2023年（全國(guó)乙卷）理科數(shù)學(xué)模擬試卷十一（學(xué)生版+解析版）

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2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷■+

(全國(guó)乙卷?理科)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)—二三總分

得分

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

評(píng)卷人得分

一、單選題(本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小

題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1.設(shè)集合4={1,2,3},B={x€Z|-2cx<3},則4UB=()

A.{1}B.{1,2}C.[0,1,2,3}D.{-1,04,2,3)

2.若復(fù)數(shù)z=(l+i)(2-i),則復(fù)數(shù)z的虛部為().

A.3B.-3C.1D.i

3.已知等差數(shù)列{冊(cè)}的公差為2,若的,。3,成等比數(shù)列，則。2=()

A.-4B.—6C.-8D.-10

4.已知a,bER,滿足abV0,Q+b>0,a>b,貝!J()

A.B.-+7>0C.a2>b2D.a<網(wǎng)

abab11

5.中國(guó)古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才能：禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)，某校國(guó)學(xué)社

團(tuán)周末開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng)，每天連排六節(jié)，每藝一節(jié)，排課有如下要求：

“禮”和“數(shù)”不能相鄰，“射”和“樂(lè)”必須相鄰，則“六藝”課程講座不同的

排課順序共有()

A.24種B.72種C.96種D.144種

6.在△4BG中，已知a=11,b=20,A=130°,則此三角形()

A.無(wú)解B.只有一解

C.有兩解D.解的個(gè)數(shù)不確定

7.已知x>0,yER,(%-y)2+(%2-Inx+2-丫產(chǎn)的最小值為()

16

A.V2B.2C.延D.

33

8.在足球比賽中，球員在對(duì)方球門前的不同的位置起腳射門對(duì)球門的威脅是不同的，

出球點(diǎn)對(duì)球門的張角越大，射門的命中率就越高.如圖為室內(nèi)5人制足球場(chǎng)示意圖，

設(shè)球場(chǎng)（矩形）長(zhǎng)BC大約為40米，寬4B大約為20米，球門長(zhǎng)PQ大約為4米.在某場(chǎng)比

賽中有一位球員欲在邊線BC上某點(diǎn)M處射門（假設(shè)球貼地直線運(yùn)行），為使得張角

4PMQ最大，則BM大約為（精確至打米）（）

D

A

Q

P

BMC

A.8米B.9米C.10米D.11米

9.已知產(chǎn)是拋物線/=4y的焦點(diǎn)，直線y=kx-1與該拋物線交于第一象限內(nèi)的兩點(diǎn)

A,B,若|AF|=4|FB|,貝麟的值是（)

A.B.7V2C包口.這

4443

10.已知％6（1,2）,則下列說(shuō)法正確的是（)

A.ln22X>21n2x>x2ln2B.x2ln2>11122*>21n2x

C.21n2*>x2ln2>ln22XD.21n2x>ln22X>x2ln2

11.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

①線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱；

②已知隨機(jī)變量f?N（0R2）,若p（f>2）=0.023.則P（-2<f<2）=0.954；

③以模型、=。6依去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny,將其變換

后得到線性方程z=0.3x+4,則c,k的值分別是和0.3；

④在線性回歸模型中，計(jì)算其決定系數(shù)/?2=0.96,則可以理解為：解釋變量對(duì)預(yù)

報(bào)變量的貢獻(xiàn)率約為0.96；

⑤甲、乙、丙、丁4個(gè)人到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件4=“4個(gè)人

去的景點(diǎn)各不相同"，事件B="甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P（A|B）=|.

A.2B.3C.4D.5

12.已知函數(shù)/(x)=?n("+l)d°,函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

\—x?e,%<u乙

A.4B.3C.2D.1

評(píng)卷人得分

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知平面向量2=(4,-3),K=(-x,2).若五工石，則實(shí)數(shù)x=.

14.等比數(shù)列｛a“｝中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為.

15.關(guān)于旋轉(zhuǎn)體的體積，有如下的古爾丁(g^din)定理：“平J

面上一區(qū)域。繞區(qū)域外一直線(區(qū)域。的每個(gè)點(diǎn)在直線的同/

側(cè)，含直線上)旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，等于。的面—"

積與。的幾何中心(也稱為重心)所經(jīng)過(guò)的落程的乘積”.利qI

用這一定理，可求得半圓盤22上141,繞直線％=白旋

轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖形的體積為

16.在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若/+c2=4bcsinQ4+勺,

o

則tanA+tanB+tanC的最小值是.

評(píng)卷人得分三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

(-)必考題：共60分

17.在△4BC中，AC=V10,CD平分乙4cB交AB于點(diǎn)D,已知CD=夜，乙BDC=*

(1)求AD；

(2)求案.

B

18.在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD-&B1C1。］中，E,F分別為CD的中點(diǎn).

⑴求|而

(2)求直線EC與4F所成角的余弦值;

(3)求二面角E-AF-B的余弦值.

19.某校開(kāi)展“學(xué)習(xí)新中國(guó)史”的主題學(xué)習(xí)活動(dòng),為了調(diào)查學(xué)生對(duì)新中國(guó)史的了解情況,

需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行答題測(cè)試，答題測(cè)試的規(guī)則如下：每位參與測(cè)試的學(xué)生最多有兩次

答題機(jī)會(huì)，每次答一題，第一次答對(duì)，答題測(cè)試過(guò)關(guān)，得5分，停止答題測(cè)試;第一

次答錯(cuò)，繼續(xù)第二次答題，若答對(duì)，答題測(cè)試過(guò)關(guān)，得3分;若兩次均答錯(cuò)，答題測(cè)

試不過(guò)關(guān)，得0分.某班有12位學(xué)生參與答題測(cè)試，假設(shè)每位學(xué)生第一次和第二次答

題答對(duì)的概率分別為m,0.5,兩次答題是否答對(duì)互不影響，每位學(xué)生答題測(cè)試過(guò)關(guān)

的概率為p.

(1)若m=0.5,求每一位參與答題測(cè)試的學(xué)生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)該班恰有9人答題測(cè)試過(guò)關(guān)的概率為f(p),當(dāng)f(p)取最大值時(shí)，求p,m.

20.已知斜率為1的直線交拋物線C：y2=2px(p>0)于A,B兩點(diǎn)，且弦4B中點(diǎn)的縱坐

標(biāo)為2.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記點(diǎn)P(l,2),過(guò)點(diǎn)P作兩條直線PM,PN分別交拋物線C于M,N(M,N不同于點(diǎn)P)

兩點(diǎn)，且NMPN的平分線與y軸垂直，求證：直線MN的斜率為定值.

21.已知函數(shù)/'⑶=3工-"+x,其中aeR且a力0.

(1)設(shè)a>0,過(guò)點(diǎn)4(-1,-手作曲線C:y=/(x)的切線(斜率存在)，求切線的斜率,

(2)證明：當(dāng)a=l或0<a《：時(shí)，/(%)>|ax(x>-1)

(二)選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做.則按所做

的第一題計(jì)分.

［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

(%=-1+.cosa

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為｛,(a為參數(shù))，以原點(diǎn)。

y=丁+sina

\2

為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo).

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)在極坐標(biāo)系中，M,N是曲線C上的兩點(diǎn)，若4MON=g,求|OM|+|ON|的最大

值.

［選修4—5:不等式選講］

23.已知函數(shù)f(x)=。-1］.

(I)求不等式f(x)>3-2|x|的解集；

(H)若函數(shù)g(x)=/(x)+|x-5|的最小值為m,正數(shù)a,b滿足a+b=m.求證：￡+

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷寸

(全國(guó)乙卷?理科)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)一二三總分

得分

注意事項(xiàng)：

1.'答卷普，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

評(píng)卷人得分

一、單選題(本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

24.設(shè)集合4={1,2,3},B={xeZ\-2<x<3},則4UB=()

A.{1}B.{1,2}C.[0,1,2,3}D.{-1,04,2,3)

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查集合的交集及運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

【解答】

解：4={1,2,3},B={-1,0,1,2),所以ZUB={-1,0,1,2,3}.

故選D.

25.若復(fù)數(shù)z=(l+i)(2—i),則復(fù)數(shù)z的虛部為().

A.3B.-3C.1D.i

【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查復(fù)數(shù)的概念的應(yīng)用，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合虛部的定義進(jìn)行求解即可.

【解答】

解：因?yàn)閦=(l+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,

所以z的虛部為1.

故選C.

26.已知等差數(shù)列｛即｝的公差為2,若的,。3,。4成等比數(shù)列，則。2=()

A.-4B.-6C.-8D.-10

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì).

利用已知條件列出關(guān)于的的方程，求出內(nèi),代入通項(xiàng)公式即可求得@2.

【解答】

解：V。4=+6,。3=+4，且@1，。3，。4成等比數(shù)列，

即(％+4)2=QiX(Q]+6),

解得的=-8,

+2=—6.

故選：B.

27.已知a,bER,滿足Q/JV0,a4-b>0,a>b,貝ij()

A.工<：B.-+r>0C.a2>b2D.a<\b\

abab11

【答案】c

【解析】

【分析】

本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

由不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即UJ.

【解答】

解：由ab<0,a+b>0,a>b,可得a>0>b,|a|>|b|,

所以2>0>:，故A錯(cuò)誤；

ab

由ab<0,可得T<0,汴0,則%汴0，故B錯(cuò)誤;

由|a|>|川，可得。2>爐，a>|b|,故C正確，D錯(cuò)誤.

故答案選：C.

28.中國(guó)古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才能：禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)，某校國(guó)學(xué)社團(tuán)周

末開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng)，每天連排六節(jié)，每藝一節(jié)，排課有如下要求：“禮”和

“數(shù)”不能相鄰，“射”和“樂(lè)”必須相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有

()

A.24種B.72種C.96種D.144種

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，“射”和“樂(lè)”必須相鄰，把它們看成一個(gè)整體與“御”“書(shū)”排列,然后將“禮”

和“數(shù)”插空，即可求解.

【解答】

解：先將“射”和“樂(lè)”排列，有鹿種，

要滿足“射”和“樂(lè)”必須相鄰，把它們看成一個(gè)元素與“御”“書(shū)”排列共有用種，

然后將“禮”和“數(shù)”插入4空，共用種，

綜上：共有的xA|xA1=144種.

故選D.

29.在△ABG中，已知a=11,b=20,A=130°,則此三角形()

A.無(wú)解B.只有一解

C.有兩解D.解的個(gè)數(shù)不確定

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查三角形的解的情況的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

利用三角形的邊角關(guān)系，直接判斷即可.

【解答】

解：???a<b,二A<B,又「4=130。，

一個(gè)三角形中不可能存在兩個(gè)鈍角，

故此三角形無(wú)解.

故選A.

30.已知x>0,yER,(x—y)2+(%2—|nx+2—y)2的最小值為()

A.V2B.2C.D.v

33

【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)的最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

記_|nx+2)是函數(shù)/'(X)=x2-Inx+2圖象上的點(diǎn)，B(y,y)是函數(shù)y=x上的點(diǎn)，

則\AB\2=(x-y)2+(x2-Inx+2-y)2.當(dāng)與直線y=x平行且.與/'(x)的圖象相切時(shí)，

切點(diǎn)到直線y=x的距離為|4B|的最小值，即可求解.

【解答】

解：記4(x,x2—Inx+2)是函數(shù)/(x)=x2-Inx+2圖象上的點(diǎn)，8(y,y)是函數(shù)y=x上的點(diǎn),

貝=(x—y)2+(x2-Inx+2-y)2,

當(dāng)與直線y=x平行且與f(x)的圖象相切時(shí)，切點(diǎn)到直線y=x的距離為|4B|的最小值，

令/'(X)=2x-：=1,解得x=1或x=-：(舍去)，又/'(1)=3,

所以切點(diǎn)C(l,3)到直線y=x的距離為|48|的最小值，|48|疝?=V2.\AB\^in=2.

故選B.

31.在足球比賽中，球員在對(duì)方球門前的不同的位置起腳射門對(duì)球門的威脅是不同的，出球

點(diǎn)對(duì)球門的張角越大，射門的命中率就越高.如圖為室內(nèi)5人制足球場(chǎng)示意圖，設(shè)球場(chǎng)(矩

形)長(zhǎng)BC大約為40米，寬2B大約為20米，球門長(zhǎng)PQ大約為4米.在某場(chǎng)比賽中有一位球

員欲在邊線BC上某點(diǎn)M處射門(假設(shè)球貼地直線運(yùn)行)，為使得張角NPMQ最大，則BM大

D

A

Q

P

DMC

約為(精確到1米)()

A.8米B.9米C.10米D.11米

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查解三角形問(wèn)題的應(yīng)用舉例問(wèn)題，同時(shí)考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

設(shè)=分別用x表示出tan4PM8,tan“MB,然后將"MQ的正切表示出來(lái)，利用基

本不等式求出tan"MQ取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值即可.

【解答】

解：設(shè)4PMB=a,乙QMB=0,BM=x,

則mitana=—20—4=)8tan0=—20+412

X

12_8

4x

則tanz_PMQ=tan(^5—a)=與44_V6

X2+96一一一五'

XX,2yl5XT

當(dāng)且僅當(dāng)*=自，即8網(wǎng)=工=4而210時(shí)取等號(hào).

故選：C.

32.已知F是拋物線為2=4y的焦點(diǎn)，直線y=kx-1與該拋物線交于第一象限內(nèi)的兩點(diǎn)4

B,若［4F|=4|FB|,則k的值是()

A.B.:魚(yú)C.叵D.2

4443

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與拋物線的幾何性質(zhì)，也考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，屬

于中檔題.

根據(jù)拋物線方程求出準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的定義表示出|4用與尸引，再利用直

線與拋物線方程組成方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出k的值即可.

【解答】

解：???拋物線方程為/=4y,

p=2,準(zhǔn)線方程為y=-l,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,l)：

設(shè)點(diǎn)y",B(x2,y2),

則的=yi+l.\FB\=y2+l,

???\AF\=4\FB\,

???+1=4(y2+1)>即%=4y2+3；

聯(lián)立方程組仁1消去，得V+(2-4k2)y+1=0,

2

由根與系數(shù)的關(guān)系得當(dāng)+y2=4k-2,月4=(2-4k2)2_4>0,

即(4丫2+3)+丫2=4k2—2,

解得乃=(/一1；

代入直線方程y=kx-1中，得工2=gk，

再把小、丫2代入拋物線方程/=4y中，

得熱2=當(dāng)右_%

解得k或k=-：(不符合題意，舍去)，

所以k=),

4

故選A.

33.已知xe(l,2),則下列說(shuō)法正確的是()

A.In22%>21n2*>x2ln2B.x2ln2>ln22%>21n2*

C.21n2*>x2ln2>ln22%D.21n2x>ln22X>x2ln2

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查比較大小，考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

由題意得到比較2.，(2,2,22*的大小關(guān)系即可.利用對(duì)數(shù)，指數(shù)函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較

即可.

【解答】

解：vx2ln2=ln2x2.2/n2x=ln(2x)2,

???比較2.，(2工)2,22、的大小關(guān)系即可.

1、當(dāng)xG(1,2)時(shí)，x2<2X,x2<2x,故<22*,2/<(2X)2-故/]n2<\n22X,x2ln2<

2ln2x.

2、令2x=te(2,4),則(2、)2=/，22*=2t

由2t<t2,即22、<(2與2,則>ln22”.

綜上,21n2x>ln22X>x2ln2.

故選：D.

34.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()

①線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱；

②已知隨機(jī)變量f?N(0R2),若p(j>2)=0.023.則P(-2<f<2)=0.954；

③以模型y=ce-去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny,將其變換后得

到線性方程z=0.3%+4,則c,k的值分別是e4和0.3；

④在線性回歸模型中，計(jì)算其決定系數(shù)R2=0.96,則可以理解為：解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變

量的貢獻(xiàn)率約為0.96；

⑤甲、乙、丙、丁.4個(gè)人到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件4="4個(gè)人去的

景點(diǎn)各不相同"，事件8="甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，貝加(*8)=也

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查線性相關(guān)系數(shù)、正態(tài)分布、回歸方程、決定系數(shù)以及條件概率的綜合題目，屬于基

礎(chǔ)題.

根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)判斷①；根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)判斷②；根據(jù)回歸方程判斷③；根據(jù)決定系

數(shù)判斷④；根據(jù)條件概率求出⑤.

【解答】

解：根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1,兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng);反之，線性相關(guān)性

越弱，判斷①錯(cuò)誤；

因?yàn)殡S機(jī)變量X?N(0,C2)9>0),所以正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為X=0,

若>2)=0.023.則Pg<2)=0.5-0.023=0.477,根據(jù)對(duì)稱性可得P(-2<f<2)=

0.477x2=0.954,故②正確；

因?yàn)閦=Iny=Inc+kx,因?yàn)樽儞Q后得到線性方程z=0.3x+4,所以k=0.3,Inc=4,

即k=0.3,c=e4,故③正確.

在線性回歸模型中，計(jì)算其決定系數(shù)R2=0.96,則可以理解為：解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量的貢

獻(xiàn)率約為0.96,故④正確；

甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，有4個(gè)景點(diǎn)可選，則其余3人只能在甲剩下的3個(gè)景點(diǎn)中選擇，所以甲獨(dú)

自去一個(gè)景點(diǎn)的可能性為4x33=108種，

因?yàn)?個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的可能性為4x3x2X1=24種，所以P(/l|8)=言=*故⑤正

確.

故選：C.

35.已知函數(shù)/(X)=2°,函數(shù)g(x)=f(/(x))—衰點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)的概念與性質(zhì)、函數(shù)與方程以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，屬于難題.

【解答】

解：①x20時(shí)，/(4)=111(矛+1)(#30)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/(*》lnl=0，

(2)x<0時(shí)，因?yàn)?(%)=—xex(x<0),f'(x)=-(ex+xex)=—(1+x)ex,(x<0),

所以/(X)在(一8,-1)上單調(diào)遞增，(一1,0)上單調(diào)遞減，

故/(x)nuu:=；：

因?yàn)閂xeR,靖>0,若》<0,則/'(%)=-xex>0,/(-I)=%/(0)=0,故/(x)在R上

的值域?yàn)椋?,+8),

要求函數(shù)g(x)=f(/(x))-g的零點(diǎn)，即求令函數(shù)g(%)=/(/(x))-1=0的x的值，

令/(x)=3t>0,所以即解/(t)=

當(dāng)tNO時(shí)，f(t)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以/(t)=［僅有一解，

即1D0+1)=:，t=迎一1,所以/(X)=V^—1,

當(dāng)x<0時(shí)，，fMmax=/(-1)=i<Ve-l,所以當(dāng)x<0時(shí)無(wú)解，

當(dāng)x20時(shí)，/(%)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f(x)=正—1僅有一解，

即9。)==。僅有一解，

綜上，函數(shù)9。)=/(/("))一：僅有1個(gè)零點(diǎn).

故選D

評(píng)卷人得分

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

36.已知平面向量五=(4,一3),另=(一%,2),若五J_B，則實(shí)數(shù)%=.

【答案】-|

【解析】解：?,?口11,

.'-a-b=-4x—6=0>解得x=—|.

故答案為：—|.

根據(jù)2!石可得出日7=0,進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出工的值.

考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

37.等比數(shù)列｛冊(cè)｝中,%+32a6=0,a3a4a5=1,則數(shù)列的前6項(xiàng)和為.

【答案】一個(gè)

【解析】

【分析】

本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，借助于等比數(shù)列的性質(zhì)求出首項(xiàng)和公比，代入前

n項(xiàng)和公式即可求解.

【解答】

解：設(shè)等比數(shù)列5｝的公比為q,由%+32a6=0得言=一七=q5,解得q=-也

■:a3a4a5=1,；，=1,**,Q4=1，

」?%=崇=-8

-8x(l-(-1)6)

21

所以數(shù)列也“｝的前6項(xiàng)和為

4

故本題答案為4

38.關(guān)于旋轉(zhuǎn)體的體積，有如下的古爾丁(g山din)定理：“平面上

一區(qū)域。繞區(qū)域外一直線(區(qū)域。的每個(gè)點(diǎn)在直線的同側(cè)，含直

線上)旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，等于。的面積與。的幾何

中心(也稱為重心)所經(jīng)過(guò)的落程的乘積”,利用這一定理，可求

得半圓盤產(chǎn)+/41,繞直線x=。旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖

(%<037r

形的體積為

【答案】27T

【解析】解：顯然半圓的幾何中心在半圓與X軸的交線上，設(shè)幾何中心到原點(diǎn)的距離為X,

則由題意得：

27rx?(|TT-l2)=|7r-I3,解得x=親

所以幾何中心到直線X=:的距離為：：+F=匕

37r37r37rn

所以得到的幾何體的體積為：V=(2a-I2)=27r.

故答案為：27r.

設(shè)幾何中心到原點(diǎn)的距離為x,將半圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)半徑為1的球體，從而27rx?

(|TT-I2)=-I3,解得X=?再根據(jù)古爾丁(g山din)定理求繞直線x='旋轉(zhuǎn)一周所形

成的空間圖形的體積即可.

本題考查了對(duì)古爾丁(guldin)定理的理解與應(yīng)用，考查分析解決問(wèn)題的能力，本題屬于中檔

題.

39.在銳角三角形ABC中，角力，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若爐+c?=4bcsin(4+g),

貝iJtanA+tanB+tanC的最小值是.

【答案】8V3

【解析】

【分析】

本題主要考查正弦定理，余弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)公式，基本不等式的應(yīng)用，換元

法的應(yīng)用等，是一個(gè)中檔題.

根據(jù)余弦定理得扭4-c2=4bcsin(4+7),可得小+2bccosA=4bcsin(A+今,即小=

66

2V3bcsinA,再由正弦定理以及兩角和的正弦公式、正切公式化簡(jiǎn)可得tan4+tanF+tanC=

2\，3tan8ianc.tanC,令tanB-tanC-1=m(m>0),可得tanA4-tanB+tanC=

tanfitanC-l

2V3(m+A+2),再利用基本不等式可得taa4+tanB+tanC的最小值.

【解答】

解:由余弦定理，得/+c2=@2+2bccos4

2

則由爐+c=4bcsin(A+得Q?+2bccosA=4bcsin(A+巴)=2bc(V3sinA+cos/1),所

以=2y/3bcsinAr

由正弦定理，得sin2A=2V3sinF?sinCsin/l,

所以sin4=2V3sin^sinC?

所以sin(8+C)=2V3sin5sinC，

即sinBcosC+cosBsinC=2V3sinFsinC?

tanB+tanC=2\/3tani?tanC.

因?yàn)閠anA=一tan(8+C)=tanH+tanC

所以taa4+tanB+tanC=tani4-tanB-tanC,

則taa44-tanB+tanCtanF+tanC?tanB?tanC2V3tanBtanC?tanB?tanC.

tanBtanC-1tanBtanC-1

令tanB-tanC-1=m(m>0),則tanB-tanC=m4-1,

所以tan4+tanB+tanC=2同血+1)_=2同m+2m+i)=2V3(m+—4-2)>2V3(2Im?—4-

mm''m

2)=8V3,當(dāng)且僅當(dāng)巾=1時(shí)，等號(hào)成立，

故tanA+tanB+tanC的最小值為88.

評(píng)卷人得分三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

(-)必考題：共60分

40.在UBC中，AC=410,C。平分乙4cB交于點(diǎn)D,已知CD=魚(yú)，乙BDC.

(1)求AC；

A

【答案】解：(1)設(shè)=乙ADC=冗一(BDC=冗一

n3n

4=~'

所以，在△4DC中，由余弦定理可得：m2+CD2-2m-

CD-cos—=AC2,

4

即?n?+2—2^2?71,(——)—10,

解得m=2,即4D=2.

(2)在△BDC,MDC中,由正弦定理可得：器sinzDCBsinz.DCAAD__2__

sinzBDCsinz.ADCAC-V10

【解析】(1)設(shè)=在△ZDC中，由余弦定理可得4D的值;

(2)在ABDC,△4DC中，由正弦定理即可求解.

本題主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,

考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

41.在棱長(zhǎng)為2的正方體48。。一公當(dāng)6。1中，E,尸分別為4/i，CO的中點(diǎn).

⑴求I懣

(2)求直線EC與4尸所成角的余弦值;

(3)求二面角E-AF-B的余弦值.

【答案】解：(1)在棱長(zhǎng)為2的正方體48CC-41B1G5中，建立如圖所示的空間宜角坐標(biāo)系.

則4(2,0,0),F(0,1,0),C(0,2,0),E(2,l,2),CE=(2,-1,2).

|CE|=02+(-1)2+22=3

(2)vCE=(2,-l,2).AF=(-2,1,0).

-4—1V5

：?cos<AF,CE>=

V(-2)2+I2-V22+(-1)2+223

???直線EC與4尸所成角的余弦值為它.

3

(3)平面ABCD的一個(gè)法向量為若=(0,0,1),

設(shè)平面4EF的一個(gè)法向量為底=(x,y,z),

???希=(-2,1,0).AE=(0,1,2)，

0,

???(y^22=0令x=l，則y=2,z=-l=>nj=(l,2,-l),

則COS<五，可>=高27=

1%11日21,1+4+16

由圖知二面角E—4F—B為銳二面角，其余弦值為丑.

6

【解析】本題考查線段長(zhǎng)、兩直線夾角余弦值、二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題,

注意向量法的合理運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.

(1)建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法能求出I市

(2)求出而=(2,-1,2).AF=(-2,1,0)-利用向量法能求出直線EC與4尸所成角的余弦值.

(3)求出平血4BCD的一個(gè)法向量和平面4EF的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角E-

AF-B的余弦值.

42.某校開(kāi)展“學(xué)習(xí)新中國(guó)史”的主題學(xué)習(xí)活動(dòng).為了調(diào)查學(xué)生對(duì)新中國(guó)史的了解情況，需

要對(duì)學(xué)生進(jìn)行答題測(cè)試，答題測(cè)試的規(guī)則如下：每位參與測(cè)試的學(xué)生最多有兩次答題機(jī)

會(huì)，每次答一題，第一次答對(duì)，答題測(cè)試過(guò)關(guān)，得5分，停止答題測(cè)試;第一次答錯(cuò)，繼

續(xù)第二次答題，若答對(duì)，答題測(cè)試過(guò)關(guān)，得3分;若兩次均答錯(cuò)，答題測(cè)試不過(guò)關(guān)，得0分

.某班有12位學(xué)生參與答題測(cè)試，假設(shè)每位學(xué)生第一次和第二次答題答對(duì)的概率分別為

m,0.5,兩次答題是否答對(duì)互不影響，每位學(xué)生答題測(cè)試過(guò)關(guān)的概率為p.

(1)若m=0.5,求每一位參與答題測(cè)試的學(xué)生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)該班恰有9人答題測(cè)試過(guò)關(guān)的概率為/(p),當(dāng)f(p)取最大值時(shí)，求p,m.

【答案】(1)解：設(shè)每一位參與答題測(cè)試的學(xué)生所得分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,

則X的可能取值分別為5,3,0,

則P(X=5)=0.5,P(X=3)=(1-0.5)x0.5=0.25,

P(X=0)=(1-0.5)x(1-0.5)=0.25.

則每一位參與答題測(cè)試的學(xué)生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為

E(X)=5x0.5+3x0.25+0x0.25=3.25.

(2)解：由題意得f(p)=C；2P9(1-p)3,(0<p<1)

則f'(p)=9P8(1_p)3_3P9(1-p)2]

=3C?2P8(l-p)2(3-4p).

由1(p)=0,得p=0.75,

由/''(p)>0,得0<p<0.75

由尸(p)<0,<0.75<p<1

所以/(p)在(0,0.75)上是增函數(shù)，在(0.75,1)上是減函數(shù).

所以p=0.75是f(p)的極大值點(diǎn)，也是/(p)的最大值點(diǎn).

由題意得p=1-(1-m)(l-0.5)=0.5+0.5m.

則0.5+0.5m=0.75,解得m=05

所以/(p)取得最大值時(shí)，p=0.75,m=0.5.

【解析】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題.

(1)設(shè)每一位參與答題測(cè)試的學(xué)生所得分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,則X的可能取值分別為5,3,0,

先求概率，再求期望；

(2)由題意得/(p)=C?2P9(1-p)3?(0<p<1),則/'(p)=3C：2P8(1-p)2(3-4p).可得

f(p)在(0,0.75)上是增函數(shù)，在(0.75,1)上是減函數(shù).得p=1-(1-m)(l-0.5)=0.5+

0.5m.則0.5+0.5m=0.75,解得m=0.5.

43.已知斜率為1的直線交拋物線C：、2=2「%@>0)于2,B兩點(diǎn)，且弦AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)

為2.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記點(diǎn)PQ2),過(guò)點(diǎn)P作兩條直線PM,PN分別交拋物線C于M,N(M,N不同于點(diǎn)P)兩

點(diǎn)，且NMPN的平分線與y軸垂直，求證：直線MN的斜率為定值.

【答案】解：⑴設(shè)4(X1，%)，8。2，丫2)，4B的中點(diǎn)(&,泗),則有*=2px「yl=2px2?

x

兩式相減得Si+y2)(yi-、2)=2Poi-2)'

,.5=口=至1=1,

所以p=2,拋物線方程為y2=4x.

(2)設(shè)直線MN的方程為：x=my+n(由題意知直線MN的斜率一定不為0),M(x3ly3),

N(x4,y4),

聯(lián)立方程組—4"，，消元得:y2-4my—4n=0,由△=16m?+16n>0得根2+兀>o.

(%=my+n

且73+，4=4m，y3y4=-4n.

由題意知kpM+kpN=。，即窘+色=0(*)，

將城=4X3，資=妝4代入(*)并化簡(jiǎn)得力3y4(為+、4)一](y9+資)一(73+，4)+4=0，

由韋達(dá)定理得nm+n+2m2+m—1=0,

即(?n+1)(九4-2m-1)=0,當(dāng)m=-1時(shí)該等式恒成立，

所以直線MN的斜率為三=-1.

m

【解析】本題考查了拋物線的性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

(1)設(shè)4(X1，%),fi(x2,y2),代入拋物線方程，兩式相減得出直線4B的斜率，從而求出p的值；

(2)設(shè)直線MN的方程為：x=my+n,聯(lián)立方程組消元，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和斜率公式

化簡(jiǎn)kpM+kpN=0,求出m的值即可.

44.已知函數(shù)/(x)=-V1+x,其中aeR且a￥0.

(1)設(shè)a>0,過(guò)點(diǎn)做一1,一》作曲線C:y=/(x)的切線(斜率存在)，求切線的斜率,

(2)證明：當(dāng)a=l或0<a《史寸，f(x^>^ax(x>-l)

【答案】解：(1)[。)=5二一儡，

因?yàn)?(-1)=*>0，故點(diǎn)力(一1,一與不在曲線c上，設(shè)切點(diǎn)為7(殉,%)(>0>-1)，

則切線47的斜率為k=f'(Xo)=2一^=,

又卜=出，所以：Le，?！?=也廿，

x0+la2j%o+lx0+l

整理得;靖。(&+1)-17xo+1=yo+p將％=fCxo)=一,殉+1代入得:

x1eX

5靖。。0+1)-1Vo+=~°-yjxo+l+^,整理得T&eX。+|(7%0+1-1)=o,

即溫靖。+式*=。，所以》&靖。+舟不)=。，

因?yàn)閍>。，所以卜”+—5>°，所以q=。，

故切線47的斜率為々=f(0)=i-1；

x

(2)①當(dāng)Q=1時(shí)，/(%)>axf[x>-1)?e-V1+x>0,(%>-1),

由e*Zl+x,-|x>1+又1+；%="(；+")2.1+%,

所以e*—^x>yjl+%,即e*~~x~V1+%>0,

即當(dāng)Q=1且%之一1時(shí)，/CO