理論力學(xué)-第五章

圓盤的運動分析§5－1剛體繞定點運動的運動學(xué)描述剛體運動時，若體內(nèi)或其外延部分上有一點在空間的位置保持不變，則這種運動稱為剛體繞定點運動。1.運動方程以定點O為原點，取定坐標系Oxyz

另取與剛體固結(jié)的動坐標系ON－－節(jié)線－－進動角－－自轉(zhuǎn)角－－章動角歐拉角－－剛體繞定點運動的運動方程歐拉角的定義歐拉定理2.歐拉定理繞定點運動的剛體，從某一位置到另一位置的任何位移可以繞通過定點的某一軸轉(zhuǎn)動一次而實現(xiàn)。證明：3.瞬時轉(zhuǎn)動軸·角速度·角加速度矢量沿瞬軸，指向按右手法則規(guī)定一般狀況下與不共線方向沿角速度矢量的矢端曲線的切線。4.剛體上各點的速度和加速度－－轉(zhuǎn)動加速度大小為方向垂直于和指向如上圖。－－向軸加速度其大小為方向垂直于和指向瞬軸。

剛體繞定點運動時，剛體內(nèi)任一點的速度等于繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度與矢徑的矢量積；該點的加速度等于繞瞬軸的向軸加速度與繞角加速度矢的轉(zhuǎn)動加速度的矢量和。例5－1求：齒輪上點M的速度和加速度。設(shè)OA=l，已知：行星錐齒輪的軸OA以勻角速度,繞鉛直軸OB轉(zhuǎn)動AC=r。解：齒輪中心點A的速度為點A繞定點O在水平面內(nèi)作圓周運動繞瞬軸OC轉(zhuǎn)動的角速度的大小為=常量它沿著OC

指向如圖所示點M的速度為它的方向垂直于平面OMC指向如圖行星齒輪的角速度為因為只改變方向不改變大小而且它和z軸間夾角β的大小保持不變，所以它的矢端曲線是水平的圓周。沿此圓周的切線，指向轉(zhuǎn)動的一方的大小為現(xiàn)在計算點M的加速度。轉(zhuǎn)動加速度的大小為它垂直由和OM形成的平面，指向如圖向軸加速度的大小為它的方向自M指向點E（在鉛直平面OAC內(nèi)）將值代入上式，并留意到和得§5－2自由剛體的運動－－自由剛體運動方程自由剛體內(nèi)任一點M的速度設(shè)動點M在動坐標系中的矢徑為剛體繞基點轉(zhuǎn)動的瞬時角速度為則自由剛體內(nèi)任一點的速度公式為由于牽連運動為平移，自由剛體內(nèi)任一點的加速度合成式為其中為剛體繞基點轉(zhuǎn)動的瞬時角加速度自由剛體內(nèi)任一點的加速度公式為§5－3剛體運動的合成剛體的任何困難運動都可以由幾個簡潔運動的合成而得到。1.平移與平移的合成小車上任一點的速度：當(dāng)剛體同時作兩個平移時，剛體的合成運動仍為平移。加速度：2.繞兩個平行軸轉(zhuǎn)動的合成齒輪II上任一點M的速度牽連速度的大小為方向垂直于相對速度的大小為方向垂直于這時點M的速度等于與的矢量和。瞬軸與兩軸間的距離分別為和在點C

與同向的情形如圖齒輪繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度為方向根據(jù)的方向確定當(dāng)剛體同時繞兩平行軸同向轉(zhuǎn)動時，剛體的合成運動為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動，確定角速度等于牽連角速度與相對角速度的和；瞬軸的位置內(nèi)分兩軸間的距離，內(nèi)分比與兩個角速度成反比。當(dāng)和反向時如圖確定角速度的轉(zhuǎn)向，與中較大的一個相同。當(dāng)剛體同時繞兩平行軸反向轉(zhuǎn)動，剛體的合成運動為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動，確定角速度等于牽連角速度與相對加速度之差，它的轉(zhuǎn)向與較大的角速度的轉(zhuǎn)向相同；瞬軸的位置外分兩軸間的距離，在較大角速度的軸的外側(cè)，外分與兩個角速度成反比。當(dāng)和等值而反向時當(dāng)剛體以同樣大小的角速度，同時繞兩平行軸而反向轉(zhuǎn)動時，剛體的合成運動為平移，這種運動稱為轉(zhuǎn)動偶。轉(zhuǎn)動偶3.繞相交軸轉(zhuǎn)動的合成點C的確定速度等于零。直線OC是剛體的瞬軸。角速度的指向可由點A的速度方向確定。

當(dāng)剛體同時繞兩相交軸轉(zhuǎn)動時，合成運動為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動，繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度等于繞兩軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和。假如剛體繞相交于一點的3個軸或更多的軸轉(zhuǎn)動時

當(dāng)剛體同時繞相交于一點的多軸轉(zhuǎn)動時，合成運動為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動。繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度等于繞各軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和，而瞬軸則沿此合矢量方向。4.平移與轉(zhuǎn)動的合成（1）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢垂直的情形繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度等于繞動軸轉(zhuǎn)動的角速度（2）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢平行的情形剛體繞軸轉(zhuǎn)動，同時又沿軸向運動－－螺旋運動。平移速度與轉(zhuǎn)動角速度的比值－－螺旋率。若以s表示剛體沿軸的軸向位移為剛體繞軸的轉(zhuǎn)角螺旋率可寫成一般狀況下，螺旋率為一恒值，上式積分一次：s表示剛體轉(zhuǎn)過一周沿軸前進的距離－－螺距。（3）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢成隨意角的情形剛體以角速度繞動軸轉(zhuǎn)動，同時又以速度平移，和之間的夾角為θ。剛體的運動成為以的平移，和以繞瞬軸CC的轉(zhuǎn)動的合成運動－－瞬時螺旋運動。例5－2已知：如圖所示，系桿以角速度繞軸轉(zhuǎn)動，半徑為的行星齒輪活動地套在與系桿一端固結(jié)的軸上，并與半徑為的固定齒輪相嚙合。求：行星齒輪的絕對角速度。以及它相對于系桿的角速度。解：行星齒輪相對于系桿的角速度為行星齒輪的確定角速度為2、以逆時針為正1、例5－3已知：行星齒輪II與固定錐齒輪I相嚙合，可繞動軸轉(zhuǎn)動，而動軸以角速度繞定軸轉(zhuǎn)動。設(shè)在點C處輪I的半徑為，輪II的半徑為。求：錐齒輪II相對于動軸的角速度。解：2、研究齒輪I和II相對于動軸的運動如圖所示兩齒輪相對于動軸的角速度分別為和傳動比將代入上式得1、例5－4已知：框架K和軸A一起以角速度ω繞軸I－II轉(zhuǎn)動，半徑為和彼此相固結(jié)的兩個傘齒輪B和C可在軸

A上自由轉(zhuǎn)動。傘齒輪B與軸I上半徑為的傘齒輪

D相嚙合，傘齒輪C與軸II上半徑為的傘齒輪E相嚙合。軸I的角速度和軸II的角速度。求：框架的角速度ω和齒輪B相對于框架的角速度。解：齒輪的傳動關(guān)系如下和中必定有一個的轉(zhuǎn)向與圖示的轉(zhuǎn)向相反例5－5求：t=1s時陀螺繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度。已知：陀螺繞定點運動時，如圖所示3個歐拉角表示的運動方程為式中t以s計以rad計解：當(dāng)t=1s時因為§5－4陀螺儀近似理論陀螺現(xiàn)象工程中把具有一個固定點，并繞自身的對稱軸高速轉(zhuǎn)動的剛體－－陀螺。設(shè)陀螺以繞對稱軸轉(zhuǎn)動軸又以角速度繞定軸Oz轉(zhuǎn)動自轉(zhuǎn)進動在一般情況下，與自轉(zhuǎn)軸不重合。其中是陀螺對于對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量動量矩矢近似與對稱軸重合其大小等于－－質(zhì)點系動量定理的運動學(xué)說明賴柴定理質(zhì)點系對某定點的動量矩矢端的速度等于外力對同一點的主矩。1.自由陀螺保持自身對稱軸在慣性參考系中的方位不變不計摩擦，外力對其質(zhì)心O的力矩為零－－自由陀螺恒量2.陀螺受力矩的作用，當(dāng)力矩矢與對稱軸不重合，對稱軸將進動依據(jù)賴柴定理在重力的持續(xù)作用下，對稱軸將繞Oz

轉(zhuǎn)動這種運動稱為進動3.陀螺效應(yīng)和陀螺力矩陀螺效應(yīng)是在高速轉(zhuǎn)動的機械中，當(dāng)轉(zhuǎn)子的對稱軸的方位變更時發(fā)生的一種物理現(xiàn)象。它的動量矩矢方向沿此對稱軸。如果軸z以角速度繞軸y轉(zhuǎn)動則動量矩矢端點A獲得速度陀螺力矩－－當(dāng)機械中高速轉(zhuǎn)度部件的對稱軸被迫在空間變更方位時，即對稱軸被迫進動時，轉(zhuǎn)動部件必對約束作用一個附加力偶，這種現(xiàn)象稱為陀螺效應(yīng)。例5－6已知：海輪上的汽輪機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動軸沿船的縱軸x，轉(zhuǎn)子對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，轉(zhuǎn)子的角速度為。如果海輪繞橫軸y擺動，設(shè)擺動的規(guī)律是諧振動：擺幅為，周期為T。兩軸承之間的距離為l。求：汽輪機轉(zhuǎn)子的陀螺力矩和對軸