2020-2021學(xué)年河南省鶴壁高中高二下學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)（文）試題

河南省鶴壁高中2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期第一次段考文數(shù)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x﹣1＜9}，B＝{1，2，6，10}，則A∩B＝（）A．{1，2} B．{2，6} C．{1，2，6} D．{2，6，10}2．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足iz﹣2＝i，則|z|＝（）A． B． C．2 D．3．（5分）已知a＞0且a≠1，函數(shù)，若f（a）＝3，則f（﹣a）＝（）A．2 B． C． D．4．（5分）已知向量＝（，1），＝（，﹣1），則與的夾角為（）A． B． C． D．5．（5分）函數(shù)f（x）＝的部分圖象大致為（）A． B． C． D．6．（5分）已知雙曲線的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．y＝±2x7．（5分）“sin2α＝”是“tanα＝2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（5分）“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496，8128，，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．9．（5分）已知函數(shù)f（x）＝?﹣bx（a＞0，b＞0）的一個(gè)極值點(diǎn)為1，則ab的最大值為（）A．1 B．? C．? D．?10．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是BC的中點(diǎn)，則異面直線AD與A1C所成的角為（）A． B． C． D．11．（5分）已知直線l：與圓O：x2+y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，與l平行的直線l1與圓O交于M，N兩點(diǎn)，且△OAB與△OMN的面積相等，給出下列直線l1：①，②，③，④．其中滿足條件的所有直線l1的編號(hào)有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④12．函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣x+a只一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0]∪{2} B．[0，+∞）∪{﹣2} C．（﹣∞，0] D．[0，+∞）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上，圓柱的高和球半徑均為2，則該圓柱的底面半徑為．14．（5分）已知x，y滿足約束條件則z＝x﹣y的最大值為．15．（5分）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝，sinA＝，b＝，則△ABC的面積為．16．（5分）已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若∠ABF2＝90°，且△ABF2的三邊長(zhǎng)|BF2|，|AB|，|AF2|成等差數(shù)列，則C的離心率為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17．（12分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足an2﹣（n+1）an﹣2n2﹣n＝0．（1）求a1，a2及{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．18．（12分）語(yǔ)音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語(yǔ)音交互的智能音箱．主要代表有小米公司的“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過(guò)語(yǔ)音交互滿足人們的部分需求．某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購(gòu)買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”和100名購(gòu)買“天貓精靈”的人，具體數(shù)據(jù)如表：“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)男4560105女554095合計(jì)100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛(ài)同學(xué)”，有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”，試估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？附：P（K2≥k）0.100.050.0250.010.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥側(cè)面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，．（1）求證：C1B⊥平面ABC；（2）求點(diǎn)B1到平面ACC1A1的距離．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx+1（k≠0）與拋物線C：x2＝4py（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且當(dāng)k＝1時(shí)，|AB|＝8．（1）求p的值；（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，拋物線C在點(diǎn)A處的切線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，證明：MN∥y軸．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x+a（1﹣ex），a∈R．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a≥1時(shí)，證明：f（x）﹣alna+a≤1．（二）選考題；共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．（10分）在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線C與極軸所在直線圍成圖形的面積；（2）設(shè)曲線C與曲線交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．[選修4-5：不等式選講]23．已知f（x）＝﹣|x+a|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，畫出函數(shù)y＝f（x）的圖象；（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥﹣a2﹣1有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

鶴壁市高中2022屆高二下學(xué)期第一次段考文數(shù)答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【解答】解：A＝{x|1＜x＜10}，B＝{1，2，6，10}，∴A∩B＝{2，6}．故選：B．2．【解答】解：∵iz﹣2＝i，∴iz＝2+i，∴，故選：D．3．【解答】解：∵f（a）＝logaa+a＝3，∴a＝2，∴f（﹣a）＝．故選：C．4．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為θ，向量＝（，1），＝（，﹣1），則||＝2，||＝2，?＝3﹣1＝2，則，又由0≤θ≤π，則；故選：B．5．【解答】解：∵f（﹣x）＝＝f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)C和D，而當(dāng)時(shí)，f（x）≥0，排除選項(xiàng)B，故選：A．6．【解答】解：由已知可得c＝2b，∴c2＝4b2＝a2+b2，a2＝3b2，，所以雙曲線的漸近線方程為：．故選：A．7．【解答】解：或，即由sin2α＝不一定得到tanα＝2，反之，由tanα＝2一定得到sin2．∴“sin2α＝”是“tanα＝2”的必要不充分條件．故選：B．8．【解答】解：基本事件總數(shù)n＝10，6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝4，∴6和28不在同一組的概率．故選：C．9．解：由題意f′（x）＝x2﹣ax﹣b，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)為1，所以f′（1）＝0，即﹣a﹣b＝0，即a+b＝，所以ab≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立，所以ab的最大值為．故選：D．10．【解答】解：如圖，取B1C1中點(diǎn)E，連接A1E，CE，則A1E∥AD，∠A1EC＝90°，∴∠CA1E即為異面直線AD與A1C所成角，設(shè)AB＝2，則，，CE＝3，，∴．故選：C．11．【解答】解：由已知圓O：x2+y2＝4，圓心（0，0）到直線的距離d＝可求得圓心O到直線l的距離，所以①圓心（0，0）到直線的距離d＝所以弦長(zhǎng)為l＝，所以，故正確．②：圓心（0，0）到直線的距離d＝，所以，故正確③直線與不平行，故錯(cuò)誤．④圓心（0，0）到直線的距離d＝，所以弦長(zhǎng)為l＝，所以，故正確．故選：D．12．【解答】解：∵g（x）＝f（x）﹣x+a只有一個(gè)零點(diǎn)，∴函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝x﹣a有一個(gè)交點(diǎn)，作函數(shù)函數(shù)f（x）＝與函數(shù)y＝x﹣a的圖象如下，結(jié)合圖象可知，a≤0；函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝x﹣a有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，y＝ln（x﹣1），可得y′＝，令可得x＝2，所以函數(shù)在x＝2時(shí)，直線與y＝ln（x﹣1）相切，可得a＝2．故選：A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【解答】解：在圓柱底面圓周上任取一點(diǎn)A，設(shè)球心為O，圓柱的底面圓心為O′，則OA＝2，OO′＝1，∴O′A＝＝，即圓柱底面半徑為．故答案為：．14．【解答】解：不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z＝x﹣y得y＝x﹣z，平移直線y＝x﹣z，由平移可知當(dāng)直線y＝x﹣z，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）時(shí)，直線y＝x﹣z的截距最小，此時(shí)z取得最大值，代入z＝x﹣y得z＝1﹣0＝1，即z＝x﹣y的最大值是1，故答案為：1．15．【解答】解：∵a＜b，∴A＜B，，由余弦定理得，代入a＝，b＝，解得c＝2，∴△ABC的面積．故答案為：．16．【解答】解：由已知，△ABF2的三邊長(zhǎng)|BF2|，|AB|，|AF2|成等差數(shù)列，設(shè)|BF2|＝x，|AB|＝x+d，|AF2|＝x+2d，∠ABF2＝90°，據(jù)勾股定理：x2+（x+d）2＝（x+2d）2，可得：x2＝2dx+3d2，解得x＝3d；由橢圓定義知△ABF2的周長(zhǎng)為4a，|BF2|＝x＝3d，|AB|＝x+4d，|AF2|＝x+2d＝5d，所以3d+4d+5d＝4a，所以a＝3d，|BF2|＝a＝|BF1|；在直角△BF2F1中，由勾股定理，a2+a2＝（2c）2，即2a2＝4c2，∴離心率e＝＝．故答案為：．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17．【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，，∴a1＝3；當(dāng)n＝2時(shí)，，∴a2＝5；由已知可得（an+n）[an﹣（2n+1）]＝0，且an＞0，∴an＝2n+1．（2）設(shè)，∴，{bn}是公比為4的等比數(shù)列，．18．【解答】解：（1）根據(jù)題意，估計(jì)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有（人），估計(jì)購(gòu)買“天貓精靈”的女性有（人），由7150﹣4800＝2350，所以估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多2350人；（2）根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算K2＝≈4.511＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)．19．解：（1）因?yàn)閭?cè)面AB⊥BB1C1C，BC1?側(cè)面BB1C1C，故AB⊥BC1，…（2分）在△BCC1中，由余弦定理得：＝＝3所以故，所以BC⊥BC1，…（4分）而BC∩AB＝B，所以BC1⊥平面ABC…（6分）（2）點(diǎn)B1轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B，，…（8分）…（10分）又所以點(diǎn)B1到平面ACC1A1的距離為…（12分）20．【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將直線l：y＝x+1代入C中整理得：x2﹣4px﹣4p＝0，∴x1+x2＝4p，x1x2＝﹣4p，∴，解得p＝1．（2）證明：同（1）假設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由得，從而拋物線在點(diǎn)A點(diǎn)處的切線方程為，即，令y＝﹣1得，由（1）知﹣4＝x1x2，從而，這表明MN∥y軸．21．【解答】解：（1）f'（x）＝1﹣aex．當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）在R上遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＝0解得x＝﹣lna，x∈（﹣∞，﹣lna）時(shí)，f'（x）＞0；x∈（﹣lna，+∞）時(shí)，f'（x）＜0．此時(shí)f（x）在（﹣∞，﹣lna）遞增，在（﹣lna，+∞）上遞減．（2）證明：由（1）知f（x）在x＝﹣lna處取得最大值，設(shè)g（a）＝a﹣lna﹣1﹣alna+a，則，令，則，故h（a）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，∴h（a）≤h（1）＝0，即g'（a）≤0，∴g（a）≤g（1）＝1，∴f（﹣lna）﹣alna+a≤1，∴f（x）﹣alna+a≤1．（二）選考題；共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．【解答】解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程，可知曲線C與極軸所在直線圍成圖形是一個(gè)半徑為1的圓和一個(gè)直角邊分別為1與的直角三角形，∴圍成圖形的面積．（2）由得，其直角坐標(biāo)為，化直角坐標(biāo)方程為，化直角坐標(biāo)方程為，∴，∴|AB|＝．[選修4-5：不等式選講