專題訓(xùn)練 平面向量中的最值問題通關(guān)-高考數(shù)學(xué)棘手問題歸納解析版

專題訓(xùn)練

平面向量的最值問題關(guān)-2018高考學(xué)棘手問題納解析版第一類與量積有關(guān)的最值1在

，

，

，

是邊

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且則

的取值范圍為()A．

B．

C．

D．【答案】2．在邊長為的方形

中，為

的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段

上運(yùn)動(dòng)，則

的取值范圍()A．B．【答案】

C．D．【解析】將正方形放入如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)E(，0)，0≤1又，

，(1，，所以所以因?yàn)?≤≤1所以

，，即

的取值范圍是．

本題選擇C

選項(xiàng)．3．已知、B是數(shù)f

f

（其中常數(shù)）象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

，若

的最小值為0，則函數(shù)

f

的最大值為（）A．

11B．

C．

eD．e2e【答案】4圖直梯形

ABCD

中，DAABBC2

在陰影區(qū)（含邊界運(yùn)有的取值范圍是（）

A．

1B．2

C．,1

D．

【答案】5．在中，C,AB

，點(diǎn)滿足CP，則

的最大值為（）A．

B．

C．

D．

【答案】【解析】取AB的點(diǎn)D，連接CDCAPCCBPCPC

4

，所以當(dāng)

時(shí)，

PA

的最大值為16．選B．

11116．知點(diǎn)

A

的坐標(biāo)

，

滿足

{y

，則AP

的最小值3y0為（）A．

B．0C．4

D．

【答案】【解析】7．已知AB是單位圓O上的點(diǎn)O為心∠AOB=120°點(diǎn)C是線AB上與AB重的點(diǎn)MN是圓O的一直徑，則

的取值范圍是（）A．[

31，）B．[，0]．[，）D．[42

，【答案】【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，d,OCOC，則224

OAOBAOBO

到直線AB

的距離

CMOMOCON

OC

，CM

3的取值范圍是,04

，故選A．38．在中，?BC，其面積,2

，則AB與C夾角的取值范圍為（）A．

64

B．

3C．,D334

【答案】9．已知是邊長為2的邊三角形，為平面ABC內(nèi)點(diǎn)，則

PAPB+PC小值是()A．

B．

—

C．

D．1【答案】【解析】

PC

要取得最小值，則PA與PBPC

共線且反向即

位于

的中線上，中線長為

2

2

設(shè)則

PA，PCPA

2x

x當(dāng)

x

32

時(shí)，

PC

取最小值，

2222故選B10．已知

OA

則當(dāng)APBP小時(shí)的時(shí)（）A．﹣B．C．﹣D1【答案】11．在等腰直角中，ABC＝90°AB＝＝，(不與C重合為AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足|MN＝，的值范圍()A．

B．

C．,2

D．,

【答案】【解析】以等腰直角三角形的直角邊為x軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則B，0)，直線的程為＋＝．

1313設(shè)(2－，則0<<1，(＋，－)∴BM＝a2－)，＝a＋，－)∴BM＝a(a＋＋(2－)(1－＝－＋，∵0<a，當(dāng)＝答案：

時(shí)，BM取最小值，又<2，故BM的值范圍為,22

．12．已知平面向量ab

滿足

ac，

12

，則

的最小值為()A．-2B．【答案】

C．-1D．013．在中，BC邊上的中線AD

的長為2，點(diǎn)是ABC所在平面的任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A．1B．C．-2．-1【答案】【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，使得點(diǎn)D在原處，點(diǎn)A在y軸，則

．

設(shè)點(diǎn)P的坐為

，則

故

PAPBPCPA2x2y

，當(dāng)且僅當(dāng)0,y

時(shí)等號成立．所以

的最小值為．C．14．已知BC是O的徑，H是圓O的AB上動(dòng)點(diǎn)，，，的最值為（）A．

B．

C．

D．

【答案】15．知拋物線

為軸半軸上的動(dòng)點(diǎn)，

為拋物線的切線，

分別為切點(diǎn)，則

的最小值為（）A．B．C．【答案】

D．【解析】設(shè)切線

的方程為

．由

消去x整得

（∵直線與拋物線相切，∴，．

∴方程（），得．∴點(diǎn)在方程

的坐標(biāo)分別為．中，令，可得，∴點(diǎn)的標(biāo)為．∴，∴當(dāng)

時(shí)，

取得最小值．選C．16已知在直角三角形

中，為直角，

若

是

邊上的高點(diǎn)在

內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng)，則A．

的取值范圍()B．C．D【答案】【解析】

17．已知正三角形ABC的邊為2值為________．【答案】

，圓O是三角形的內(nèi)切圓P是O上任意一點(diǎn)，則

的最大【解析在正三角形

中內(nèi)切圓半徑

，，，，，∴

，故答案為1．18在角坐標(biāo)坐標(biāo)系

中線

1

的參數(shù)方程為{

xytsin

（

t

為參數(shù)標(biāo)點(diǎn)

為極點(diǎn)，

軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線

2

的極坐標(biāo)方程

．（）

3

時(shí)，

1

交

2

于A

兩點(diǎn)，求

AB

；（）知點(diǎn)

P

，點(diǎn)Q

為曲線

2

上任意一點(diǎn)，求O

的最大值．【答案））

5

．【解析】試題分析）第（）問，先把直線的參數(shù)方程化為普通方程，再解圓里的三角形得弦長得到|AB|的值）寫出OP

的三角函數(shù)表達(dá)式，再利用三角函數(shù)求它的最大值．

（）點(diǎn)

,y，則OP1,，xy

，xy

，又{

xysin．∴OP的大值為25

，19．已知向量的夾角為銳角，且滿足

，b，若對任意的08【答案】15

x

成立，則a

的最小值為．20角形

中，M

N

分別是邊

OP

的中點(diǎn)

在直線

MN

上ORyOQ

,yR

，則代數(shù)式

y2

12

的最小值為__________．

【答案】

24結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)2故答案為．4

時(shí)，取得最小值為

2421．如圖，在平行四邊形中，

，邊，的分別為2，．若，分是邊，上的點(diǎn)，且滿足，則

的取值范圍．【答案】，

【解析】22．知腰長為2的腰直角

中，

為斜邊

的中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，的最小值為__________．【答案】【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，∴

，，當(dāng)sin故答案為：

時(shí)，得到最小值為23．知菱形

ABCD

的邊長為2，

，點(diǎn)

、

分別在邊,CD

上，

，DFDC，2【答案】

，則AE的最小值___________

24等腰梯形

中，，，點(diǎn)

分別在線段

和

上，，則

的取值范圍_．【答案】【解析】在等腰梯形

中，已知

，，，，點(diǎn)

分別在線段

和

上，且，以為點(diǎn)，

，則的取值范圍為為軸建立直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作，

，垂足為，

，，，

，

，數(shù)

在

上遞減

最大值為，最小值為，

的取值范圍為，答案為

．25．如圖，邊長為

的正三角形

放置在平面直角坐標(biāo)系

中，

在

軸上，頂點(diǎn)

與

軸上的定點(diǎn)P

重合將三角形沿軸方向滾即先以頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)

落在

x軸上，再以頂點(diǎn)B

為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．當(dāng)ABC滾到11

時(shí)，頂點(diǎn)B

運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為__________；在滾動(dòng)過程中最大值．【答案】

83

26．已知正三角形

的邊長為4，是面

上的動(dòng)點(diǎn)，且，

的最大值為______．【答案】【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)．由題得，所以動(dòng)點(diǎn)O的跡是圓，所以，所以4x的大值為．

故填27．平面直角坐標(biāo)系取值范圍是________．【答案】

中，，在

上，若，點(diǎn)的坐標(biāo)的【解析】第二類與線性分解有關(guān)的最值1．平行四邊形ABCD中，AB，AD

，P

是平行四邊形一點(diǎn)，且AP

，如APyAD

，則3y

的最大值為（）A．1B．C．3D4【答案】

2．在矩形ABCD中＝AD＝，點(diǎn)在點(diǎn)C為圓心且與BD相切圓上．若AP

＝

AB

＋

AD

，則λ＋的大值為)A．3B．

C．

D．2【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則C點(diǎn)坐(2，．設(shè)與C切于，連接CE，則CEBD∵CD1＝，∴BD

，

EC

255

，即圓C的半徑為

25

，3已是

的重心過作線

與，交點(diǎn)且，，則的最小值是)A．B．C．D．【答案】

【解析】如圖

三點(diǎn)共線，∵是

的重心，解得，

結(jié)合圖象可知令故故當(dāng)且僅當(dāng)故選D

等號成立第三類與量模長或投影有關(guān)的最值1．設(shè)A．

，已知兩個(gè)向量B．C．D．

，則

長度的最大值是()【答案】2．定義域?yàn)?/p>

的函數(shù)

的圖象的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，

是

圖象上任意一點(diǎn)，其

中

向量

若不等式

恒成立則稱函數(shù)

在

上為“函”已知函數(shù)

在

上為“函”，則實(shí)數(shù)的最小是（）A．1B．C．3D4【答案】【解析】當(dāng)x=0時(shí)，y=-5，時(shí)，y=1．所以A(0-5)B(3，1)．所以

．

．因?yàn)橄蛄?/p>

，所以

，所以所以設(shè)

，所以函數(shù)

在

單調(diào)遞增，在（）單調(diào)遞，所以所以k．故選D．3．已

,b

是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c

滿足

，則

的最大值是()A．

B．

2

C．

D．2【答案】【解析】

22224．

ABC

中，

，AC，

，若向量m

滿足

m

，則

m

的最大值與最小值的和為（）A．7B．C．9D10【答案】【解析】由AB2，AC，

得AC2

，即

為直角，以A

點(diǎn)為原點(diǎn)，為

軸，

AC

為

軸建立直角坐標(biāo)系，則

A

，設(shè)

的終點(diǎn)坐標(biāo)為

，∵

mAC

，∴

，故

m

的最大值與最小值分為圓

上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值和最小值，故最大值為

5

，最小值為

5

，即之和為，選D．5．已知，是個(gè)單位向量，則A．B．C．．【答案】

的最大值為（）

6直角坐標(biāo)系

中知三點(diǎn)

若向量

與

在向量

方向上的投影相同

的最小值為（）A．2B．C．D．【答案】【解析】向量

在向量

方向上的投影相同，

，

，，

在直線

上，

的最小值為原點(diǎn)到直線

距離的平方，因?yàn)?，?/p>

的最小值為，故選D．7知點(diǎn)在圓

x9

上足AP

，則線段在x軸上的投影長度的最大值__________【答案】15

2222228．點(diǎn)F，分是橢圓12

C

x

y

2

的左、右兩焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)M滿：MNMF，MFMF21

的最大值為_________．【答案】

【解析】設(shè)

0

，由

2

，得

N12

，則由

MF2

，可得0

2

00

2

y

0

2

，

化

為

2

，

可

設(shè)

{

xsinysin

，MF=2cosMF4cos，MF6cos2MF12

，12cos

10，MFMF1

的最

大值為610，答案為6．9已知

為圓

的直徑點(diǎn)為直線

上任意一點(diǎn)則

的最小值為_________．【答案】【解析由

可得圓半徑為，，圓心

到直線

的距離，的最小值為，故答案為．10．已知C是平面ABD上點(diǎn)，AB，CB

．①若

AC

，則

____；②若AB

，則

AP

的最大值為___．【答案】

34

（），因?yàn)?/p>

AP

，所以ABADABADABADBDBD如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C是段BD的點(diǎn)時(shí)，此時(shí)BD取得最大值，

，此時(shí)最大值為

BDCB，以的大值為2．

11．已知

e,1

是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，若向量b滿b2,b12

，則對于任意xb

的最小值為________．【答案】

12．在平面上，

OB12

，且

MBMB12

，

OPOBOB1

．若

PM

，則

OM

的取值范圍是___________________．3,【答案】【解析】分別以

．、12

為

、

軸建立直角坐標(biāo)系Oxy

，設(shè)

B1

，由

OPOBOB1

得

．設(shè)

M,y，由MBMB12

得

y

y

2

，兩式相加得

xy2

，即

OMMP

，于是

OM4MP

，又

MP

，故

OM

，即

OM

的取值范圍是

3,

．13．在平面上，

OB，OB，OB，OPOB．MB，則PM1112的取值范圍是____________________

【答案】

,

．14角形中MN分別是邊OPOQ

的中點(diǎn)在直線MN上

,y

，則代數(shù)式

x

的最小值為__________．【答案】

24【解析妨

為直角OPOQ

2

以

分別為,

軸時(shí)

為R

點(diǎn)的坐標(biāo)，

2

2

表示R

到原點(diǎn)

O

的距離，最短時(shí)為點(diǎn)

到直線

MN

的距離，由于

MN

是中位線，故最短的

OR

等于點(diǎn)

到PQ

距離的一半，即

1PQ4

．15．已知向量

a

則

的最小值為【答案】

111111【

解

析】

已

知

向

量

a

，

b

，

3,sina

2610sin

時(shí)最小值為4．故答案為：．16．已知ab為位向量，且a，c的最大值為_________．【答案】17．在△中，G為△的心，且∠AOB＝60°，＝，則||最小值是________【答案】【解析】如圖，在△AOB，

＝

221＝×(＋OB)3

＋

)，又OA·|||OB|·cos60°＝，∴||||12，∴|

1|＝(9

OA＋

)1＝(||＋OB|＋·OB9＝

(|OA|＋||＋12)≥OA||·||＋＝＝當(dāng)且當(dāng)OA||＝OB|取等999號．∴OG||，故|

||的最小值是2．故答案為：18．若平面向量e