中考反比例函數(shù)的常見模型以及例習題

反比例函數(shù)的常見模型【型1】比函圖被比函圖所得線相【型2】次數(shù)像坐系反例數(shù)像截的等段【型3】一限反例數(shù)像兩連的行【型4】比函與形1）【型5】比函與形2【型6】比函與值【型7】比函與金割1

2

3

4

5

6

7

讓們起略比函的奇一、個人對反比例函數(shù)的幾點困惑與感悟1.為正比例函數(shù)的比例系數(shù)是

k

y

，而反比例函數(shù)的比例系數(shù)卻不是比？x2.為我市中考的反比例函數(shù)問總不像其它函數(shù)那么深入？只探究一些皮毛問題！至多探究一下

的幾何意義（面積如年臺州市中考考查的也是“函數(shù)的研究通法非門深入研究反比函.3.過我們遇到稍難一點的反比函數(shù)問題，就只有“暴力設元”這一途徑，總無法避開多元方程、分式方程、高次方.4.個認為作為老師，不應該只付中考，而應該研究更純粹的數(shù)學，站在更高的位置來了解數(shù)學本質！做到居高臨下、解有依據(jù)！5.實上，反比例函數(shù)中也存在多的“比、直比（縱比、橫比、縱橫比積比，可以說“比比皆是在讓我們一起來比出精彩、比出神.二、一道曾經(jīng)困惑我多時的中考題某年寧波市中考的填空壓軸題:如圖，Δ的點B(

)，雙曲線

y

kx

經(jīng)過點

、

D

，當以

、

、

D

為頂點的三角形與

Δ

的相似時，則

.1.常性解法：通過設元，例如設C(，，則D()，根條件列方程：(1)利用

、

、

BD

或

列方程；(2)利用

)DD

列方程；(3)利用“一線三等角”模型、

列方程實際上在述常規(guī)處理方法中已透著一點智慧一點靈性了具操作方法中也具備了一定的技巧性.但本人對，卻一直難言滿意，耿耿于懷！8

2.挖隱含性質，巧解此題(1)實際上，此圖中含有一些很要的性質：過點C作軸于，接，線CD分交坐標軸于點

M

、

.則有①

PA

∥

；②

，PMAD；③MC，.基于以上這些性質，有如下解(2)我的第一種解法（整體思想：由

，

可得，

ONAN

，即

OA，是

OA

，……(3)我一個同事的解法（斜邊轉比）：由

MC:CN

，

MCDN

可得，

MC::

，轉為橫比，

x:):)CND

，因此

C

OA

，……(4)我一個學生的解法（斜等轉等）：由MDxC

(x)N

，……(5)我的第二種解法（平行導角）：由

PA

∥

得，

，于是

OP

OA

，……(6)下面我們要著重解決兩件事①上述性質是否永遠成立？如何證明？②解題技巧除上述方法：整體思想、斜邊轉直比、斜等轉直等、平行導角度外，還有斜長轉直長、面積比與邊比互轉、純面積轉化等等，后面將一、一介.三、探究性質1.如，雙曲線

y

kx

與矩形

邊交于點

M

、

，直線

MN

交坐標軸于點

D

、

.①如圖1，若AM:CN:②如圖2，若AM:CN:

；；③如圖3，若

，則

:

，9

直線

MN

與

的位置關系是，

與

的大小關系.圖12.①圖1，雙曲線

y

kx

圖2與直線交點M、N，y

圖3軸于點A，NC軸點

，請?zhí)骄恐本€

MN

與

的位置關系，線段

與

的大小關系②如圖2，雙曲線

y

kx

與直線

交于點

M

、

，MA

軸于

，MCx

軸于

，軸，軸于B，探究直線

MN與AB、

的位置關系，以及線段ME與FN的大小關系圖1

圖2四、最常見思想方法（斜轉直轉直比、斜等轉直等、斜長轉直長1.如，直線

反比例函數(shù)

y

kx

(象交直線

AB于點

、

D

，且

，則

的值為.(1)常規(guī)方法（斜長轉直長CD

AB則

CD

，可設C(，，D(，方程解決；(2)口算巧解（斜邊轉直比由

DB

，

得，

::

，轉為橫比得，x:(x)(x)CDD

，則

，

，……10

2.同變式題：如圖，直線y

交坐標軸于點

、

，雙曲線

y

k

交直線于點、.x若

CD

，則

的值為；3.難展示（中國數(shù)學教育名師堂481230254，每日一題第8題，2017/3/29）如圖，點

(

，

)，

，

在雙曲線上，

，

AB

分別交

，

軸于

，

，

分別交

，

軸于

D

，

.(1)求ΔDOE的面積；(2)求證：

Δ

形DBCE

.4.原清新小題和近年的中考題(1)如圖1，ABBC，Δ的面積為k的為.(2)如圖2，點，

在雙曲線

y

k

上運動，軸，AC.①在運動過程中，

x的面積是不是定值？答：；②若

Δ是三角形，則點的標為.(3)如圖3eq\o\ac(□,)

中，

，

OA

，雙曲線經(jīng)過點

和

AB

中點

D

，則該雙曲線的解析式為.(4)如圖4，直線

y

x

分別與雙曲線

y

kx

交于點

、

，

OA

，則的為.圖1

圖2

圖3

圖411

(5)(十堰如5，正

ΔAOB

的邊長為

，雙曲線

y

k

經(jīng)過點

、

D

，且

CDOB

，x則的為.(6)如圖6，雙曲線

y

k

與直線

交點、.x①原、鋪墊②)若

、

b

，且

AB

，則

；②常模擬·改編若

，則

；③杭模擬·改編若

且AC

.(7)(據(jù)題改編如7，為雙曲線

y

上的動點，過點作形，線x

的解析式為

，交矩形邊于

M

，

，則

CM

.圖5五、面積比、邊比互轉

圖6

圖71.①原、鋪墊如圖1①，直

y

與雙曲線

交于點

，

為雙曲線上一點，射線

交

軸于點

D

，若

ΔCOD

的面積為

，則點

坐標為；②成)如圖1②，直線

y

x

與雙曲線交于點、B，雙曲線上一點，射線交軸點D，Δ的面積為坐為.2.(無錫如圖2，

軸，

∥x

軸，雙曲線過點

、

D

，且

OD:

，已知ΔOBC的面為k

的值為.圖1

圖

圖12

3.(寧波如圖3，正

Δ

的頂點

在雙曲線

上，雙曲線

y

與邊

交于點

，

x連接

BC，Δ的積.4.(麗水如圖4，雙曲線

與直線

交點A、，x軸設點的橫坐標為

.①用含

的式子表示

；②若

Δ

與四邊形

的面積和為

，則

.5.如5，雙曲線

y

k

與直線

交點、D.x①常模擬)若

AOB

ΔCOD

，則

；②改自①)若

、

，且

，則

ΔCOD

.圖3圖46.如6，AB軸C中點，延長E

圖，延長到，雙曲線

y

kx

恰好經(jīng)過點

D

，E

，且

，則

OD

.7.如7，雙曲線

過點

，B

，

過點

，D

，若

，BD

均與

軸平行，

，BD

，且它們之間的距離為則

.8.如8，直線AB交曲線y

x

于點，D，ΔΔ

.圖6

圖7

圖813

9.如，點

在雙曲線

y

k

上，

軸，

，

延長線交

軸于

，若xΔ

的面積為

，則

的值為.10.如圖，點、B在曲線

kx

上，x軸軸垂足、D分在x軸正半軸和負半軸上，CD，AB

，是AB的中點，若Δ面是的

倍，則

的值為.六、反比例函數(shù)圖象中的“一線三等角”構造，初探黃金比例，則的值為.1.如1，中OB，縱坐標為

，雙曲線

y

kx

經(jīng)過點、，且點的(1)剖析：對于坐標系中的一個角，若兩條邊均“傾斜們經(jīng)常構造“

K

”形全等或相似，即“一線三等角”模型，或叫“矩形大法2得

.(2)后感：我們可以發(fā)現(xiàn)，矩形恰好是一個“黃金矩形到底是一種偶然的巧合，還是一種必然的存在呢？這有待于我們進一步探究…(3)探究(2016臨模擬)：如圖3雙曲線

y

k

與矩形

ODCE

的邊交于點

，

，若x設點

的坐標為(，

)，有

AB

，

OBAB

，則

a:b

.圖12.類題：①臨模擬·填空壓軸)

圖2

圖3如圖，

，

，雙曲線

y

kx

經(jīng)過k點，曲線y經(jīng)點已知點A的縱坐標x14

為

，則

，點

的坐標為.②個原創(chuàng))如圖2，中，

，雙曲線

y

kx

經(jīng)過點，曲線y經(jīng)點且點

的縱坐標為

，則

的值為.3.難展示（常州·于新華老師創(chuàng)題）(1)如圖1，點(B均雙曲線

y

kx

上，過點A作y軸線，過點作

軸垂線，兩垂線交于點垂足分別為，F(xiàn)將ΔAB翻，點P恰落在

軸上的點處求的標(2)如圖2，點

(

，

)，

均在雙曲線

y

kx

上，過點

作

軸垂線，過點

作

軸垂線，兩垂線交于點垂足分別為，F(xiàn)將ΔAB翻，點P恰落在

軸上的點

處求

的坐標圖1

圖24.如，矩形

的邊

AB

的解析式為kx

，頂點

，

D

在雙曲線

上①若

，則點

D

的坐標為；②連接，OD，COD是邊三角形，則

.后感：若能發(fā)現(xiàn)OA，題將更簡單！15

拓展：如圖，正方形

的頂點

、

在雙曲線

y

上，

、

D

在雙曲線

上，x

則正方形ABCD的積為.5.(2013湖模)如1，矩

的頂點

、

在雙曲線

y

kx

上，若點

，

)，點B的標為.6.如2，矩形中，點(C，D在雙曲線y

kx

上，若E為AB

中點，則

的值為.圖

圖27.①圖1，點

，

在雙曲線

上運動，以

AB

為底邊作等腰直角

ABC

，則點

也在一條雙曲線上運動，則該雙曲線的解析式為；②如圖2，點，B在曲線

上運動，以為邊作等腰Δ，點在一條雙曲線上運動，若

，則該雙曲線解析式為；③如圖3，點

，

在雙曲線

y

kx

上運動，以

AB

為底作等腰

ΔABC

，點

在另一雙曲線

y

'x

上運動，若

，請用

，

表示

'

.圖1

圖

圖316

七、平行導角度，角度導比例1.如，點

，

在雙曲線

y

k

上，

AB

經(jīng)過原點

O

，過點

作

∥

軸，連接

x并延長，交雙曲線于點.①求證：

ADCD

；②求

ADBD

的值.根據(jù)本題的發(fā)現(xiàn)，改編了一個清新小題：如圖，點A，在曲線

k

上，經(jīng)過原點，點的線

交該x雙曲線于點C，分別交軸軸點，，AC求

的值.2.如，直線

交在雙曲線

y

k

于點、，AB經(jīng)原點O，過A作x交軸于點，接并延，交雙曲線于點.求AD的.17

3.如，雙曲線

y

k

與過原點的直線

l

交于點

、

，點

M

在雙曲線上，直線

AM

、x分交y軸點P、Q.若設

，

BM

，則

.4.如，OA，曲線經(jīng)過點、D、E，求證：ADAC

.八、純面積推導1.如，點

(

，

)，

，

在雙曲線上，

，

AB

分別交

，

軸于

D

，

F

，

分別交

，

軸于

D

，

.求證：

形

.(此方法感謝江蘇·于新華老師的指導)18