《用空間向量研究夾角問題》示范課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)人教】

《用空間向量研究夾角問題》教學(xué)設(shè)計(jì)【引入新課】建立空間向量與幾何要素的對(duì)應(yīng)關(guān)系是利用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵.上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了運(yùn)用空間向量研究立體幾何中有關(guān)直線、平面的距離問題.與距離一樣，角度是立體幾何中的另一類度量問題.本質(zhì)上，角度是對(duì)兩個(gè)方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度問題有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).知識(shí)回顧：用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問題；（3）把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.【課堂探究】任務(wù)一典型例題，求解直線與直線所成的角ABDCMN例2：如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，M，N分別為BC、ADABDCMN問題1如何用空間向量求兩條直線的夾角？答案：（化為向量問題）兩條異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為兩條異面直線方向向量與的夾角的余弦值，借助數(shù)量積進(jìn)行求解.追問1：向量與的夾角與直線AM和CN夾角的聯(lián)系？答案：，又兩直線的夾角為銳角，所以追問2：如何表示向量與使我們方便計(jì)算它們的夾角?答案：方法1選擇空間的一個(gè)基底根據(jù)空間向量基本定理，任意不共線的三個(gè)非零向量均可作為基底表示空間中的任意向量.當(dāng)三個(gè)向量為互相垂直的單位向量時(shí)可以建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示問題中設(shè)計(jì)的點(diǎn)、線、面等元素，從而把立體問題轉(zhuǎn)化為向量問題.根據(jù)條件，已知正四面體的棱長(zhǎng)和棱與棱之間的夾角，AM和CN是中線，其模長(zhǎng)可求，所以再求向量與夾角時(shí)，只要用基底向量表示出即可.為此，選擇為基底并表示向量、.方法2建立空間直角坐標(biāo)系取BD的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE平面BCD，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD，OE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（建系方式不唯一），但明顯這種建系方式下點(diǎn)的坐標(biāo)不易得到，不利于計(jì)算夾角.追問3:你能否通過向量運(yùn)算，求出向量、夾角的余弦值，進(jìn)而求出直線AM和CN夾角的余弦值.答案：（化為向量問題）以為基底，則，設(shè)向量和夾角為，則直線和夾角的余弦值為.（進(jìn)行向量運(yùn)算）而都是正三角形，所以，所以，，（回到圖形問題）所以，直線和夾角的余弦值為.小結(jié)：研究立體幾何問題要注意轉(zhuǎn)化思想，將立體幾何問題化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形，解決立體幾何問題.追問4：你能歸納出利用向量求空間直線與直線所成角的一般方法嗎？ 答案:任務(wù)二直線和平面所成的角已知直線AB與平面α相交與點(diǎn)B，求直線AB與平面α所成的角θ.問題2：斜線與平面所成的角的定義是什么？平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角；一條直線垂直于平面，它們所成的角是90o；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0o.直線與平面所成角的范圍:.追問：你能根據(jù)定義做出線面角θ嗎？答案：過直線上一點(diǎn)A，做平面α的垂線交平面α于點(diǎn)C，聯(lián)接BC，∠ABC即為直線AB與平面α所成的角θ.問題3:這個(gè)問題的已知條件是什么？如何將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題？答案：已知一條直線和一個(gè)平面，我們用一個(gè)點(diǎn)和方向向量表示直線，用一個(gè)點(diǎn)和法向量表示平面.因此，我們借助直線AB的方向向量u與平面α的法向量n的夾角<u,n>表示直線AB與平面α所成的角的大小.追問：直線AB與平面所成的角與直線AB的方向向量u與平面的法向量n的夾角<u,n>的關(guān)系？如何借助直線的方向向量u與平面的法向量n求直線和平面的夾角？答案：因?yàn)榛?，所以或，又因?yàn)樗匀蝿?wù)三平面和平面所成的角問題4:類比已有的直線、平面所成角的定義，你認(rèn)為合理定義兩個(gè)平面所成的角？答案：平面與平面相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90o的二面角稱為平面與平面的夾角.追問1：你能說說平面與平面的夾角與二面角的區(qū)別與聯(lián)系嗎？答案：二面角的大小是指其兩個(gè)半平面的張開程度，可以用其平面角的大小來定義，它的取值范圍是；而平面與平面的夾角是指平面與平面相交，形成的四個(gè)二面角中不大于90o的二面角，它的取值范圍是.追問2:角度是度量方向差異的量，那么決定平面方向的是什么？答案：在空間向量里，通過一個(gè)點(diǎn)和法向量可以確定唯一的平面.問題5：兩個(gè)平面的法向量夾角與兩個(gè)面夾角的關(guān)系？答案：答案：若平面α與平面β的法向量為n1，n2，則平面α與平面β的夾角即為向量為n1,n2的夾角或其補(bǔ)角.問題6:如何借助平面α與平面β的法向量為n1,n2求兩個(gè)平面的夾角？答案：追問：為何向量夾角余弦值的絕對(duì)值為兩個(gè)平面夾角的余弦值？答案：當(dāng)<n1，n2>≤90°，兩角相等時(shí)，當(dāng)<n1，n2>>90°，兩角互補(bǔ)時(shí)，綜上，【知識(shí)應(yīng)用】例3：如圖，直棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，，P為BC的中點(diǎn)，Q，R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.分析：平面PQR與平面A1B1C1夾角可以轉(zhuǎn)化為平面PQR與平面A1B1C1法向量的夾角，所以只需建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求出兩個(gè)平面的法向量的夾角即可.解：轉(zhuǎn)化為向量問題以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，C1A1，C1B1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面A1B1C1法向量為n1，平面PQR法向量為n2，平面PQR與平面A1B1C1夾角即為n1，n2的夾角或其補(bǔ)角.進(jìn)行向量運(yùn)算平面A1B1C1的一個(gè)法向量為n1=(0，0，1).由題意，P=(0，1，3)，Q=(2，0，2)，R=(0，2，1)，，