2022屆浙江省高三下學(xué)期高考沖刺卷（一）數(shù)學(xué)試題

/22/22/2022屆浙江省高三下學(xué)期高考沖刺卷（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（???????）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】當(dāng)時(shí)，，而，所以，，因?yàn)?，因此?故選：B.2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（???????）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)出，再計(jì)算，最后代模長(zhǎng)公式即可求解【詳解】由題知，于是，所以.故選：D3．如果直線平面，直線平面，，則（???????）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)線、線面關(guān)系可得，再結(jié)合已知即可判斷的關(guān)系.【詳解】∵，∴，同理，.又，則.故選：A.4．直線，，則“”是“”的（???????）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】首先根據(jù)求參數(shù)的值，分類討論可知，即可得解.【詳解】由，當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)，由斜率乘積，所以不垂直，故，“”是“”的充要條件.故選：C.5．已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的最小值是（???????）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)時(shí)，最大，即當(dāng)圓心距為時(shí)，弦長(zhǎng)最短，再利用，求解即可.【詳解】根據(jù)題意，要使最小，只需圓的圓心到直線的距離最大即可，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖所示：由圖像可知，當(dāng)點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)時(shí)，最大，即當(dāng)為圓心到直線的距離，此時(shí)作出直線與圓相交的弦最短，解方程組得，所以圓心到點(diǎn)的距離為，所以.故選：D.6．如圖，網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，粗的實(shí)線和虛線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（???????）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，再計(jì)算即可【詳解】根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，其底面面積，高為4，故體積為故選：C7．已知函數(shù)的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式（???????）A． B．C． D．【答案】C【分析】分三步進(jìn)行圖像變換①關(guān)于y軸對(duì)稱②向右平移1個(gè)單位③縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半【詳解】①關(guān)于y軸對(duì)稱②向右平移1個(gè)單位③縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半故選：C.8．已知數(shù)列滿足，則（???????）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)遞推式易得，以及，根據(jù)累加法得出，進(jìn)而，類似可得，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】顯然，由，故與同號(hào)，由得，故，所以，又，所以；由，所以，故，累加得，所以，所以，所以，另一方面，由，所以，累加得，故，即，所以；綜合得．故選：B.9．已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（???????）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析可知，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后再確定函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，在上至多個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意，所以，.函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，所以，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，由題意可得，解得，此時(shí)不存在；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，則函數(shù)在上只有個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，不合乎題意；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，此時(shí)；④當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，此時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.10．如圖，在正方體中，在棱上，，平行于的直線在正方形內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離記為，記二面角為為，已知初始狀態(tài)下，，則（???????）A．當(dāng)增大時(shí)，先增大后減小 B．當(dāng)增大時(shí)，先減小后增大C．當(dāng)增大時(shí)，先增大后減小 D．當(dāng)增大時(shí)，先減小后增大【答案】C【分析】由題設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的法向量與面的法向量為的夾角，對(duì)于AB，令，則，分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)判斷；對(duì)于CD，令時(shí)，化簡(jiǎn)整理得到，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷余弦函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得解.【詳解】由題設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，設(shè)直線與交于，則，則，，，設(shè)平面的法向量為，，，令，則設(shè)平面的法向量為，又，，令，則利用空間向量夾角公式得對(duì)于AB，令，則顯然函數(shù)在時(shí)為減函數(shù)，即減小，則增大，故AB錯(cuò)誤；對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，則令，求導(dǎo)，令，得故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單減，即單減，增大；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單增，即單增，減?。还十?dāng)增大時(shí)，先增大后減小故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查面面角的求法，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即余弦函數(shù)的性質(zhì)，利用空間向量求立體幾何?？疾榈膴A角：設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則①兩直線所成的角為(),；②直線與平面所成的角為(),；③二面角的大小為(),二、雙空題11．如圖所示，在中，是邊中點(diǎn)，且，則的值等于________．若,則______________.【答案】????.????.【詳解】分析：直接利用三角函數(shù)的定義和余弦定理求出結(jié)果．詳解：：①在△ABC中，D是邊BC中點(diǎn)，且cos∠ADC=cosC=，則：作△ACD的高線AE，設(shè)AD=AC=3x，所以：CE=x，所以：CD=2x，解得：=，②設(shè)AC=3x，CD=2x，在△ACD中，利用余弦定理得：9＝9x2+4x2?2?3x?2x?解得：x=1，所以：AC=3，BC=4，則：AB2=AC2+BC2-2?AC?BC?cosC=17所以：AB=．故答案為.點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的變換，余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用．12．已知的展開式的第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則_______；此時(shí)，展開式中的系數(shù)為_______.【答案】????????【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)列出方程，求得的值，再結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，即可求解.【詳解】由的展開式的第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，可得，解得；又由展開式中的系數(shù)為.故答案為：；.13．一個(gè)袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的個(gè)紅球和個(gè)白球，從中任取3個(gè)球.記取出的白球個(gè)數(shù)為，若，則___________，___________.【答案】????2????2【分析】根據(jù)題意，取出的三個(gè)球中恰好有一個(gè)白球的概率，可求出的值，分別求出取出的白球?yàn)?,2,3時(shí)的概率，進(jìn)而求出即可.【詳解】根據(jù)題意，取出的三個(gè)球中恰好有一個(gè)白球的概率為：，解得；所以袋中有2個(gè)紅球，4個(gè)白球，則取出的三個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)的可能取值為：1,2,3，所以，，所以，故答案為：，.14．已知直線與離心率為的橢圓交于兩點(diǎn)，且直線與軸，軸分別交于點(diǎn).若點(diǎn)三等分線段，則___________；___________.【答案】????1????5【分析】聯(lián)立直線和橢圓方程，可得CD的中點(diǎn)也為AB中點(diǎn)，即可求出，再根據(jù)，由弦長(zhǎng)公式可化簡(jiǎn)得出.【詳解】由題可得，中點(diǎn)，聯(lián)立方程組可得，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)三等分線段，所以M也為AB中點(diǎn)，所以，整理可得，即；由題，所以整理可得，又，所以，解得，即.故答案為：1；5.15．在平面四邊形中，，，若，則_____；若為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，則的值為_____．【答案】????????【分析】根據(jù)題意可知是等邊三角形，是有一個(gè)內(nèi)角為60°的直角三角形，又知道它們的邊長(zhǎng)，所以可以建立坐標(biāo)系，將問(wèn)題坐標(biāo)化后進(jìn)行計(jì)算求解．【詳解】解：∵平面四邊形中，，，∴是邊長(zhǎng)為2的等邊三角，在中，，所以，又，∴是邊的四等分點(diǎn)．如圖建立坐標(biāo)系：則：，，所以，再設(shè)，則，∴，顯然時(shí)，最小，此時(shí)，∴．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用，涉及向量的數(shù)量積和向量夾角的余弦值，通過(guò)建系將問(wèn)題坐標(biāo)化是一種常見(jiàn)的求角或距離的解題方法，同時(shí)考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.三、填空題16．已知函數(shù)，則___________.【答案】3【分析】根據(jù)自變量所在的定義域范圍，利用分段函數(shù)的解析式，求函數(shù)值即可．【詳解】，，即，．故答案為：3．17．請(qǐng)寫出漸近線方程為的一個(gè)雙曲線方程____________.【答案】（答案不唯一）【分析】先指定焦點(diǎn)所在位置，由題意可得，進(jìn)行賦值即可得雙曲線方程．【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，由題意可得：，不妨令，則雙曲線方程．故答案為：．（答案不唯一）四、解答題18．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件.(1)求角的大?。?2)若，求周長(zhǎng)的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①.，利用二倍角的余弦公式求解；選②.，利用正弦定理和余弦定理求解；選③.，利用正弦定理，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)求解；（2）由（1）知，利用余弦定理得到，再結(jié)合基本不等式求解.【詳解】(1)解：選①.，即，所以，所以.又因?yàn)?，所?選②.因?yàn)?，所以，即，由正弦定理?由余弦定理知.又.所以；選③.因?yàn)?由正弦定理得，所以，即.因?yàn)椋?，?所以；(2)由（1）知，則由余弦定理得，.所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以周長(zhǎng)的最小值為.19．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB，沿DE將折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)F的位置，且．(1)求證：平面BFC⊥平面BCDE；(2)若直線DF與平面BCDE所成的角的正切值為，求平面DEF與平面DFC的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明BF⊥平面BCDE，再由面面垂直的判定定理證明平面BFC⊥平面BCDE；(2)由線面角的定義結(jié)合條件求出AD，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量方法求二面角的大小.【詳解】(1)AE＝EF＝2，EB＝1，，所以，所以，所以BF⊥BE，又因?yàn)镈E⊥AB，所以DE⊥EF，DE⊥EB．又，所以DE⊥平面BEF，因?yàn)槠矫鍮EF，所以BF⊥DE，因?yàn)镋B，平面BCDE，，所以BF⊥平面BCDE，又平面BFC，所以平面BFC⊥平面BCDE；(2)設(shè)AD＝a，則，由（1）知BF⊥平面BCDE，所以∠FDB為直線DF與平面BCDE所成的角，所以，所以，解得，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（-2，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），C（3，2，0），，∴，，設(shè)為平面DFC的一個(gè)法向量，則，即，令，則z＝2，所以，由（1）知，平面DEF⊥平面BEF，過(guò)B引EF的垂線交EF于M，則BM⊥平面DEF，求得，則為平面DEF的一個(gè)法向量．所以，所以平面DEF與平面DFC的夾角的余弦值為．20．在數(shù)列中，，且對(duì)任意的正整數(shù)，都有.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）等式兩側(cè)同時(shí)除以，即可得證，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出其通項(xiàng)；（2）根據(jù)第（1）問(wèn)求出，并對(duì)其進(jìn)行裂項(xiàng)，之后根據(jù)裂項(xiàng)求和進(jìn)行計(jì)算．【詳解】(1)解：（1）由，得.又因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.故，即.(2)由，故，故．21．已知為拋物線：上的一點(diǎn)，為拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，且的最小值為1．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，，切點(diǎn)分別為，，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出面積的最小值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析；最小值4【分析】（1）由題意直接可得，然后可得；（2）設(shè)，，利用判別式求出切線斜率，然后可得曲線在，處的切線方程，根據(jù)兩條切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上可得直線方程，然后可證.直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式表示出三角形面積，然后可得.【詳解】(1)根據(jù)題意，解得，因此拋物線的方程為(2)設(shè)，，設(shè)：，：，將代入得由題知,解得同理所以：，：整理得：，：，因?yàn)?，，設(shè)，代入上述方程，得，，因此直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，即過(guò)焦點(diǎn)由，整理得，∴，，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值4．22．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求證：（i）；（ii）.【答案】(1)減區(qū)間為、，增區(qū)間為；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解即可；（2）（i）首先求出，然后令，，然后利用導(dǎo)數(shù)證明即可；（ii）首先結(jié)合的單調(diào)性和函數(shù)值的符號(hào)可得，然后結(jié)合當(dāng)時(shí)，可得，然后等價(jià)證明，然