2023年中考數(shù)學一輪復習第二十四講圓的有關(guān)性質(zhì)專題訓練

PAGEPAGE12第七單元圓第24講圓的有關(guān)性質(zhì)綱要求命題趨勢1．理解圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，了解圓心角、弧、弦之間的關(guān)系．2．了解圓心角與圓周角及其所對弧的關(guān)系，掌握垂徑定理及推論.中考主要考查圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，與垂徑定理有關(guān)的計算，與圓有關(guān)的角的性質(zhì)及其應用．題型以選擇題、填空題為主.知識梳理一、圓的有關(guān)概念及其對稱性1．圓的定義(1)圓是平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．這個定點叫做________，定長叫做________；(2)平面內(nèi)一個動點繞一個定點旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形叫做圓，定點叫做圓心，定點與動點的連線段叫做半徑．2．圓的有關(guān)概念(1)連接圓上任意兩點的________叫做弦；(2)圓上任意兩點間的________叫做圓弧，簡稱弧．(3)________相等的兩個圓是等圓．(4)在同圓或等圓中，能夠互相________的弧叫做等?。?．圓的對稱性(1)圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；(2)圓的中心對稱性：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；(3)圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能和原來的圖形重合．這就是圓的旋轉(zhuǎn)不變性．二、垂徑定理及推論1．垂徑定理垂直于弦的直徑________這條弦，并且________弦所對的兩條?。?．推論1(1)平分弦(________)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；(2)弦的垂直平分線經(jīng)過________，并且平分弦所對的________?。?3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?．推論2圓的兩條平行弦所夾的弧________．4．(1)過圓心；(2)平分弦(不是直徑)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所對的優(yōu)弧；(5)平分弦所對的劣?。粢粭l直線具備這五項中任意兩項，則必具備另外三項．三、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系1．定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧________，所對的弦________．2．推論同圓或等圓中：(1)兩個圓心角相等；(2)兩條弧相等；(3)兩條弦相等．三項中有一項成立，則其余對應的兩項也成立．四、圓心角與圓周角1．定義頂點在________上的角叫做圓心角；頂點在________上，角的兩邊和圓都________的角叫做圓周角．2．性質(zhì)(1)圓心角的度數(shù)等于它所對的______的度數(shù)．(2)一條弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對________的度數(shù)的一半．(3)同弧或等弧所對的圓周角________，同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧________．(4)半圓(或直徑)所對的圓周角是______，90°的圓周角所對的弦是________．五、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的對角互補．自主測試1．如圖，⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，若AB＝eq\r(6)，則⊙O的半徑為()A．eq\r(2)B．2eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(6),2)2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝60°，若⊙O的半徑OC為2，則弦BC的長為()5．如圖，在平面直角坐標系中，⊙A與y軸相切于原點O，平行于x軸的直線交⊙A于M，N兩點，若點M的坐標是(－4，－2)，則弦MN的長為__________．(第5題圖)考點一、垂徑定理及推論【例1】在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油．截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑MN為()A．6分米B．8分米C．10分米D．12分米分析：如圖，油面AB上升1分米得到油面CD，依題意得AB＝6，CD＝8，過O點作AB的垂線，垂足為E，交CD于F點，連接OA，OC，由垂徑定理，得AE＝eq\f(1,2)AB＝3，CF＝eq\f(1,2)CD＝4，設OE＝x，則OF＝x－1，在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，由OA＝OC，列方程求x即可求得半徑OA，得出直徑MN.解析：如圖，依題意得AB＝6，CD＝8，過O點作AB的垂線，垂足為E，交CD于F點，連接OA，OC，由垂徑定理，得AE＝eq\f(1,2)AB＝3，CF＝eq\f(1,2)CD＝4，設OE＝x，則OF＝x－1，在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋(x－1)2，解得x＝4，∴半徑OA＝eq\r(32＋42)＝5，∴直徑MN＝2OA＝10(分米)．故選C.答案：C方法總結(jié)有關(guān)弦長、弦心距與半徑的計算，常作垂直于弦的直徑，利用垂徑定理和解直角三角形來達到求解的目的．觸類旁通1如圖所示，若⊙O的半徑為13cm，點P是弦AB上一動點，且到圓心的最短距離為5cm，則弦AB的長為__________cm.考點二、圓心(周)角、弧、弦之間的關(guān)系【例2】如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四個點，AB＝BC，BD交AC于點E，連接CD，AD.(1)求證：DB平分∠ADC；(2)若BE＝3，ED＝6，求AB的長．解：(1)證明：∵AB＝BC，∴.∴∠ADB＝∠BDC，∴DB平分∠ADC.(2)由(1)知，∴∠BAE＝∠ADB.∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA.∴eq\f(AB,BE)＝eq\f(BD,AB).∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27.∴AB＝3eq\r(3).方法總結(jié)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理，提供了從圓心角到弧到弦的轉(zhuǎn)化方式，為我們證明角相等、線段相等和弧相等提供了新思路，解題時要根據(jù)具體條件靈活選擇應用．觸類旁通2如圖，AB是⊙O的直徑，C，D兩點在⊙O上，若∠C＝40°，則∠ABD的度數(shù)為()A．40°B．50°C．80°D．90°考點三、圓周角定理及推論【例3】如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD＝()A．116°B．32°C．58°D．64°解析：根據(jù)圓周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半)；根據(jù)平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD.還有一種解法，即利用直徑所對的圓周角等于90°，可得∠ADB＝90°，則∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.答案：B方法總結(jié)求圓中角的度數(shù)時，通常要利用圓周角與圓心角或圓心角與弧之間的關(guān)系．觸類旁通3如圖，點A，B，C，D都在⊙O上，的度數(shù)等于84°，CA是∠OCD的平分線，則∠ABD＋∠CAO＝__________.A．CM＝DMB．C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD3．(2023浙江湖州)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC是⊙O的直徑，∠C＝50°，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，則∠BAD的度數(shù)是()(第3題圖)A．45°B．85°C．90°D．95°4．(2023浙江衢州)工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為__________mm.7．(2023湖南長沙)如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求證：△ABC是等邊三角形；(2)求圓心O到BC的距離OD.1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么線段OE的長為()A．5B．4C．3D．22．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0,5)和點O(0,0)，B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點，則∠OBC的余弦值為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(4,5)3．一條排水管的截面如圖所示．已知排水管的截面圓半徑OB＝10，截面圓圓心O到水面的距離OC是6，則水面寬AB是()A．16B．10C．8D．64．如圖，小華同學設計了一個圓直徑的測量器，標有刻度的尺子OA，OB在O點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點靠在圓周上，讀得刻度OE＝8個單位，OF＝6個單位，則圓的直徑為()(第4題圖)A．12個單位B．10個單位C．4個單位D．15個單位5．已知如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠B＝30°，則∠D＝__________.(第5題圖)6．如圖，過A，C，D三點的圓的圓心為E，過B，F(xiàn)，E三點的圓的圓心為D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________.(第6題圖)7．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD⊥BC于D點，且AC＝5，DC＝3，AB＝4eq\r(2)，則⊙O的直徑等于________．(第7題圖)8．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F(xiàn)為弧AD上一點，BC＝AF，延長DF與BA的延長線交于點E.求證：(1)△ABD為等腰三角形；(2)AC·AF＝DF·FE.參考答案導學必備知識自主測試1．A2．D3．60°4．90°5．3如圖，過點A作AB⊥MN，連接AM，設MB為x，則AM＝AO＝4－x.在Rt△AMB中，∵AM2＝MB2＋AB2，∴(4－x)2＝x2＋22，解得x＝eq\f(3,2).∴MN＝2MB＝3.探究考點方法觸類旁通1．24連接OA，當OP⊥AB時，OP最短，此時OP＝5cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝eq\r(OA2－OP2)＝eq\r(132－52)＝12，所以AB＝24cm.觸類旁通2．B由題意，得∠A＝∠C＝40°，由直徑所對的圓周角是直角，得∠ADB＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余或三角形內(nèi)角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，從而得∠ABD＝50°.觸類旁通3．48°因為的度數(shù)等于84°，所以∠COD＝84°.因為OC＝OD，所以∠OCD＝48°.因為CA是∠OCD的平分線，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因為OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝24°，因為∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°.品鑒經(jīng)典考題1．A∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝45°.故選A.2．D∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，∴M為CD的中點，即CM＝DM，選項A成立；B為的中點，即CB＝DB，選項B成立；在△ACM和△ADM中，∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，∴△ACM≌△ADM(SAS)，∴∠ACD＝∠ADC，選項C成立；而OM與MD不一定相等，選項D不成立．故選D.3．B∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，∴∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，∴∠D＝50°，∴∠BAD的度數(shù)是180°－45°－50°＝85°.4．8如圖所示，在⊙O中，連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，則AB＝2AD.∵鋼珠的直徑是10mm，∴鋼珠的半徑是5mm.∵鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，∴OD＝3mm.在Rt△AOD中，∵AD＝eq\r(OA2－OD2)＝eq\r(52－32)＝4(mm)．∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．故答案為8.5．2∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝2eq\r(3)，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3).∵OC＝1，∴在Rt△OBC中，OB＝eq\r(OC2＋BC2)＝eq\r(12＋(\r(3))2)＝2.故答案為2.6．150因為∠AOC＝60°，則它所對的弧度為60°，所以∠ABC所對的弧度為300°.因為∠ABC是圓周角，所以∠ABC＝150°.7．(1)證明：在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等邊三角形．(2)解：如圖，連接OB，則OB＝8，∠OBD＝30°.又∵OD⊥BC于D，∴OD＝eq\f(1,2)OB＝4.研習預測試題1．C2．C3．A4．B5．150°6．18°7．5eq\r(2)連接AO并延長交圓于點E，連接BE.(如圖)∵AE為⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°.∴∠ABE＝∠ADC.又∵∠AEB＝∠ACD，∴△ABE∽△ADC.∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AC).∵在Rt△ADC中，AC＝5，DC＝3，∴AD＝4.∴A