(0,1),

%

所以y="二

r+1

則”土14<o,

?f+l)2

所以y=絲二2一而在(0,1)上單調(diào)遞減，

F+1

由y的取值范圍為[加3-1,+oo),可得，的取值范圍為(0,g],

2

所以〃2=(內(nèi)+x2)=—+—4-2=r+-+2G[—,4-00),

x2Xjt3

又因?yàn)閍>2,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是P?,+oo).

題型五：雙變量不等式:剪刀模型

例16.(2022?日照一模)已知函數(shù)/(x)=(x+b)(e2'—a)(b>0)在點(diǎn)(_3,/(_J)處的切線方程為

€—\

(e-l)x+ey+—=0?

(1)求。，b；

(2)函數(shù)/(x)圖象與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為P,且在點(diǎn)P處的切線方程為y=Kx),函數(shù)尸(x)=/(x)-h(x),

xeR，求尸(x)的最小值；

(3)關(guān)于元的方程/(%)=m有兩個實(shí)數(shù)根西，方，且工]<為，證明：%—%，，1+2m——?

2l-e

【解答】解：(1)將、=一,代入切線方程(e—l)x+ey+q=0中，得y=0,

所以/(—-)=0,又f(_■-)=(/>——)(——a)=0,解得b=—i&a=—,

222e2e

又r(x)=e2，(2x+2ft+l)_a,所以,