2021屆高考沖刺金卷（新課改5月）數(shù)學(xué)試題

/22/22/2021屆高考沖刺金卷（新課改5月）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，所以，所以．故選：C．2．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】，，所以.故選:C．3．火車站流動(dòng)旅客較多，本著“疫情防控不松懈，健健康康過(guò)春節(jié)”的精神，某火車站安排6名防疫工作人員每天分別在，，三個(gè)進(jìn)出口對(duì)旅客進(jìn)行防護(hù)宣傳與檢查工作，每名工作人員只去1個(gè)進(jìn)出口，進(jìn)出口安排1名，進(jìn)出口安排2名，剩下的人員到進(jìn)出口，則不同的安排方法共有（）A．48種 B．60種 C．100種 D．120種【答案】B【分析】應(yīng)用分步計(jì)數(shù)，首先從6人選1人去A，再?gòu)?人選2人去B，最后安排C，由乘法公式求不同的安排方法數(shù).【詳解】1、從6名工作人員中選1名去進(jìn)出口，方法數(shù)有；2、從其余5名工作人員中選2名去進(jìn)出口，方法數(shù)有；3、剩下的3名工作人員去進(jìn)出口，方法數(shù)有．∴故不同的安排方法共有種．故選：B．4．在平行四邊形中，設(shè)，，為的中點(diǎn)，與交于，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接與交于，根據(jù)為三角形的重心，結(jié)合向量的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】連接與交于，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為三角形的重心，所以.故選：B.5．已知圓柱中，點(diǎn)，，為底面圓周上的三點(diǎn)，為圓柱的母線，，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】由圓柱母線的性質(zhì)易得平面，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)面面垂直的判定及性質(zhì)可知為點(diǎn)到平面的距離，由結(jié)合已知，即可求.【詳解】如圖所示，由題意知：平面，平面，∴平面平面，又面面，∴過(guò)點(diǎn)作，則平面，即為點(diǎn)到平面的距離，在△中，，故，故選：A6．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則的值為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】由題知，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義求解即可.【詳解】由題知，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，，所以由雙曲線的定義可知，解得.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的定義求解.7．（，為非零常數(shù)）是數(shù)列滿足：的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【分析】由可得成立，反之舉反例可得必要性不成立；【詳解】∵（，為非零常數(shù)），∴，∴，∴，∴是的充分條件．若則，但（，為非零常數(shù)）不成立，所以不是必要的．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)的交會(huì)，求解時(shí)證明結(jié)論不成立，可舉反例說(shuō)明.8．已知隨機(jī)變量的分布列是01隨機(jī)變量的分布列是123以下錯(cuò)誤的為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，以及概率的計(jì)算和期望的計(jì)算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以A正確．對(duì)于B中，，所以B正確．對(duì)于C中，，，所以，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，，，，，，計(jì)算得，所以，所以D正確.故選：C．二、多選題9．若展開(kāi)式所有項(xiàng)的系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和均為32，則下面結(jié)論正確的是（）A． B．展開(kāi)式中含的系數(shù)為270C．展開(kāi)式的第4項(xiàng)為 D．展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)【答案】ABC【分析】令，可得展開(kāi)式所有項(xiàng)的系數(shù)之和，解之求得n；可判斷A選項(xiàng)，再運(yùn)用二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】令，由題意可得，∴，．∴二項(xiàng)式為，∴A對(duì)；∴，令，計(jì)算可知展開(kāi)式中含的系數(shù)為270，∴B對(duì)；令，所以，所以展開(kāi)式的第4項(xiàng)為．∴C對(duì)；令，解得，而，所以展開(kāi)式中不含有常數(shù)項(xiàng)，故選：ABC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解．10．流行病學(xué)調(diào)查，簡(jiǎn)稱“流調(diào)”，是疫情防控工作中的重要一環(huán)，它為描繪清晰的病毒傳播鏈、判定密切接觸者、采取隔離措施以及劃定消毒范圍提供了科學(xué)依據(jù)．下圖是某地183名“新冠”病例年齡分布“流調(diào)”數(shù)據(jù)，以下關(guān)于“流調(diào)”說(shuō)法正確的是（）A．51～60歲的中年人感染風(fēng)險(xiǎn)最高B．年齡的中位數(shù)在51～60歲之間C．嬰幼兒抵抗能力較強(qiáng)D．“隔離”相關(guān)人員是防止病毒傳播的重要措施之一【答案】ABD【分析】根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由圖可知，歲感染46人最多，所以A正確；由于，，所以年齡的中位數(shù)在51至60歲之間，故B正確；中老年人外出較多，因此感染的風(fēng)險(xiǎn)就越高，而嬰兒和外界接觸少是感染者少的主要原因，并不是因?yàn)榈挚沽?qiáng)，所以C錯(cuò)誤，D正確．故選：ABD．11．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為【答案】AD【分析】由圖象可得函數(shù)的周期，求得，判定A正確；根據(jù)五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法求得，可判定B錯(cuò)，由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可判定C錯(cuò)，D正確．【詳解】由圖象可得函數(shù)的周期，解得，所以A正確；由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得，因?yàn)?，所以，所以B錯(cuò)，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，取，得的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，所以C錯(cuò)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，即，所以D對(duì)．故選：AD.12．設(shè)函數(shù)滿足：①；②；③．當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次構(gòu)成數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)是偶函數(shù)C．對(duì)任意的，，數(shù)列的前項(xiàng)和D．當(dāng)，時(shí)，滿足的的最小值為17【答案】BCD【分析】A應(yīng)用特殊值直接判斷正誤；B由遞推關(guān)系判斷是否成立；C根據(jù)題設(shè)描述，直線與在上恒有交點(diǎn)，可判斷正誤；D結(jié)合圖象，利用函數(shù)的對(duì)稱性易知為對(duì)稱軸，即可判斷正誤.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，得，錯(cuò)誤；B：設(shè)，，則，故函數(shù)是偶函數(shù)，正確；C：對(duì)，，由總與圖象在第一象限有交點(diǎn)，如下圖示，數(shù)列的前項(xiàng)和，正確；D：由②③可知，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，且為周期內(nèi)的對(duì)稱軸．而時(shí)．要使，則取到的最小值為17，正確.故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)的周期性及對(duì)稱性，易知在每個(gè)周期內(nèi)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)于對(duì)稱，即可求，進(jìn)而判斷選項(xiàng)的正誤.三、填空題13．已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，，，…，，用最小二乘法得到其線性回歸方程為，若數(shù)據(jù)，，，…的均值為，則可以估計(jì)數(shù)據(jù)，，，…的均值為_(kāi)_____．【答案】2【分析】根據(jù)題意求得，代入回歸直線的方程，求得，即可得到答案.【詳解】因?yàn)榛貧w方程為，且數(shù)據(jù)，，，…，的均值為，即，把，代入回歸直線方程，可得，所以可以估計(jì)數(shù)據(jù)，，，…，的均值為．故答案為：．14．過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)_____．【答案】或【分析】設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式，列出方程，即可求解.【詳解】依題可設(shè)直線的方程為，即，設(shè)圓到直線的距離為，則所以，所以，解得或.故答案為：或．15．已知，，，則，，的大小關(guān)系為_(kāi)_____．【答案】【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算得，進(jìn)而得，，，進(jìn)而得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式的大小比較，對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)而借助中間量實(shí)現(xiàn)大小比較.四、雙空題16．飛車走壁技藝?yán)脠A周運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和慣性原理，表演者駕駛飛車在球形大棚的內(nèi)壁上行走，飛車忽高忽低，斜走橫行，甚至直貫球頂，該技藝目前已成為中國(guó)國(guó)寶級(jí)雜技節(jié)目．已知球形飛車大棚內(nèi)有輛飛車、、、，分別飛行于上下平行兩個(gè)的等圓周上，飛車飛行在上圓周，飛車、、飛行在下圓周，且滿足，，則的最大值為_(kāi)_____；若三棱錐的最大體積為，則球形飛車大棚的直徑約為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而可求得的最大值，求出的外接圓半徑以及三棱錐的高的最大值，利用球的截面圓的性質(zhì)得出可求出球形飛車大棚的半徑，由此可得出結(jié)果.【詳解】由余弦定理可得：，．設(shè)三棱錐的高為，由題中最大體積知，，．由正弦定理可得：截面圓的直徑，所以．由球的截面性質(zhì)可知球的半徑滿足，故，球形飛車大棚的直徑大約為．故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.五、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，______請(qǐng)?jiān)冖?；②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并回答以下問(wèn)題．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）．【分析】（1）由，得到，分別選擇①②③，列出方程組求得的值，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用乘公比錯(cuò)位相減法，即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，即，選①：由，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．選②：由，可得，即，所以，解得，所以．選③：由，因?yàn)?，可得，所以，解得，所以．?）由（1）可得，所以，所以，兩式相減得所以．【點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的分法：（1）適用條件：若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，求解數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）注意事項(xiàng)：①在寫出和的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)；③作差后，作差部分應(yīng)用為的等比數(shù)列求和.18．在梯形中，，．對(duì)角線，交于點(diǎn)，且有，，．（1）用關(guān)于的函數(shù)分別表示，；（2）若，，，求的值和的面積．【答案】（1），；（2）；．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，，進(jìn)而在三角形中，利用正弦定理得，，進(jìn)而得答案；（2）由題知，此外由余弦定理得，進(jìn)而得，所以.【詳解】解（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，則，，，在三角形中，由正弦定理得，，所以，所以，，所以，．（2）因?yàn)?，，所以；因?yàn)椋?，代入余弦定理有，即，解得或，?dāng)，此時(shí)，與矛盾，所以，所以．由于與等底等高，故所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解三角形，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，進(jìn)而在三角形中，利用正弦定理求解.19．2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)將在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，北京市延慶區(qū)張山營(yíng)鎮(zhèn)的2022北京冬奧森林公園于2020年4月22日正式啟動(dòng)了冬奧賽區(qū)的樹(shù)木移植工作．本次移植的樹(shù)木來(lái)自2022北京冬奧賽區(qū)樹(shù)木假植區(qū)，包含暴馬丁香、核桃楸、大葉白蠟等多個(gè)品種．現(xiàn)從冬奧賽區(qū)樹(shù)木假植區(qū)中抽取300棵暴馬丁香，并對(duì)樹(shù)木高度（單位：）進(jìn)行測(cè)量，將測(cè)量結(jié)果繪制為如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)抽取的300棵暴馬丁香樹(shù)木高度的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)可用該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）北京冬奧賽區(qū)樹(shù)木假植區(qū)內(nèi)的暴馬丁香的高度（）服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)．記為假植區(qū)內(nèi)10000棵暴馬丁香中高度位于區(qū)間的數(shù)量，求；（3）在樹(shù)木移植完成后，采取施用生根粉、加掛營(yíng)養(yǎng)液等方式確保了移植樹(shù)木的成活率，經(jīng)驗(yàn)收，單棵移植成活率達(dá)到了90%．假設(shè)各棵樹(shù)木成活與否相互不影響，求移植五棵暴馬丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小數(shù)）附：若，則，．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)直方圖中各矩形的面積之和為，可求得抽取樹(shù)木高度為的頻率，再運(yùn)用每個(gè)矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)、組距相乘后求和可得樣本的平均值；（2）根據(jù)（1）估計(jì)得，由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)求得概率，依題意知，從而根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可得答案．（3）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率公式可求得答案．【詳解】（1）抽取樹(shù)木高度為的頻率為，所以樣本均值．（2）由第一問(wèn)估計(jì)，，一棵樹(shù)的高度位于區(qū)間的概率為0.1359，依題意知，所以．（3）記移植五棵樹(shù)中成活了棵．．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題.直方圖的主要性質(zhì)有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為；（2）組距與直方圖縱坐標(biāo)的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率；（3）每個(gè)矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)、組距相乘后求和可得平均值；（4）直方圖左右兩邊面積相等處橫坐標(biāo)表示中位數(shù).20．如圖，等腰直角的斜邊為直角的直角邊，是的中點(diǎn)，在上．將沿翻折，分別連接，，，使得平面平面．已知，，（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）由面面垂直和下面垂直的性質(zhì)可得，，從而得到平面，根據(jù)線面垂直性質(zhì)知，從而得到，由線面平行的判定可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，在根據(jù)角度和長(zhǎng)度關(guān)系求得所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)后，根據(jù)二面角的向量求法可直接求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：過(guò)做，垂足為，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，是等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn)，，又，平面，平面，又平面，，，，平面，平面，平面．（2）在等腰直角中，，，由（1）可知：為直角三角形的中位線，，，，，，，，．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，顯然平面的一個(gè)法向量，，由圖形知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間向量法求解二面角的基本步驟是：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示出所需的點(diǎn)和向量；（2）分別求得二面角的兩個(gè)半平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求得法向量的夾角；（3）根據(jù)圖形或法向量的方向確定所求角為二面角的大小或二面角補(bǔ)角的大小.21．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交的弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)兩條不同的直線與直線交于點(diǎn)，且傾斜角之和為，直線交橢圓于點(diǎn)、，直線交橢圓于點(diǎn)、，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用橢圓的定義可求得的值，結(jié)合的值可求得的值，進(jìn)而可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線為，直線為，，設(shè)點(diǎn)、、、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求得，同理可得，分、兩種情況討論，利用基本不等式與不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由已知得，，由橢圓的定義可得，則，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因?yàn)閮蓷l不同的直線與直線交于點(diǎn)，且傾斜角之和為，所以可設(shè)直線為，直線為，，設(shè)、、、，將直線的方程代入橢圓方程得，所以，，所以，同理，所以，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式中的等號(hào)成立，所以的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，不等式中的等號(hào)成立，所以的取值范圍為，綜上，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的