13.4《最短路徑問(wèn)題》教案

13.（2第2頁(yè)P(yáng)AGE10頁(yè)【思路點(diǎn)撥】直線AB上有一點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P與線段AB的位置關(guān)系有兩種：①如圖，點(diǎn)在線段AB上；②如圖2和圖3，點(diǎn)在線段BA的延長(zhǎng)線上或點(diǎn)在直線AB的延長(zhǎng)線上.【解題過(guò)程】⑴當(dāng)點(diǎn)P在線段B上時(shí)，如圖1，A+B=AB即B最小值為AB的值；⑵當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，B=A；⑶當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，A-B=AB；【答案】⑴線段AB上；⑵線段BA的延長(zhǎng)線上；⑶線段AB的延長(zhǎng)線上.⑷如圖，點(diǎn)、B在直線的同側(cè)，在直線上能否找到一點(diǎn)，使得｜B－｜的值最大？【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短，三角形兩邊的差小于第三邊當(dāng)點(diǎn)P與BPBAP、點(diǎn)A、點(diǎn)B三邊，則｜－當(dāng)點(diǎn)P與BPBA線上時(shí)，即點(diǎn)P為直線AB與直線的交點(diǎn)，則｜－｜=AB.【解題過(guò)程】⑴當(dāng)點(diǎn)P在直線上且點(diǎn)、點(diǎn)A、點(diǎn)B不共線時(shí)｜－｜＜AB；⑵當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線與直線的交點(diǎn)時(shí)，如圖，BA=A，即｜B－｜=A；【答案】如圖，連接A并延長(zhǎng)交直線l于，此時(shí)｜B－A｜的值最大.（二）課堂設(shè)計(jì)⑴在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一定方向、移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形變換稱(chēng)為平移變換（簡(jiǎn)稱(chēng)平移）.平移不改變圖形的形狀和大小.⑵三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：三角形兩邊的差小于第三邊題一稱(chēng)解距離之差最大題動(dòng)①回顧知，知：上課識(shí)數(shù)學(xué)、學(xué)的學(xué)，解數(shù)學(xué)的——”（）“”情況：②整合舊知，探究新知1.ABll的值最大．【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)變換，三角形三邊的關(guān)系【思路點(diǎn)撥】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、利用三角形三邊的關(guān)系，通過(guò)比較來(lái)說(shuō)明最值問(wèn)題是常用的一種方法.A(B)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′(B′)A′B(AB′)lC.1lAlA′，A′BlCC即為所求．③類(lèi)比建模，證明新知（直線同側(cè)一線型AC最小的嗎？試類(lèi)比證明“｜AC－BC｜最大”的作法是否正確性？lCC)CA，C′A，C′A′，C′B.因?yàn)辄c(diǎn)A，AllAA的垂直線，則CCA，所以CA－BCA－CAB.ClCCA在ABC，CA－CBCA－CACA－CBC－B.、B在由1的同小形的的點(diǎn)上，建直角系，如圖所示Px軸上使－B的值最大的點(diǎn)，Qy軸上使QA+QB的值最小的點(diǎn)，在圖PQ.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)之線段最，三角形任意兩邊的差小于三邊，三角形任意兩邊的大于三邊【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】P、BABP為直線ABxPx軸上使A－B的值最大的點(diǎn)，即｜－PB｜=AB、By軸同側(cè)yQ，使QA+QB最小段ABAB與x軸交于點(diǎn)時(shí)P是x軸上使－BAB｜AB；⑵AxAAByQQy軸上使QA+QB的值最小的點(diǎn).【答案】如圖，點(diǎn)P與點(diǎn)Q即為所求：▲“”CDAEFC∥EF.顯然當(dāng)AB垂于時(shí)長(zhǎng)最短.②2.BN何ABAMNB最短（假設(shè)兩是行線要垂）【知識(shí)【知識(shí)】知識(shí)兩之間線段最短【思撥】將抽象成數(shù)從A到B要走線是AM→B示MN是定值于是要使程最短ABN1最短時(shí)兩線段ABN行N到AA，AAMAM+=B當(dāng)N線b位時(shí)A′N(xiāo)+NB最2AB兩線線段AB最短因線段AB線bN位NM得徑A→ M→ N→ B是最短1【程】2MN到AA（AAA垂于，A于Ab于.N垂線另?xiàng)la于M.【答案】示MN位2③幾何證明述是最短請(qǐng)你想想.先讓組完成進(jìn)行展示、享.M∥AAM=AAM=AM∥A，、B兩地距離AM+M+B=AAA+BN=AAAB.b若橋M⊥，MAMANNB行知AM=ANA=橋后B 兩地距離為AM+MN+NB=AN+AA+NB=AA+AN+NB△AN中，∵BAB∴AA+AN+NBB 即B＞AM+MBNMN處AB兩地路程最短.【設(shè)計(jì)意圖】利用等變換把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決已知問(wèn)題從而做出最短路徑.1BA城經(jīng)過(guò)一條大江到B城出行今欲在江上建一座與兩岸垂直大橋且筆直江岸互相行如何選擇建橋位置AB地路程最短？【知識(shí)點(diǎn)】【知識(shí)點(diǎn)】知識(shí)兩點(diǎn)之間線段最短AB要路線A→M→B如圖所N，要使路程最短AMBN最短即兩線段應(yīng)在一行方上，MNACBC不N即為建橋位置MN即為所建橋．(1AACAC等(2連接BC與岸一(3N作岸垂線另一條岸M.【2所MN為所建橋位置．知識(shí)主要知識(shí)為兩個(gè)最問(wèn)題：（1）利用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)解決線段距離之差最大問(wèn)題；（2）利用、兩點(diǎn)間線段最短解決造橋選址問(wèn)題．重點(diǎn)歸納解決線段最問(wèn)題們利用、兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上從而作出最短路徑方解決問(wèn)題．⑴距離之差最大問(wèn)題兩種模型①如果兩點(diǎn)在一條直線側(cè)過(guò)兩點(diǎn)①即可.通常求值或小值情況常取個(gè)來(lái)解決而用三角形三邊系來(lái)推證說(shuō)明法正確性．“造橋選址問(wèn)題鍵是把各到上．解決連接河岸的個(gè)短路徑問(wèn)題可以通過(guò)平移河岸方法使河寬度變零求到上所連和小問(wèn)題．（三）課后業(yè)圖、B分別表示幢樓所位置a表示輸水總b表示輸總．總上分別個(gè)連接分管水和輸B幢樓求使幢樓輸水分和輸分用A是AbAB分別、aB是BaBA分別aEF則求輸水和輸分連接是（ ）A．F和C 和E C．D和C D．D和E短路徑問(wèn)題．路圖個(gè)（）型型.解題過(guò)短路求可輸水分連接是BaBA連分連接是AbB連C．故A．面鏡子MN豎懸掛墻壁上人眼O位置鏡子MN上沿M水平．有四個(gè)物體D放鏡子前面人眼能從鏡子看見(jiàn)物體有（ ）A.A、、C B.A、B、D C.、C、D D.A、B、、D軸路物體鏡子里面所像就是數(shù)學(xué)問(wèn)題物體鏡面所是范圍內(nèi)下D四MN、CNBDADMNA′、BCCMONADD50B90EFB、CAEFF）50° B60° 70° 80°ABCD50B90BA=130°BBPABAD=AABCCDQBCECD相QAEFD°APQ18013050.E2，AFQA2FAF22×50＝100° EAF=180100=80°“一型”求問(wèn)②根據(jù)等180求出再根據(jù)運(yùn)用整想決．DB公同側(cè)公有一公車(chē)站此P得｜A｜大試出公P位置.任意差PAB共根據(jù)“任意差”｜｜＜BPB共BAPAB｜B｜=B.⑴P且AB共｜｜＜ABPBABA=AB=A；P.C2ADBCEADFACEF+EC∠ECF度數(shù).知識(shí)腰三角形“三合一軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)兩之間短思路撥拆分出FC和A構(gòu)成兩一型基本模型解決本題關(guān)鍵F）AD于此CF（BECF度數(shù)CF，根據(jù)三合一性質(zhì)解.解題過(guò)程ABF則ACFF關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)CFAD相于E此E+EC.因?yàn)镃FCAB平分∠B則∠F度數(shù)是作解題之前應(yīng)該忽略E1又由兩一型短距離模型到2；∠ECF度數(shù)30°RC∠BACBC=AB=1D∠平分P、Q分別ADACPC+PQ.知識(shí)軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)、垂短、角平分性質(zhì)數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化解題過(guò)程過(guò)CM⊥BMAD于過(guò)P⊥AC于∵AD∠C∴=MC+QCM 度. ∵C6BC=8B0S

1 ABC=2ABC

，∴CM=AC

=6

8=

24PC+PQ．AB 10 5 5思路撥因∠C對(duì)稱(chēng)軸∠C平分A以Q對(duì)稱(chēng)射BQAD對(duì)稱(chēng)C+Q=CM，又M共C+MCM根據(jù)垂短，以C⊥ABCM過(guò)CCM⊥AB于AD于點(diǎn)PACAD∠BAC=M這1 1C+Q有最小值最小值CM的長(zhǎng)度△C=2ABCM=2ACBC，CMPC+PQ的最小值．本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題解題的關(guān)鍵PC+PQ有最小值時(shí)PQ的位置．5能力型師生共研3ABC中EG分別BA的中PF上一個(gè)動(dòng)、求△BPG周長(zhǎng)的最小值．【知識(shí)】軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)、兩之間線段最短【思路撥】要使△PBG的周長(zhǎng)最小一個(gè)定值BP+PG最短即可則轉(zhuǎn)化兩一線型的最短路徑問(wèn)題ABEFPPE重合時(shí)BP+PG最小即△PBG的周長(zhǎng)最小.【解題程】如圖AGEFM∵等邊△、F、G分別AB、AC、C的中∴BE∥BAFAMM∴、G關(guān)EF對(duì)稱(chēng)ABEFPE重合時(shí)B+G最小即△PBG的周長(zhǎng)最小∵A=B=E∴最小值B+B=AE+BG=AB+BG=3+1.5=4.5．【答案】4.5探究型多維突破在直角三角形中兩直角ab的平方和等c的平方a+=直角三角形的短直角邊稱(chēng)勾長(zhǎng)直角邊股斜邊稱(chēng)所這個(gè)定理成“勾股定理”.如：直角三角形的兩個(gè)直角邊分別3、4則斜邊2=a2+b25，cc5.勾股定理可解多最短路徑問(wèn)題勾股定理的在中勾股定理面的練習(xí)：B兩個(gè)位CD的同側(cè)河流的距離AC=10km，BD=30km且CD=30km河流CD上一個(gè)泵站P向村莊供水鋪為“勾股定理”為“勾股定理”.：直角三角形的兩直角為3、4，則2=【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)、兩點(diǎn)之間線段最短【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知得出作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AB，則ABlPB兩點(diǎn)的距離和最小，再構(gòu)造直角三角形利用勾股定理題關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形．【解題過(guò)程】依題意，只要在直線l上找一點(diǎn)，使點(diǎn)P到、B兩點(diǎn)的距離和最小．作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AB，則AB與直線l的交點(diǎn)P到、B兩點(diǎn)的距離和最小，且A+BABAB．又過(guò)點(diǎn)A向BD作垂線，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在直角三角形ABE中，AEC=3，BEB+E0，根據(jù)勾股定理可得：AB=5（千米）即鋪設(shè)水管長(zhǎng)度的最小值為50千米．所以鋪設(shè)水管所費(fèi)用的最小值為：502=10（萬(wàn)元）．【】100萬(wàn)元兩直角兩直角abc，即a2+b2=c2成a2+a2+b25，c為5.在中到勾股定理，請(qǐng)：，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N在、B上，且M，N3，點(diǎn)、Q在OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是 ．【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)【思路點(diǎn)撥】點(diǎn)、N在、B上的定點(diǎn)，作M關(guān)于B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，作N關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接M，即為M++N的最小值．【解題過(guò)程】解：作M關(guān)于B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作N關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接M′N(xiāo)′，即為MP+PQ+QN 的最小值．∴根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的定義可知：∠=∠MB∠B°，O=3，M=M1，∠°，3212中，3212

= ．故答案為 ．101010【答案】101010自助餐CDA村、BEABA村、B村的距離和最??？請(qǐng)?jiān)谙聢DE的位置．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，兩點(diǎn)之間線段最短ACDA′，A′BCDE，即可得出答案．【解題過(guò)程】如圖所示，點(diǎn)E即為所求．B兩個(gè)超市配貨，最小保留作圖痕跡及簡(jiǎn)要說(shuō)明)【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的知識(shí)，絕對(duì)值的知識(shí)0，所PA=PB【思路點(diǎn)撥】為絕對(duì)值有，即｜BA0，所PA=PB0.【解題過(guò)程】ABPP即為條的點(diǎn)．如圖，ABGGABEFP，【解題過(guò)程】12PA，B的距離．可分別A、B為，AB為，2兩EFP即為所求．P為所求公交的位置.不A、BCAC+BC的最短，作法為BB；②BlC，C為所求作的點(diǎn)．在解這個(gè)題有用到的知識(shí)或方法是（）思想三角形的兩邊之和于三邊兩點(diǎn)之間，線段最短BBlClCBCB，BlCB=BCCACB“段最”體現(xiàn)了思想驗(yàn)證利用邊邊．思撥利用“段”分析并驗(yàn)證可主要考查了利用決凡是涉及距離般要考慮段性質(zhì)定理“段結(jié)合本節(jié)所學(xué)變換來(lái)決多數(shù)情況要作某答案D如圖△CAC=F垂平分CPEF則AP+BP.段數(shù)學(xué)思想數(shù)結(jié)合.EF垂BBC