2020屆華大新高考聯(lián)盟名校高三考試數(shù)學(xué)（理）試題

/26/26/2020屆華大新高考聯(lián)盟名校高三押題考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】本題首先可以通過(guò)計(jì)算得出集合或以及集合，然后通過(guò)交集的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，解得或，所以集合或，因?yàn)?，解得，所以集合，故，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，主要考查交集的相關(guān)性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及絕對(duì)值不等式的解法，考查計(jì)算能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性與綜合性，是簡(jiǎn)單題.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】轉(zhuǎn)化為，再利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】解：由題知，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，是考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.3．隨著電商行業(yè)的蓬勃發(fā)展，快遞行業(yè)近幾年也保持著增長(zhǎng)的態(tài)勢(shì)，我國(guó)已經(jīng)成為快遞大國(guó)，快遞業(yè)已成為人民群眾生活的“必需品”.下圖是2015年—2019年，我國(guó)對(duì)快遞行業(yè)發(fā)展的統(tǒng)計(jì)圖.下面描述錯(cuò)誤的是（）A．從2015到2019年，我國(guó)快遞業(yè)務(wù)量保持逐年增長(zhǎng)的趨勢(shì)B．2016年，快遞業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)速度最快C．從2016到2019年，快遞業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)速度連續(xù)上升D．從2016到2019年，快遞業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)速度逐年放緩【答案】C【解析】本題首先可以結(jié)合圖像判斷出A正確，然后求出從2016到2019年每一年的快遞業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)率，即可得出結(jié)果.【詳解】結(jié)合圖像易知，我國(guó)快遞業(yè)務(wù)量保持逐年增長(zhǎng)的趨勢(shì)，A正確，2016年，快遞業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)率為；2017年，快遞業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)率為；2018年，快遞業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)率為；2019年，快遞業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)率為；故2016年的快遞業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)速度最快，B正確，從2016到2019年，快遞業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)速度逐年放緩，C錯(cuò)誤，D正確，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)增長(zhǎng)率的理解，能否從題意中找出需要的信息是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是簡(jiǎn)單題.4．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算，化為同底的對(duì)數(shù)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】解：∵，∴∵，∴綜上.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】首先根據(jù)奇函數(shù)，排除A、D，再根據(jù)，，排除C，即可得到答案?！驹斀狻康亩x域?yàn)?，∵，∴函?shù)奇函數(shù)，排除A、D，又因?yàn)椋?，排除C。故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象，同時(shí)考查了函數(shù)的奇偶性，特值法為解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題。6．2020年湖北抗擊新冠肺炎期間，全國(guó)各地醫(yī)護(hù)人員主動(dòng)請(qǐng)纓，支援湖北.某地有3名醫(yī)生、6名護(hù)士來(lái)到武漢，他們被隨機(jī)分到3家醫(yī)院，每家醫(yī)院1名醫(yī)生、2名護(hù)士，則醫(yī)生甲和護(hù)士乙分到同一家醫(yī)院的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，先求分醫(yī)生的方案數(shù)，再求分護(hù)士的方案數(shù)，兩者相乘得到總的方案數(shù)；求醫(yī)生甲、護(hù)士乙和另一名護(hù)士作為一組分到同一家醫(yī)院方案數(shù)，再求剩下的2名醫(yī)生分到另兩家醫(yī)院的方案數(shù)，再求剩下的4名護(hù)士分到另兩家醫(yī)院的方案數(shù)，三者相乘得到醫(yī)生甲和護(hù)士乙分到同一家醫(yī)院的方案數(shù)，則概率可求.【詳解】3名醫(yī)生分到三家醫(yī)院的方案有，6名護(hù)士分到三家醫(yī)院的方案有，所以分配方案共有.醫(yī)生甲、護(hù)士乙和另一名護(hù)士作為一組分到同一家醫(yī)院方案有，剩余的2名醫(yī)生分到另2家醫(yī)院方案有，剩余的4名護(hù)士分到另2家醫(yī)院方案有，所以醫(yī)生甲和護(hù)士乙分到同一家醫(yī)院的方案共有，則醫(yī)生甲和護(hù)士乙分到同一家醫(yī)院的概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理和古典概型的應(yīng)用，屬于中檔題.7．中，、分別是、上的點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則下列式子正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】作出圖形，連接，利用相似三角形計(jì)算得出，進(jìn)而可得出，結(jié)合平面向量的基本定理可得解.【詳解】如下圖所示：連接，則，，，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用基底表示平面向量，解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8．珠穆朗瑪峰是印度洋板塊和歐亞板塊碰撞擠壓形成的．這種擠壓一直在進(jìn)行，珠穆朗瑪峰的高度也一直在變化．由于地勢(shì)險(xiǎn)峻，氣候惡劣，通常采用人工攀登的方式為珠峰“量身高”．攀登者們肩負(fù)高精度測(cè)量?jī)x器，采用了分段測(cè)量的方法，從山腳開(kāi)始，直到到達(dá)山頂，再把所有的高度差累加，就會(huì)得到珠峰的高度．2020年5月，中國(guó)珠峰高程測(cè)量登山隊(duì)8名隊(duì)員開(kāi)始新一輪的珠峰測(cè)量工作．在測(cè)量過(guò)程中，已知豎立在點(diǎn)處的測(cè)量覘標(biāo)高10米，攀登者們?cè)谔帨y(cè)得到覘標(biāo)底點(diǎn)和頂點(diǎn)的仰角分別為70°，80°，則、的高度差約為（）A．10米 B．9.72米 C．9.40米 D．8.62米【答案】C【解析】先根據(jù)題意建立三角形模型，再根據(jù)三角形的知識(shí)求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)出如圖的模型，則，，，所以，，所以，所以在中，（米）故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)建模能力，是基礎(chǔ)題.9．雙曲線的方程為：（，），過(guò)右焦點(diǎn)作雙曲線一條漸近線的平行線，與另一條漸近線交于點(diǎn)，與雙曲線右支交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】求出雙曲線的漸近線方程，求出過(guò)右焦點(diǎn)的直線方程，求出的坐標(biāo)，得到中點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，求解即可.【詳解】雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程不妨為：，則過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作一條漸近線的平行線為：由，解得，線段的中點(diǎn)恰好在此雙曲線上，可得：，即，得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線離心率的求法，屬于中檔題.10．中，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】本題首先可以根據(jù)得出，然后根據(jù)得出，與聯(lián)立解得，最后將、代入中即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，代入，解得，再將、代入中，即，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化以及余弦定理解三角形，考查的公式為，考查計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.11．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有4個(gè)實(shí)根，，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖象，利用方程恰好有4個(gè)實(shí)根，可得，設(shè)，進(jìn)而可得，可得，故可得結(jié)論.【詳解】由題意，函數(shù)，則函數(shù)的圖象為：由圖象可知，方程恰好有4個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)，設(shè)，則為方程的兩個(gè)實(shí)根，故，由，即，即，所以，，而，故的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，分析能力，屬于基礎(chǔ)題.12．正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)，分別在棱，上，且，，下列命題：①異面直線，所成角的余弦值為；②過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體，截面為等腰梯形；③三棱錐的體積為；④過(guò)作平面，使得，則平面截正方體所得截面面積為．其中所有真命題的序號(hào)為（）A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【解析】對(duì)于①：取的三等分點(diǎn)為，使，利用已知條件找到異面直線，所成的角，即可得出結(jié)果；對(duì)于②：取的三等分點(diǎn)為，使，利用已知條件得到四邊形即為所求截面，即可得出結(jié)論；對(duì)于③：利用等體積法求解即可；對(duì)于④：取的三等分點(diǎn)為，使，取的三等分點(diǎn)為，使，猜想出面即為所求的截面，建立空間坐標(biāo)證明推測(cè)，代入數(shù)值即可求出結(jié)論【詳解】對(duì)于①：取的三等分點(diǎn)為，使，又，且，四邊形為平行四邊形，且，四邊形為平行四邊形，，則為異面直線，所成的角，連接，由題意得：，所以；故①正確；對(duì)于②：取的三等分點(diǎn)為，使，又，且，四邊形為平行四邊形，則且，又由①得：且，則且，四邊形為平行四邊形，，取的中點(diǎn)為，連接，又，，則四邊形即為所求截面，由題意知：，則②不正確；對(duì)于③：，又面，，，故③正確；對(duì)于④：取的三等分點(diǎn)為，使，取的三等分點(diǎn)為，使，，則面即為所求的截面，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則，，，所以面；由已知條件得：，等腰梯形的高為：，所以截面面積為：.故④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成角以及線線平行問(wèn)題，還考查了等體積法求四棱錐的體積以及利用空間向量解決線面垂直問(wèn)題；問(wèn)題的關(guān)鍵是截面不容易找.屬于較難題.二、填空題13．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】6【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，如下圖陰影部分，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，求解即可.【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，如下圖陰影部分，聯(lián)立，可得，目標(biāo)函數(shù)可化為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】先求出切點(diǎn)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率，進(jìn)而可求出切線方程.【詳解】由題意，，即切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，，則，即切線的斜率為，所以切線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.15．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，，則四邊形面積的最小值為_(kāi)_____．【答案】2【解析】易知直線和的斜率都存在且不為0，設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，可求出的表達(dá)式，同理可得出的表達(dá)式，由四邊形的面積，并結(jié)合基本不等式可求得面積的最小值.【詳解】由題意可知，直線和的斜率都存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為，聯(lián)立，得，則，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以四邊形面積的最小值為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系應(yīng)用，弦長(zhǎng)的求法，基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、雙空題16．如圖有標(biāo)號(hào)為1，2，3的三根柱子，在1號(hào)柱子上套有個(gè)金屬圓片，從下到上圓片依次減小.按下列規(guī)則，把金屬圓片從1號(hào)柱子全部移到3號(hào)柱子，要求：①每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬圓片；②較大的金屬圓片不能在較小的金屬圓片上面．（1）若時(shí)，至少需要移動(dòng)______次；（2）將個(gè)金屬圓片全部移到3號(hào)柱子，至少需要移動(dòng)______次．【答案】7【解析】分別討論時(shí)，的值，再合情推理即可.【詳解】解：設(shè)是把個(gè)金屬圓片從1號(hào)柱子移到3號(hào)柱子過(guò)程中移動(dòng)的金屬圓片最少次數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，小金屬圓片移到2號(hào)柱，大金屬圓片移3號(hào)柱，再將小金屬圓片從2號(hào)柱移到3號(hào)柱，完成任務(wù)，所以共移動(dòng)的次數(shù)為：；當(dāng)時(shí)，用種方法把中、小金屬圓片移動(dòng)到2號(hào)柱，大金屬圓片移動(dòng)到3號(hào)柱，再用種方法把中、小金屬圓片移動(dòng)到2號(hào)柱移動(dòng)到3號(hào)柱，完成任務(wù)，所以共移動(dòng)的次數(shù)為：；當(dāng)時(shí)，用種方法把前三片金屬圓片移動(dòng)到2號(hào)柱，最后一片大金屬圓片移動(dòng)到3號(hào)柱，再用種方法把2號(hào)柱金屬圓片移動(dòng)到3號(hào)柱，完成任務(wù)，所以共移動(dòng)的次數(shù)為：；以此類推，【點(diǎn)睛】本題考查合情推理知識(shí)點(diǎn)，考查邏輯推理能力，是中檔題.四、解答題17．已知函數(shù)的周期為．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）先利用降冪公式和輔助角公式將函數(shù)化成，再根據(jù)周期求得，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）利用正弦函數(shù)的圖象，解不等式即可.【詳解】解：（1），，．∴，解得，∴的遞增區(qū)間為，（2）∵，∴，∴，∴，，解得：，．∴的的取值范圍為，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解，三角不等式的解法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是中檔題.18．如圖，，，均為正三角形，，中點(diǎn)為，將沿翻折，使得點(diǎn)折到點(diǎn)的位置．（1）證明：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證，，證用線面垂直的判定可得；（2）證，得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，使用空間向量求二面角的平面角即可.【詳解】（1）證明：∵，，為正三角形，中點(diǎn)為，∴，，，∴平面，∵，∴，∴平面．（2）解：，，∴．∵，，∴，，兩兩垂直．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．設(shè)平面的法向量為，，，，，令，得，．設(shè)平面的法向量為，，，，，令，得，，∵二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為，【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直判定及計(jì)算二面角大小.計(jì)算二面角大小的常用方法:分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過(guò)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）；（2）1【解析】（1）設(shè)，由，可建立等式關(guān)系，進(jìn)而可得到軌跡方程；（2）設(shè)直線方程為，與曲線方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，及的表達(dá)式，然后再求得的表達(dá)式，進(jìn)而可得到的關(guān)系式，求出最小值即可.【詳解】（1）設(shè)，根據(jù)題意有，化簡(jiǎn)得：．（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，得，，，，∴，則，，，所以，則，令，，則在上單調(diào)遞增，∴時(shí)，，取得最小值1．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程，注意點(diǎn)的范圍，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.20．某縣自啟動(dòng)精準(zhǔn)扶貧工作以來(lái)，將倫晩臍橙種植作為幫助農(nóng)民脫貧致富的主導(dǎo)產(chǎn)業(yè).今年5月，倫晩臍橙喜獲豐收.現(xiàn)從已采摘的倫晩中隨機(jī)抽取1000個(gè)，測(cè)量這些果實(shí)的橫徑，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）已知這1000個(gè)倫晩臍橙橫徑的平均數(shù)，求這些倫晩臍橙橫徑方差．（2）根據(jù)頻率分布直方圖，可以認(rèn)為全縣豐收的倫晚橫徑值近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．（?。┤粢?guī)定橫徑為的為一級(jí)果，則從全縣豐收的果實(shí)中任取一個(gè)，求恰好為一級(jí)果的概率；（ⅱ）若規(guī)定橫徑為84.7mm以上的為特級(jí)果，現(xiàn)從全縣豐收果實(shí)中任取一個(gè)進(jìn)行進(jìn)一步分析，如果取到的不是特級(jí)果，則繼續(xù)抽取下一個(gè)，直到取到特級(jí)果為止，但抽取的總次數(shù)不超過(guò)，如果抽取次數(shù)的期望值不超過(guò)8，求的最大值．（附：，，，，，若，則，）【答案】（1）37.5；（2）（?。?.025；（ⅱ）8.【解析】（1）根據(jù)方差的計(jì)算公式，即可求得倫晩臍橙橫徑方差；（2）（ⅰ）由全縣豐收的橫徑值近似服從正態(tài)分布，即可求得相應(yīng)的概率；（ⅱ）由（2）求得每次取一個(gè)，取到特級(jí)果的概率，求得期望的表達(dá)式，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由這1000個(gè)倫晩臍橙橫徑的平均數(shù)，根據(jù)方差的計(jì)算公式，可得．（2）（?。┯深l率分布直方圖，全縣豐收的橫徑值近似服從正態(tài)分布，可得．（ⅱ）由（2）可得，即每次取一個(gè)，取到特級(jí)果的概率，123……則，可得，兩式相減得：，，所以在上遞增，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，∴的最大值為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖中方差的計(jì)算及應(yīng)用，以及正態(tài)分布的概率的計(jì)算，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及計(jì)算能力.21．已知函數(shù)．（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：對(duì)任意的，不等式恒成立．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求導(dǎo)得，由，；，；，，可得到的單調(diào)區(qū)間；（2），要證成立，即證，易知，即證，即，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)可證明恒成立，從而證明即可.【詳解】（1），，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增．∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）證明：，，要證成立，即證，因?yàn)?，所以，所以．即證，即．令，，顯