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文檔簡介

布洛赫定理布洛赫定理1布洛赫定理3布里淵區(qū)2波矢的取值和范圍本節(jié)主要內(nèi)容:§5.1布洛赫定理5.1.1布洛赫定理1.晶格的周期性勢場(3)理想晶體中原子排列具有周期性，晶體內(nèi)部的勢場具有周期性；(1)在晶體中每點(diǎn)勢能為各個原子實(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的勢能之和；(2)每一點(diǎn)勢能主要決定于與核較近的幾個原子實(shí)(因?yàn)閯菽芘c距離成反比)；(4)電子的影響：電子均勻分布于晶體中，其作用相當(dāng)于在晶格勢場中附加了一個均勻的勢場，而不影響晶體勢場的周期性。其中為任意格點(diǎn)的位矢。電子在一個具有晶格周期性的勢場中運(yùn)動2.布洛赫定理當(dāng)勢場具有晶格周期性時，波動方程的解具有如下性質(zhì)：其中為電子波矢，是格矢。在晶格周期性勢場中運(yùn)動的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。3.證明布洛赫定理(1)引入平移對稱算符(2)說明:(3)根據(jù)布洛赫定理波函數(shù)寫成如下形式：(1)平移對稱算符(2)晶體中單電子哈密頓量具有晶格周期性。平移對稱操作算符與哈密頓算符是對易的。在直角坐標(biāo)系中：由于對易的算符有共同的本征函數(shù)，所以如果波函數(shù)是的本征函數(shù)，那么也一定是算符的本征函數(shù)。根據(jù)平移特點(diǎn)(3)可得到即由周期性邊界條件根據(jù)上式可得到同理可得：這樣的本征值取下列形式引入矢量式中為晶格三個倒格基矢，由于,---布洛赫定理再證明布洛赫波函數(shù)具有如下形式：可以看出平面波能滿足上式。因此矢量具有波矢的意義。當(dāng)波矢增加一個倒格矢，平面波也滿足上式。因此電子的波函數(shù)一般是這些平面波的線性疊加則上式化為即晶體中電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。另外一種證明方法:已知:證明:設(shè)求證其中為待定函數(shù)由定義由已知可以認(rèn)為電子在整個晶體中自由運(yùn)動。布洛赫函數(shù)的平面波因子描述晶體中電子的共有化運(yùn)動，而周期函數(shù)的

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