十章節(jié)雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)及區(qū)間估計(jì)

十章節(jié)雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)及區(qū)間估計(jì)第1頁/共51頁2023/2/272第十章雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)及區(qū)間估計(jì)

我們在掌握了單樣本檢驗(yàn)與估計(jì)的有關(guān)方法與原理之后，把視野投向雙樣本檢驗(yàn)與估計(jì)是很自然的。雙樣本統(tǒng)計(jì)，除了有大樣本、小樣本之分外，根據(jù)抽樣之不同，還可分為獨(dú)立樣本與配對樣本。

獨(dú)立樣本,指雙樣本是在兩個(gè)總體中相互獨(dú)立地抽取的。

配對樣本，指只有一個(gè)總體，雙樣本是由于樣本中的個(gè)體兩兩匹配成對而產(chǎn)生的。配對樣本相互之間不獨(dú)立。第2頁/共51頁2023/2/273第一節(jié)兩總體大樣本假設(shè)檢驗(yàn)

為了把單樣本檢驗(yàn)推廣到能夠比較兩個(gè)樣本的均值的檢驗(yàn)，必須再一次運(yùn)用中心極限定理。下面是一條由中心極限定理推廣而來的重要定理：如果從和兩個(gè)總體中分別抽取容量為n1和n2的獨(dú)立隨機(jī)樣本，那么兩個(gè)樣本的均值差的抽樣分布就是。與單樣本的情況相同，在大樣本的情況下(兩個(gè)樣本的容量都超過50)，這個(gè)定理可以推廣應(yīng)用于任何具有均值μ1和μ2以及方差和

的兩個(gè)總體。當(dāng)n1和n2逐漸變大時(shí)，的抽樣分布像前面那樣將接近正態(tài)分布。第3頁/共51頁2023/2/2741．大樣本均值差檢驗(yàn)

（1）零假設(shè)：（2）備擇假設(shè)：單側(cè)雙側(cè)或（3）否定域：單側(cè)雙側(cè)（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（5）比較判定第4頁/共51頁2023/2/275

[例]為了比較已婚婦女對婚后生活的態(tài)度是否因婚齡而有所差別，將已婚婦女按對婚后生活的態(tài)度分為“滿意”和“不滿意”兩組。從滿意組中隨機(jī)抽取600名婦女，其平均婚齡為8.5年，標(biāo)準(zhǔn)差為2.3年；從不滿意組抽出500名婦女，其平均婚齡為9.2年，標(biāo)準(zhǔn)差2.8年。試問在0.05顯著性水平上兩組是否存在顯著性差異？

樣本人數(shù)均值標(biāo)準(zhǔn)差滿意組6008.52.3不滿意組5009.22.8第5頁/共51頁2023/2/276[解]據(jù)題意，“不滿意”組的抽樣結(jié)果為：＝9.2年，

S1＝2.8年，n1＝500；“滿意”組的抽樣結(jié)果為：＝8.5年，S2＝2.3年，

n2＝600。

H0：μ1―μ2＝D0＝0H1：μ1―μ2≠0

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，因而有Zα/2＝1.96＜4.47

因此否定零假設(shè)，即可以認(rèn)為在0.05顯著性水平上，婚齡對婦女婚后生活的態(tài)度是有影響的。同時(shí)我們看到，由于樣本計(jì)算值Z＝4.47遠(yuǎn)大于單側(cè)Z0.05的臨界值1.65，因此本題接受μ1―μ2

＞0的備擇假設(shè)，即可以認(rèn)為婦女婚齡長容易對婚后生活產(chǎn)生“不滿意”。

第6頁/共51頁2023/2/2772．大樣本成數(shù)差檢驗(yàn)

（1）零假設(shè)：（2）備擇假設(shè)：單側(cè)雙側(cè)或（3）否定域：單側(cè)雙側(cè)（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

其中:

為總體1的樣本成數(shù)

為總體2的樣本成數(shù)。第7頁/共51頁2023/2/278

當(dāng)p1和p2未知，須用樣本成數(shù)和進(jìn)行估算時(shí)，分以下兩種情況討論：①若零假設(shè)中兩總體成數(shù)的關(guān)系為，這時(shí)兩總體可看作成數(shù)P相同的總體，它們的點(diǎn)估計(jì)值為

此時(shí)上式中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

Z可簡化為

②若零假設(shè)中兩總體成數(shù)，那么它們的點(diǎn)估計(jì)值有

此時(shí)上式中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z為（5）判定第8頁/共51頁2023/2/279[例]有一個(gè)大學(xué)生的隨機(jī)樣本，按照性格“外向”和“內(nèi)向”，把他們分成兩類。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，新生中有73％屬于“外向”類，四年級學(xué)生中有58％屬于“外向”類。樣本中新生有171名，四年級學(xué)生有117名。試問，在0.01水平上，兩類學(xué)生有無顯著性差異？外向內(nèi)向四年級58%（117）42%一年級73%（171）27%第9頁/共51頁2023/2/2710[解]據(jù)題意新生組的抽樣結(jié)果為：

＝0.73，＝0.27，n1＝171

四年級學(xué)生組的抽樣結(jié)果為:＝0.58，＝0.42，n2＝117H0：p1―p2＝D0＝0H1：p1―p2＝D0≠0

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定否定域因?yàn)棣粒?.01，因而有Zα/2＝Z0.005＝2.58＜2.66

因而否定零假設(shè)，即可以認(rèn)為在0.01顯著性水平上，兩類學(xué)生在性格上是有差異的。

第10頁/共51頁2023/2/2711第二節(jié)兩總體小樣本假設(shè)檢驗(yàn)

與對單總體小樣本假設(shè)檢驗(yàn)一樣，我們對兩總體小樣本假設(shè)檢只討論總體滿足正態(tài)分布的情況。1.小樣本均值差假設(shè)檢驗(yàn)

(1)當(dāng)和已知時(shí)，小樣本均值差檢驗(yàn)，與上一節(jié)所述大樣本總體均值差檢驗(yàn)完全相同，這里不再贅述。第11頁/共51頁2023/2/2712(2)和未知，但假定它們相等時(shí)，

關(guān)鍵是要解決

的算式。

現(xiàn)又因?yàn)棣椅粗?，所以要用它的無偏估計(jì)量替代它。由于兩個(gè)樣本的方差基于不同的樣本容量，因而可以用加權(quán)的方法求出σ的無偏估計(jì)量，得

注意，上式的分母上減2，是因?yàn)楦鶕?jù)和計(jì)算S1和S2時(shí)，分別損失了一個(gè)自由度，一共損失了兩個(gè)自由度，所以全部自由度的數(shù)目就成為(n1+n2―2)。于是有第12頁/共51頁2023/2/2713

這樣，對小樣本正態(tài)總體，和

未知，但σ1＝σ2，其均值差的檢驗(yàn)步驟如下:

（1）零假設(shè)：（2）備擇假設(shè)：單側(cè)雙側(cè)或（3）否定域：單側(cè)雙側(cè)（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（5）比較判定第13頁/共51頁2023/2/2714[例]為研究某地民族間家庭規(guī)模是否有所不同，各做如下獨(dú)立隨機(jī)抽樣：民族A：12戶，平均人口6.8人，標(biāo)準(zhǔn)差1.5人民族B：12戶，平均人口5.3人，標(biāo)準(zhǔn)差0.9人問：能否認(rèn)為A民族的家庭平均人口高于B民族的家庭平均人口（α=0.05）？（假定家庭平均人口服從正態(tài)分布，且方差相等）t=2.97

[例]某市對兒童體重情況進(jìn)行調(diào)查，抽查8歲的女孩20人，平均體重22.2千克，標(biāo)準(zhǔn)差2.46千克；抽查8歲的男孩18人，平均體重21.3千克，標(biāo)準(zhǔn)差1.82千克。若男女兒童體重的總體方差相等，問在顯著性水平5%上，該年齡男女兒童之體重有無顯著差異?

第14頁/共51頁2023/2/2715[解]據(jù)題意，女孩組的抽樣結(jié)果為：＝22.2(千克)，

S1＝2.46(千克)，n1＝20(人)男孩組的抽樣結(jié)果為：＝21.3(千克)，S2＝1.82(千克)，

n2＝18(人)H0：μ1―μ2＝D0＝0H1：μ1―μ2≠0

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

確定否定域因α＝0.05，因而有t0.025(36)＝2.028＞1.24

故不能否定H0，即可認(rèn)為男女兒童平均體重?zé)o顯著性差異。

第15頁/共51頁2023/2/2716

(3)和未知，但不能假定它們相等

如果不能假定σ1＝σ2

，那么就不能引進(jìn)共同的σ簡化，也不能計(jì)算σ的無偏估計(jì)量?，F(xiàn)在簡單的做法是用

估計(jì)

，用估計(jì)

，于是有[例]用上式重新求解前例題。

[解]用上式，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算為

可以看出，求算用(10.8)式和(10.10)式，得出的結(jié)果差別不大。

第16頁/共51頁2023/2/27172．小樣本方差比檢驗(yàn)

在實(shí)際研究中，除了要比較兩總體的均值外，有時(shí)還需要比較兩總體的方差。例如對農(nóng)村家庭和城鎮(zhèn)家庭進(jìn)行比較，除了平均收入的比較外，還要用方差比較收入的不平均情況。此外，剛剛在小樣本均值差的檢驗(yàn)中曾談到，當(dāng)方差未知時(shí)，往往還假設(shè)兩總體方差相等。因此，在總體方差未知的情況下，先進(jìn)行方差比檢驗(yàn)，對于均值差檢

檢驗(yàn)也是具有一定意義的。

設(shè)兩總體分別滿足正態(tài)分布和?，F(xiàn)從這兩個(gè)總體中分別獨(dú)立地各抽取一個(gè)隨機(jī)樣本，并具有容量n1，n2和方差，。根據(jù)第八章(8.22)式，對兩總體樣本方差的抽樣分布分別有第17頁/共51頁2023/2/2718

根據(jù)本書第八章第四節(jié)F分布中的(8.25)式有由于，所以簡化后，檢驗(yàn)方差比所用統(tǒng)計(jì)量為當(dāng)零假設(shè)H0：σ1＝σ2時(shí)，上式中的統(tǒng)計(jì)量又簡化為第18頁/共51頁2023/2/2719

這樣一來，小樣本正態(tài)總體方差比檢驗(yàn)的步驟有

(1)零假設(shè)H0

：備擇假設(shè)H1

：單側(cè)雙側(cè)

H1

：H1

：

H1

：

(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（）（）

（）

單側(cè)雙側(cè)第19頁/共51頁2023/2/2720(3)否定域(參見下圖)

單側(cè)Fα（n1―1，n2―1），雙側(cè)Fα/2（n1―1，n2―1）

方差比檢驗(yàn)，比起前面所介紹的檢驗(yàn)有一個(gè)不同點(diǎn)，那就是無論是單側(cè)檢驗(yàn)還是雙側(cè)檢驗(yàn)，F(xiàn)的臨界值都只在右側(cè)。其原因是我們總是把和中的較大者放在分子上，以便使用者掌握。因此有≥1或者≥1第20頁/共51頁2023/2/2721

[例]為了研究男性青年和女性青年兩身高總體的方差是否相等，分別作了獨(dú)立隨機(jī)抽樣。對男性青年樣本有n1＝10，＝30.8(厘米2)；對女性青年樣本有n2＝8，＝27.8(厘米2)，試問在0.05水平上，男性青年身高的方差和女性青年身高的方差有無顯著性差異?第21頁/共51頁2023/2/2722

[解]據(jù)題意，對男性青年樣本有n1

＝10，＝30.8(厘米2)

對女性青年樣本有n2

＝8，＝27.8(厘米2)

H0

：

H1

：

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，

Fα/2（n1―1，n2―1）＝F0.025(9,7)＝4.82＞1.08

因而不能否定零假設(shè)，即在0.05水平上，我們不能說男性青年身高的方差和女性青年身高的方差有顯著性差異。

第22頁/共51頁2023/2/2723第三節(jié)配對樣本的假設(shè)檢驗(yàn)

配對樣本，是兩個(gè)樣本的單位兩兩匹配成對，它實(shí)際上只能算作一個(gè)樣本，也稱關(guān)聯(lián)樣本。因此對它的檢驗(yàn)，用均值差檢驗(yàn)顯然是不行的。因?yàn)?n個(gè)樣本單位(每個(gè)樣本n個(gè))不是全部獨(dú)立抽取的。而如果把每一配對當(dāng)作一個(gè)單位，在符合其他必要的假定條件下，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)與單樣本檢驗(yàn)相差無幾。第23頁/共51頁2023/2/27241．單一實(shí)驗(yàn)組的假設(shè)檢驗(yàn)

對于單一實(shí)驗(yàn)組這種“前—后”對比型配對樣本的假設(shè)檢驗(yàn)，我們的做法是，不用均值差檢驗(yàn)，而是求出每一對觀察數(shù)據(jù)的差，直接進(jìn)行一對一的比較。如果采用“前測”“后測”兩個(gè)總體無差異的零假設(shè)，也就是等于假定實(shí)驗(yàn)刺激無效。于是，問題就轉(zhuǎn)化為每對觀察數(shù)據(jù)差的均值μd＝0的單樣本假設(shè)檢驗(yàn)了。求每一對觀察值的差，直接進(jìn)行一對一的比較。第24頁/共51頁2023/2/2725

設(shè)配對樣本的樣本單位前測與后測的觀察數(shù)據(jù)分別是X

0i與X

1i，其差記作di

di＝X

1i―X

0i

如果假設(shè)兩總體前測與后測無顯著性差別，即μ1

＝μ0或者。那么對取自這兩個(gè)總體的配對大樣本有第25頁/共51頁2023/2/2726

對于大樣本，當(dāng)二總體的方差未知時(shí)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來近似。

若為小樣本則需用t分布，即對配對(小)樣本而言，其均值差的抽樣分布將服從于自由度為(n—1)的t分布。所以對單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

第26頁/共51頁2023/2/2727[例]隨機(jī)地選擇13個(gè)單位，放映一部描述吸煙有害于身體健康的影片，下表中的數(shù)字是各單位認(rèn)為吸煙有害身體健康的職工的百分比，試在0.05顯著性水平上檢檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)無效的零假設(shè)。第27頁/共51頁2023/2/2728[解]零假設(shè)H0：μd＝0

備擇假設(shè)H1：μ1＞μ0

根據(jù)前三式，并參照上表有

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，并為單側(cè)檢驗(yàn)，因而有t

0.05(12)＝1.782＜2.76

所以否定零假設(shè)，即說明該實(shí)驗(yàn)刺激有效。第28頁/共51頁2023/2/2729

練習(xí)一：以下是經(jīng)濟(jì)體制改革后，某廠8個(gè)車間競爭性測量的比較。問改革后，競爭性有無增加？（取α=0.05）t=3.176

改革后8687569384937579

改革前8079589177827466

練習(xí)二：為了了解職工的企業(yè)認(rèn)同感，根據(jù)男性1000人的抽樣調(diào)查，其中有52人希望調(diào)換工作單位；而女性1000人的調(diào)查有23人希望調(diào)換工作，能否說明男性比女性更期望職業(yè)流動？（取α=0.05）第29頁/共51頁2023/2/27302．一實(shí)驗(yàn)組與一控制組的假設(shè)檢驗(yàn)單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)的邏輯，是把實(shí)驗(yàn)對象前測后測之間的變化全部歸因于實(shí)驗(yàn)刺激。在社會現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行的實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，對象前測后測之間的變化，有時(shí)除了受到實(shí)驗(yàn)刺激外，還受到其他社會因素的作用。因而，配對樣本的一實(shí)驗(yàn)組與一控制組之假設(shè)檢驗(yàn)，要設(shè)法把實(shí)驗(yàn)變量的作用和額外變量的作用區(qū)分開來，然后就像對待單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)一樣，把問題轉(zhuǎn)化為零假設(shè)μd＝0的單樣本檢驗(yàn)來處理。

第30頁/共51頁2023/2/2731

在一實(shí)驗(yàn)組與一控制組的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)之中，對前測后測之間的變化，消除額外變量影響的基本做法如下：

(1)前測：對實(shí)驗(yàn)組與控制組分別度量；

(2)實(shí)驗(yàn)刺激：只對實(shí)驗(yàn)組實(shí)行實(shí)驗(yàn)刺激；

(3)后測：對實(shí)驗(yàn)組與控制組分別度量；

(4)求算消除了額外變量影響之后的di

后測實(shí)驗(yàn)組―前測實(shí)驗(yàn)組＝前測后測差實(shí)驗(yàn)組后測控制組―前測控制組＝前測后測差控制組

實(shí)驗(yàn)效應(yīng)di

＝前測后測差實(shí)驗(yàn)組―前測后測差控制組第31頁/共51頁2023/2/2732[例]假定實(shí)施一種新教學(xué)法有助于提高兒童的學(xué)習(xí)成績，現(xiàn)將20名兒童兩兩匹配成對，分成一實(shí)驗(yàn)組與一控制組，然后對實(shí)驗(yàn)組實(shí)施新教學(xué)法兩年，下表列示了控制組與實(shí)驗(yàn)組前測后測的所有10組數(shù)據(jù)，試在0.05顯著性水平上檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)無效的零假設(shè)。第32頁/共51頁2023/2/2733[解]零假設(shè)H0：μd＝0,即“實(shí)驗(yàn)無效”

備擇假設(shè)H1：μ1＞μ0

根據(jù)前三式，并參照上表有

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，并為單側(cè)檢驗(yàn)，因而有t

0.05(9)＝1.833＜2.13

所以否定零假設(shè)，即說明該教學(xué)法有效。第33頁/共51頁2023/2/27343．對實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與相關(guān)檢驗(yàn)的評論

有了獨(dú)立樣本和非獨(dú)立樣本的認(rèn)識，讀者自然會提出什么時(shí)候使用配對樣本以及什么時(shí)候不使用配對樣本的問題。很顯然，匹配樣本損失了自由度，使用配對樣本相當(dāng)于減小了一半樣本容量。這樣做是不是得不償失呢?答案是要看我們能否恰當(dāng)?shù)嘏鋵?。在配對過程中，最好用擲硬幣的方式?jīng)Q定“對”中的哪一個(gè)歸入實(shí)驗(yàn)組，哪一個(gè)歸入控制組。從而使“對”內(nèi)隨機(jī)化。第34頁/共51頁2023/2/2735第四節(jié)雙樣本區(qū)間估計(jì)

雙樣本區(qū)間估計(jì)和雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)的聯(lián)系是很緊密的。雙樣本區(qū)間估計(jì)，即是為均值差或成數(shù)差設(shè)置置信區(qū)間的方法，這需要我們匯合單樣本區(qū)間估計(jì)和雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)兩方面的知識

1.

和已知，對均數(shù)差的區(qū)間估計(jì)

根據(jù)本章第一節(jié)中心極限定理的推論，既然兩樣本的均值差的抽樣分布就是，那么對

統(tǒng)計(jì)量Z自然有

第35頁/共51頁2023/2/2736

對于給定的置信水平（1―α），以構(gòu)造

的置信區(qū)間如下

同理考慮的置信區(qū)間，只需將上式中的

改為即可。

第36頁/共51頁2023/2/2737[例]設(shè)甲乙兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)職工月收入總體分布的方差分別為＝120(元2)，＝90(元2)?，F(xiàn)從甲企業(yè)隨機(jī)抽取20人，平均月收人為840元：從乙企業(yè)隨機(jī)抽取10人，平均月收入為670元，試以95%置信水平估計(jì)兩企業(yè)人均月收入差額之范圍。第37頁/共51頁2023/2/2738[解]據(jù)題意，

甲企業(yè)的抽樣結(jié)果為：＝840(元)，＝120(元2)，

n1＝20(人)

乙企業(yè)的抽樣結(jié)果為：＝670(元)，＝90(元2)，

n2

＝10(人)

由（1―α）＝0．95，得Zα/2＝1.96，代入前式有

得到在95％置信水平上，兩企業(yè)人均收入之差額在162.4元到177.6元之間。

第38頁/共51頁2023/2/2739

對于大樣本，和未知，可以用和替

代，然后用前式求出均值差的置信區(qū)間即可。

對于小樣本，和未知，兩樣本均值差的抽樣分布就不再服從Z分布，而是服從t分布了。此時(shí)對給定的置信水平（1―α），得之估計(jì)區(qū)間為

2.和未知，對均數(shù)差的區(qū)間估計(jì)

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由上式可見，要解決小樣本均值差區(qū)間估計(jì)問題，關(guān)鍵是要解決的算式問題，而如果能假設(shè)

，這個(gè)問題已經(jīng)在本章第二節(jié)中解決了，即第40頁/共51頁2023/2/2741[例]某市對兒童體重情況進(jìn)行調(diào)查，抽查8歲的女孩20人，平均體重22.2千克，標(biāo)準(zhǔn)差2.46千克；抽查8歲的男孩18人，平均體重21.3千克，標(biāo)準(zhǔn)差1.82千克。若男女兒童體重的總體方差相等，試在95％置信水平上，估計(jì)8歲男女兒童體重差額之范圍。第41頁/共51頁2023/2/2742

[解]據(jù)題意，

女孩組的抽樣結(jié)果為：＝22.2(千克)，

S1＝2.46(千克)，n1＝20(人)

男孩組的抽樣結(jié)果為：＝21.3(千克)，S2＝1.82(千克)，

n2＝18(人)

代人前式得

由（1―α）＝0.95，得tα/2(n1+n2―2)＝t0.025(36)＝2.028，于是

[(22.2―21.3)―2.028×0.728，(22.2—21.3)+2.028×0.728)]

得在95％置信水平上8歲男女兒童體重之差額在―0.58千克到2.38千克之間。

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如果不能假設(shè)

，求算則要用下

式，即

[例]研究正常成年男女血液紅細(xì)胞的平均數(shù)之差別，

抽查男子20人，計(jì)算得紅細(xì)胞平均數(shù)465萬／毫米3，樣本

標(biāo)準(zhǔn)差為54.8萬／毫米3；抽查女子24名，計(jì)算得紅細(xì)胞

平均數(shù)422萬／毫米3，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為49．2萬／毫米3，試

以99％的置信水平，求正常成年男女紅細(xì)胞平均數(shù)的差異

范圍。

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[解]據(jù)題意，

男性組抽查結(jié)果為：＝465，S1＝54.8，

n1＝20(人)

女性組抽查結(jié)果為：＝422，S2＝49.2，

n2＝24(人)

代人前式得

由（1―α）＝0.99，得tα/2(n1+n2