第1節(jié)-向量及其線性運算分解

第七章空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)向量及其線性運算其次節(jié)數(shù)量積向量積*混合積第三節(jié)曲面及其方程第四節(jié)空間曲線及其方程第五節(jié)平面及其方程第六節(jié)空間直線及其方程521數(shù)量關系

—第七章第一部分向量代數(shù)其次部分空間解析幾何在三維空間中:空間形式

—點,

線,

面基本方法

—坐標法;向量法坐標,方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)522本章的主要內容1．空間直角坐標系2．向量代數(shù)向量代數(shù)的基本概念：向量、空間一點的矢徑、向量的模、單位向量、向量的方向余弦向量的基本運算：向量的加減法、向量的數(shù)乘（實數(shù)與向量相乘）、向量的數(shù)量積（點乘、內積）、向量的向量積（叉乘、外積）向量的基本性質3．空間平面平面方程：點法式、一般式、截距式。兩平面間的關系、點到平面的距離523本章的主要內容4．空間直線直線方程：標準式、參數(shù)式、一般式、兩點式。兩直線間的關系、直線與平面的關系5．空間曲面一般方程、柱面方程、旋轉曲面方程、常見的二次曲面6．空間曲線一般方程、參數(shù)方程、空間曲線在坐標面上的投影曲線524難點1.向量積與混合積．2.分析建立軌跡方程應滿足的條件3.利用向量積、平面束等學問解題4.熟悉截痕法用于畫出方程所表示的圖形525四、利用坐標作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運算第七章526教學目的了解向量的概念，駕馭向量的加減法運算及向量與數(shù)的乘法運算及性質；了解向量在軸上的投影，向量的重量及向量的坐標，向量的模及方向余弦的坐標表示式；了解空間直角坐標系的概念，駕馭空間的點與三元有序數(shù)組之間的一一對應關系。527基本要求完成向量的加法及向量與數(shù)的乘法運算的有關練習，給定兩非零向量能用幾何方法快速作出他們的差；了解坐標面上的點，坐標軸上的點，關于坐標面對稱的點，關于坐標軸對稱的點，關于原點對稱的點的特征。會用向量的坐標進行向量的加、減法運算。會用向量的坐標計算向量的數(shù)乘、模，方向余弦，給定一個非零向量會求與其同方向的單位向量等。528留意事項熟悉概念：向量，向徑，自由向量，向量相等，向量的模，單位向量，零向量，兩向量平行。駕馭向量的加法及向量與數(shù)的乘法運算；了解一非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量?？臻g直角坐標系→建立三維空間的最基本的幾何元素―點與有序數(shù)組之間的聯(lián)系→，從而可以用代數(shù)方法來探討幾何問題。對于向量的運算（加、減、數(shù)乘、模，方向余弦及將要學習的內積，向量積）就可以轉換為向量的坐標之間的數(shù)的運算。529一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量.向量

有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量用一條有方向的線段(稱為有向線段)表示.向量的表示法

5210一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量.向量

向量可用粗體字母、

或加箭頭的書寫體字母表示.

以A為起點、B為終點的有向線段所表示的向量記作AB

→向量用一條有方向的線段(稱為有向線段)表示.向量的表示法

與起點無關的向量,稱為自由向量,簡稱向量.自由向量

5211假如向量a和b的大小相等,且方向相同,則說向量a和b是相等的,記為a=b.

相等的向量經過平移后可以完全重合。向量的相等5212向量的模向量的大小叫做向量的模.單位向量

模等于1的向量叫做單位向量.零向量零向量的起點與終點重合,它的方向可以看作是隨意的.假如向量a和b的大小相等,且方向相同,則說向量a和b是相等的,記為a=b.向量的相等5213向量的平行兩個非零向量假如它們的方向相同或相反,就稱這兩個向量平行.向量a與b平行,記作a//b.a//b//c零向量認為是與任何向量都平行.當兩個平行向量的起點放在同一點時它們的終點和公共的起點在一條直線上因此兩向量平行又稱兩向量共線

共線向量與共面對量5214向量的平行兩個非零向量假如它們的方向相同或相反,就稱這兩個向量平行.向量a與b平行,記作a//b.零向量認為是與任何向量都平行.共線向量與共面對量當兩個平行向量的起點放在同一點時它們的終點和公共的起點在一條直線上因此兩向量平行又稱兩向量共線

設有k(k3)個向量當把它們的起點放在同一點時假如k個終點和公共起點在一個平面上就稱這k個向量共面5215二、向量的線性運算設有兩個向量a與b,平移向量,使b的起點與a的終點重合,則從a的起點到b的終點的向量c稱為向量a與b的和,記作a+b,即c=a+b.1.向量的加法

c=a+b三角形法則平行四邊形法則5216向量的加法的運算規(guī)律

(1)交換律a+b=b+a;(2)結合律(a+b)+c=a+(b+c).5217向量的減法向量b與a的差規(guī)定為

b-a=b+(-a).負向量三角不等式

|a+b||a|+|b|,|a-b||a|+|b|,等號在b與a同向或反向時成立.與向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的負向量,記為-a.5218當=0時,|a|=0,即a為零向量.向量a與實數(shù)的乘積記作a,規(guī)定a是一個向量,它的模|a|=|||a|,它的方向當>0時與a相同,當<0時與a相反.>>>2.向量與數(shù)的乘法當=-1時,有(-1)a=-a.當=1時,有1a=a;5219(1)結合律(a)=(a)=()a;(2)安排律(+)a=a+a;(a+b)=a+b.向量與數(shù)的乘積的運算規(guī)律向量的單位化于是a=|a|ea.當=0時,|a|=0,即a為零向量.向量a與實數(shù)的乘積記作a,規(guī)定a是一個向量,它的模|a|=|||a|,它的方向當>0時與a相同,當<0時與a相反.2.向量與數(shù)的乘法當=-1時,有(-1)a=-a.當=1時,有1a=a;設a0,則向量是與a同方向的單位向量,記為ea.5220

例1

形對角線的交點.于是

解

由于平行四邊形的對角線相互平分,所以5221例2化簡解5222*例3試證：任一個三角形的三條中線向量可以構成一個三角形。證ABCDEF5223設向量a0,那么,向量b平行于a的充分必要條件是:存在唯一的實數(shù),使b=a.定理1(向量平行的充要條件)

給定一個點O及一個單位向量i就確定了一條數(shù)軸Ox并且軸上的點P與實數(shù)x有一一對應的關系:

點P實數(shù)x實數(shù)x稱為軸上點P的坐標

數(shù)軸與點的坐標5224說明：三、空間直角坐標系

空間直角坐標系

y軸z軸原點x軸在空間取定一點O和三個兩兩垂直的單位向量i、j、k就確定了三條都以O為原點的兩兩垂直的數(shù)軸

依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)統(tǒng)稱為坐標軸它們構成一個空間直角坐標系稱為Oxyz坐標系

(2)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則.(1)通常把x軸和y軸配置在水平面上,而z軸則是鉛垂線;5225在空間直角坐標系中,隨意兩個坐標軸可以確定一個平面,這種平面稱為坐標面.坐標面三個坐標面分別稱為xOy面,yOz面和zOx面.5226在空間直角坐標系中,隨意兩個坐標軸可以確定一個平面,這種平面稱為坐標面.坐標面三個坐標面分別稱為xOy面,yOz面和zOx面.卦限坐標面把空間分成八個部分,每一部分叫做卦限,分別用字母I、II、III、IV等表示.5227Ⅶ面面面空間直角坐標系共有三個坐標面、ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ八個卦限5228各卦限中點的坐標的特點ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ一一對應5229向量的坐標分解式以OM為對角線、三條坐標軸為棱作長方體有5230向量的坐標分解式上式稱為向量r的坐標分解式

xi、yj、zk稱為向量r沿三個坐標軸方向的分向量

點M、向量r與三個有序x、y、z之間有一一對應的關系任給向量r存在點M及xi、yj、zk使有序數(shù)x、y、z稱為向量r的坐標

記作r(x

y

z)

有序數(shù)x、y、z也稱為點M的坐標

記為M(x

y

z)

5231向量的坐標分解式上式稱為向量r的坐標分解式

xi、yj、zk稱為向量r沿三個坐標軸方向的分向量

任給向量r存在點M及xi、yj、zk使有序數(shù)x、y、z稱為向量r的坐標

記作r(x

y

z)

有序數(shù)x、y、z也稱為點M的坐標

記為M(x

y

z)

向量稱為點M關于原點O的向徑

5232坐標面上和坐標軸上的點其坐標各有確定的特征例如點M在yOz面上則x0點M在zOx面上的點y0點M在xOy面上的點z0點M在x軸上則yz0點M在y軸上,有zx0點M在z軸上的點有xy0點M為原點則xyz0坐標軸上及坐標面上點的特征5233提示：

a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,a-b=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k,a=(ax)i+(ay)j+(az)k.設a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),則a=(ax,ay,az).ab=(axbx,ayby,azbz),四、利用坐標作向量的線性運算

5234例4其中a=(212)

b=(-11

-2).

解

猶如解二元一次線性方程組可得x2a3by3a5b

以a、b的坐標表示式代入即得x2(212)3(11

2)(7

110)y3(212)5(11

2)(11

216)

設a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),則a=(ax,ay,az).ab=(axbx,ayby,azbz),5235利用坐標推斷兩個向量的平行設a=(ax,ay,az)0,b=(bx,by,bz),因為b//a

ba,即b//a(bx,by,bz)=(ax,ay,az),所以b//a

設a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),則a=(ax,ay,az).ab=(axbx,ayby,azbz),5236

解

例5已知兩點A(x1

y1

z1)和B(x2

y2

z2)以及實數(shù)1

這就是點M的坐標

由于5237五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模與兩點間的距離公式按勾股定理可得有|OP||x||OQ||y||OR||z|

于是得向量模的坐標表示式52381.向量的模與兩點間的距離公式設向量r(x

y

z)作則設有點A(x1

y1

z1)和點B(x2

y2

z2)則(x2

y2

z2)(x1

y1

z1)(x2x1

y2y1

z2z1)于是點A與點B間的距離為5239

例6求證以M1(431)、M2(712)、M3(523)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形

1.向量的模與兩點間的距離公式設向量r(x

y

z)作則設有點A(x1

y1

z1)和點B(x2

y2

z2)則所以|M2M3||M1M3|即DM1M2M3為等腰三角形|M1M3|26(54)2(23)2(31)26

(57)2(21)2(32)2|M2M3|214

(74)2(13)2(21)2|M1M2|2

解因為5240

例7在z軸上求與點A(417)和B(35

2)等距離的點

1.向量的模與兩點間的距離公式設向量r(x

y

z)作則設有點A(x1

y1

z1)和點B(x2

y2

z2)則即(04)2(01)2(z7)2設所求的點為M(00

z)

解依題意有|MA|2|MB|2(30)2(50)2(2z)25241解設P點坐標為所求點為5242

例9已知兩點A(405)和B(713)求與方向相同的單位向量e

解52432.方向角與方向余弦兩個向量的夾角當把兩個非零向量a與b的起點放到同一點時兩個向量之間的不超過的夾角稱為向量a與b的夾角記作(a^b)或(b^a)

假如向量a與b中有一個是零向量規(guī)定它們的夾角可以在0與之間隨意取值類似地可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角

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