高中數(shù)學(xué)第二章平面向量21平面向量的實際背景基本概念學(xué)案新人教A版必修4

2.1平面向量的實質(zhì)背景及基本觀點預(yù)習(xí)課本P74～76，思慮并達(dá)成以下問題向量是如何定義的？向量與數(shù)目有什么差別？如何表示向量？向量的有關(guān)觀點有哪些？兩個向量(向量的模)可否比較大??？(4)如何判斷相等向量或共線向量？向量AB與向量BA是相等向量嗎？(5)零向量與單位向量有什么特別性？0與0的含義有什么差別？[新知初探]1．向量的觀點和表示方法觀點：既有大小，又有方向的量稱為向量．向量的表示：表示法幾何表示：用有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，即用有向線段的起點、終點字母表示，如AB，字母表示：用小寫字母a，b，c，表示，手寫時一定加箭頭[點睛]向量能夠用有向線段表示，但向量不是有向線段．向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點和終點的線段．2．向量的長度(或稱模)與特別向量向量的長度定義：向量的大小叫做向量的長度．向量的長度表示：向量AB，a的長度分別記作：|AB|，|a|.1(3)特別向量：①長度為0的向量為零向量，記作0；②長度等于1個單位的向量，叫做單位向量．[點睛]定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒有確立方向．我們規(guī)定零向量的方向是隨意的；單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不必定同樣．3．向量間的關(guān)系(1)相等向量：長度相等且方向同樣的向量，叫做相等向量，記作：a＝.b(2)平行向量：方向同樣或相反的非零向量，也叫共線向量；a平行于b，記作a∥b；規(guī)定零向量與任一直量平行．[點睛]共線向量只是指向量的方向同樣或相反；相等向量指大小和方向均同樣．[小試身手]1．判斷以下命題能否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量能比較大?。?)(2)向量的模是一個正實數(shù)．( )(3)單位向量的模都相等．()(4)向量AB與向量BA是相等向量．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．有以下物理量：①質(zhì)量；②溫度；③角度；④彈力；⑤風(fēng)速．此中能夠當(dāng)作是向量的個數(shù)( )A．1B．2C．3D．4答案：B3．已知向量a如下圖，以下說法不正確的選項是( )A．也能夠用MN表示B．方向是由指向MNC．始點是MD．終點是M答案：D如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，則與ED相等的向量有______．答案：AB，DC向量的有關(guān)觀點[典例]有以下說法：①向量AB和向量BA長度相等；②方向不一樣的兩個向量必定不平行；③向量BC是有向線段；④向量0＝0，此中正確的序號為________．2[分析]對于①，|AB|＝|BA|＝AB，故①正確；對于②，平行向量包含方向同樣或相反兩種狀況，故②錯誤；對于③，向量能夠用有向線段表示，但不可以把兩者等同起來，故③錯誤；對于④，0是一個向量，而0是一個數(shù)目，故④錯誤．[答案]①判斷一個量能否為向量應(yīng)從兩個方面下手①能否有大?。虎谀芊裼蟹较颍斫饬阆蛄亢蛦挝幌蛄繎?yīng)注意的問題①零向量的方向是隨意的，全部的零向量都相等．②單位向量不必定相等，易忽視向量的方向．[活學(xué)活用]有以下說法：①若向量a與向量b不平行，則a與b方向必定不同樣；②若向量AB，CD知足|AB|＞|CD|，且AB與CD同向，則AB＞CD；③若|a|＝|b|，則a，b的長度相等且方向同樣或相反；④因為零向量方向不確立，故其不可以與任何向量平行．此中正確說法的個數(shù)是( )A．1B．2C．3D．4分析：選A對于①，由共線向量的定義，知兩向量不平行，方向必定不同樣，故①正確；對于②，因為向量不可以比較大小，故②錯誤；對于③，由|a|＝|b|，只好說明a，b的長度相等，確立不了它們的方向，故③錯誤；對于④，因為零向量與任一直量平行，故④錯誤．向量的表示[典例]在如下圖的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出以下向量：3OA，使|OA|＝42，點A在點O北偏東45°；②AB，使|AB|＝4，點B在點A正東；③BC，使|BC|＝6，點C在點B北偏東30°.[解](1)因為點A在點O北偏東45°處，所以在座標(biāo)紙上點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又|OA|＝42，小方格邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點A地點能夠確立，畫出向量OA如下圖．(2)因為點B在點A正東方向處，且|AB|＝4，所以在座標(biāo)紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點B地點能夠確立，畫出向量AB如下圖．因為點C在點B北偏東30°處，且|BC|＝6，依照勾股定理可得：在座標(biāo)紙上點C距點B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為33≈5.2，于是點C地點能夠確立，畫出向量BC如下圖．用有向線段表示向量的方法用有向線段表示向量時，先確立起點，再確立方向，最后依照向量模的大小確立向量的終點．必需時，需依照直角三角形知識求出向量的方向(即夾角)或長度(即模)，選擇適合的比率關(guān)系作出向量．[活學(xué)活用]一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100千米抵達(dá)B點，而后改變方向，向北偏西40°方向行駛了200千米抵達(dá)C點，最后又改變方向，向東行駛了100千米抵達(dá)D點．作出向量AB，BC，CD，AD.解：如下圖．4共線向量或相等向量[典例]如下圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，且OA＝a，OBb，OC＝c.與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？與a共線的向量有哪些？請一一列出與a，b，c相等的向量．[解](1)與a的長度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，F(xiàn)E.與a共線的向量有EF，BC，OD，F(xiàn)E，CB，DO，AO，DA，AD.與a相等的向量有EF，DO，CB；與b相等的向量有DC，EO，F(xiàn)A；與c相等的向量有FO，ED，AB.[一題多變]1．[變設(shè)問]本例條件不變，試寫出與向量BC相等的向量．解：與向量BC相等的向量有OD，AO，F(xiàn)E.2．[變條件，變設(shè)問]在本例中，若|a|＝1，則正六邊形的邊長如何？解：由正六邊形性質(zhì)知，△FOA為等邊三角形，所以邊長AF＝|a|＝1.找尋共線向量或相等向量的方法找尋共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再結(jié)構(gòu)同向與反向的向量，注意不要遺漏以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．找尋相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確立哪些是同向共線．5層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．以下說法正確的選項是( )A．向量AB∥CD就是AB所在的直線平行于CD所在的直線B．長度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，則a＝cD．共線向量是在一條直線上的向量分析：選C向量AB∥CD包含AB所在的直線與CD所在的直線平行和重合兩種情況，故A錯；相等向量不單要求長度相等，還要求方向同樣，故B錯；C明顯正確；共線向量能夠是在一條直線上的向量，也能夠是所在直線相互平行的向量，故D錯．2.如圖，在圓OOB，OC，AO是( )中，向量A．有同樣起點的向量B．共線向量C．模相等的向量D．相等的向量分析：選C由圖可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圓的半徑，應(yīng)選C.3．向量AB與向量BC共線，以下對于向量AC的說法中，正確的為( )A．向量AC與向量AB必定同向B．向量AC，向量AB，向量BC必定共線C．向量AC與向量BC必定相等D．以上說法都不正確分析：選B依據(jù)共線向量定義，可知AB，BC，AC這三個向量必定為共線向量，應(yīng)選B.如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，圖中與AE平行的向量有( )A．1個B．2個C．3個D．4個分析：選C依據(jù)向量的基本觀點可知與AE平行的向量有BE，F(xiàn)D，F(xiàn)C，共3個．5．已知向量a，b是兩個非零向量，AO，BO分別是與a，b同方向的單位向量，則以下各式正確的選項是( )6A．AO＝BOB．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1D．|AO|＝|BO|分析：選D因為a與b的方向不知，故AO與BO沒法判斷能否相等，故A、B選項均錯．又AO與BO均為單位向量．∴|AO|＝|BO|，故C錯D對．6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，則|BC|＝________.分析：由勾股定理可知，223，所以|BC|＝3.BC＝AC－AB＝答案：37．設(shè)a0，b0是兩個單位向量，則以下結(jié)論中正確的選項是________(填序號)．①0＝0；②a0＝－b0；③|0|＋|b0|＝2；④a0∥0.abab分析：因為a0，b0是單位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③8．給出以下四個條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.此中能使a∥b建立的條件是________(填序號)．分析：若a＝，則a與b大小相等且方向同樣，所以∥；若||＝||，則a與b的babab大小相等，而方向不確立，所以不必定有a∥b；方向同樣或相反的向量都是平行向量，因此若a與b方向相反，則有a∥b；零向量與隨意愿量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，則a∥b.答案：①③④如圖，O是正方形ABCD的中心．寫出與向量AB相等的向量；寫出與OA的模相等的向量．解：(1)與向量AB相等的向量是DC.(2)與OA的模相等的向量有：OB，OC，OD，BO，CO，DO，AO.一輛消防車從A地去B地履行任務(wù)，先從A地向北偏東30°方向行駛2千米到D地，而后從D地沿北偏東60°方向行駛6千米抵達(dá)C地，從C地又向南偏西30°方向行駛2千米才抵達(dá)B地．(1)在如下圖的坐標(biāo)系中畫出AD，DC，CB，AB.求B地相對于A地的位移．解：(1)向量AD，DC，CB，AB如下圖．(2)由題意知AD＝BC.7所以AD綊BC，則四邊形ABCD為平行四邊形．所以AB＝DC，則B地相對于A地的位移為“在北偏東60°的方向距A地6千米”．層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)如下圖，梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則以下等式建立的是( )A．AD＝BCB．AC＝BDC．PE＝PFD．EP＝PF分析：選D依據(jù)相等向量的定義，剖析可得：A中，AD與BC方向不一樣，故AD＝BC錯誤；B中，AC與BD方向不一樣，故AC＝BD錯誤；C中，PE與PF方向相反，故PE＝PF錯誤；D中，EP與PF方向同樣，且長度都等于線段EF長度的一半，故EP＝PF正確．2．以下說法正確的選項是( )A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．終點同樣的兩個向量不共線C．若a≠b，則a必定不與b共線D．單位向量的長度為1分析：選DA中，因為零向量與隨意愿量平行，若b＝0，則a與c不必定平行．B中，兩向量終點同樣，若夾角是0°或180°，則共線．C中，對于兩個向量不相等，可能是長度不相等，但方向同樣或相反，所以a與b可能共線．3．若a為任一非零向量，b為單位向量，以下各式：|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.此中正確的選項是( )A．①④B．③C．③④D．②③分析：選Ba為任一非零向量，所以|a|＞0，故③正確；由向量、單位向量、平行向量的觀點易判斷其余式子均錯誤．應(yīng)選B.4．在△ABC中，點D，E分別為邊AB，AC的中點，則如下圖的向量中相等向量有( )A．一組B．二組C．三組D．四組8分析：選A由向量相等的定義可知，只有一組向量相等，即CE＝EA.5．四邊形ABCD知足AD＝BC，且|AC|＝|BD|，則四邊形ABCD是______(填四邊形ABCD的形狀)．分析：∵AD＝BC，∴AD∥BC且|AD|＝|BC|，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又|AC|＝|BD|知該平行四邊形對角線相等，故四邊形ABCD是矩形．答案：矩形如圖，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形，則與向量AD相等的向量為________；與向量OA共線的向量為__________；與向量OA的模相等的向量為________．(填圖中所畫出的向量)分析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四邊形AOCD和四邊形AOBE均為菱形，∴與AD相等的向量為OC；與OA共線的向量為DC，EB；與OA的模相等的向量為OB，OC，DC，EB，AD.答案：OCDC，EBOB，OC，DC，EB，AD7．如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點．寫出圖中所示向量與向量DE長度相等的向量．寫出圖中所示向量與向量FD相等的向量．(3)分別寫出圖中所示向量與向量DE，F(xiàn)D共線的向量．解：(1)與DE長度相等的向量是EF，F(xiàn)D，AF，F(xiàn)C，BD，DA，CE，EB.與FD相等的向量是CE，EB.與DE共線的向量是AC，AF，F(xiàn)C；與FD共線的向量是CE，EB，CB.8．如圖，已知函數(shù)y＝x的圖象l與直線平行，2，mA0，－2B