2013年海風(fēng)華約知識(shí)梳理數(shù)學(xué)

序此，根據(jù)自身競(jìng)賽和自招的經(jīng)驗(yàn)，編寫了這本暑期。僅得乎下?！痹谶@本中提到的知識(shí)點(diǎn)緊依自招而難度上略高于自招，這樣便做到了“取法乎上”，學(xué)員們?cè)谡J(rèn)真 函數(shù)的基本知識(shí) 例如設(shè)有集合A={1,2,3} 若映射滿足15,23;3那么稱A到BAB在像集使得;.單映射D,滿映射FDs.t雙射單調(diào)性x1x2D若fx1fx2x1x2 ，x1 x2

那么fx是單調(diào)增的。特別地若fx1fx2x1x20 x1x2xxD

2奇偶性 若fx

fx對(duì)x1,x2D成立，且D關(guān)于O對(duì) 稱其為偶函數(shù)若fxfx對(duì)x1x2D成立，且D關(guān)于O周期性：若T，s.tfx+tfxfx1(xqffx

以1為周期但其不存在最小正周期（想想為什么） ：logbln 利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)：xeln指數(shù)函數(shù)將乘法“降階”exeyex在以后的學(xué)習(xí)中會(huì)對(duì)e與ln有更加深刻地認(rèn)識(shí)cos2xsin2x

1tan2xsec2

sin2 sin2 sin2余弦定理a2b22abcoscprSABC1abSinc12RSinA2RSinBSinc2R2SinASinBSin r

p

sinAsinBsinp1(abc)R(sinAsinBsinC)r

(sinAsinBsin2abi

a2

a2

a2b2r(cossin[r(cosisin)]nrn(cosisin|zz||zz|2a為定值的軌跡是 ①2a②2a③2a

z1

：以z1,z2為焦a為長(zhǎng)半軸z1z2連成的|zz1||zz2|①02a|z1z2|z1z2為焦點(diǎn)，實(shí)長(zhǎng)軸為2a②③2a|z1z2| 為關(guān)于x的多項(xiàng)式。若xq是 pxxaqxrxpa0ra0又ra的次數(shù)小于1，故其為常數(shù)0.即xa|px回到性質(zhì)（2）px在復(fù)數(shù)域上的所有根為x1x2……xn（這可以由代數(shù)基本定理保證）xn1……axx1x2……xnanx1x2x1x3x1x4……x1xn……xn1xn對(duì)比系數(shù)即有=a 二次函數(shù)的極值點(diǎn)xb2f(mf(n0f(x)0在區(qū)間(mn內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根f(x)x2pxq

p24q方程f(x)0在區(qū)間(m,)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或p f(m)f(n)f(x)0在區(qū)間(mnf(mf(n0或p24qppm f(m) f(n)或af(n0或af(m0 p24qf(x)0在區(qū)間(nf(m)0p(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)L（形如,，,，,不同）上含參數(shù)的二次不等式f(xt)t為參數(shù))f(xt)min0(xL在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(xt)0(t為參數(shù)恒成立的充要條件是f(x,t)man0(xL)

af(x)axbxc0恒成立的充要條件是b0或c b4ac一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)，如果a與ax2bxc之外；如果a與ax2bxc異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)xx1或xx2xx1xx20(x1x2.當(dāng)a>0時(shí)，有xax2a2axaxax2a2xaxaff

f(x)g(x)f(x)ff(x)f

.f(x)

g(x)g(x)f(x)f(x)fg(x)g(x)ff(x)

或g(x)0.a1時(shí)af(x)ag(x)f(x)g(x)f(x)

f(x)

g(x)g(x) f(x)當(dāng)0a1時(shí)af(x)ag(x)f(x)g(x)f(x)

f(x)

g(x)g(x)f(x)微積分初步有趣的極限

1n n 容易注意到以下簡(jiǎn)單事實(shí)：A的取值與X是相關(guān)的。并且可以感受到大部分（有特例）情況下A是唯一的。以f xfxhfxAxhxoxh2x2Aho2hxh2Aho2xhAoh即2xo1A這要求A2xo1是一個(gè)任意的極限過程。Afxhfxo Alimfxhf 這個(gè)極限是對(duì)人而言的，故對(duì)任意固定的

fxhfxfxAxhx稱為fxx點(diǎn)的微分，記為d(fxfxx點(diǎn)可微fxx fxf[定義]limn

1nn

1因?yàn)檫@是一個(gè)定義式，所以，我們所要做的僅是證明 n

n利用公理：若數(shù)列a滿足bac且limbnlimcnlimanlimbnlim 1

anan1，其中r＜1，r記an1n 1 1 1n1n11nn1 1 1n1 即an

1作輔助數(shù)列bn1n nbn1 n 我們?nèi)プCn1 n n1 1

n

n1

n2 n1 n2

這樣說明bn 所以{an}單調(diào)增有界，bn}單調(diào)增這樣limalimn

1 n n 1我們limn

nnnn

1n

1lnlim1nnlimln

1 n 1x有l(wèi)imlnln1x ln1x~x(x令xet1則又有t~et 1n 11n＜e＜1n 1

＜ln

1＜n

n 1.ex證明exdexlimexhexlimexeh1exlimeh1ex h0haxlnaxasinxcoscosxsinaf(xbg(x)af(xb導(dǎo)數(shù)的乘法法則：設(shè)f(x)和g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)f(x)、g(xg(x0F(xF(x)f(x)g(xf

f復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:f(xg(x)F(x)f(g(x在該區(qū)間上也可導(dǎo)，且F(x)f(g(x))fxy0可以x、yxt,yt反函數(shù)求導(dǎo)法則：若函數(shù)yf(x)的反函數(shù)f1(x)存在，且f(x0，記f1(x)g(x)，則f(x) g(

g(faa11x 那么另一符號(hào)具體有什么作用呢？下面我們來看一下：d f d fdx xdx dfxdx 2x 1x2xdx + 與dx的1 1Dx在運(yùn)算重視有確切含義的，而

的作用是：若經(jīng)過化簡(jiǎn)的dx12xdxdx2dx2

2xdx 1

1

2x所以 2xdx

d1x2ln1x21 1F(xf(xF(x)f(xdF(x)f(x)dxF(xf(xf(xf(x)dx，這里f(x被稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量。bSxfxS

bbf b由牛頓萊布尼 afxdxFbbFermatf(xx0fx0f(xx0)那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ 使得函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即（a，bf(x在abfx0fx2fx1fx2x1x 所以 xxfx

f

單調(diào)增，反之若

f xa, 單調(diào)增。則 f

x 于是我們得到若fx0則f(x)單調(diào)增，若f(x)單調(diào)增則fx0。特別地fx＞0則f(x)嚴(yán)格單調(diào)增。但反之不成立。

：x3若二次函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，f12且在x=ttR處取得最值，若ygx x2 yfx是方程4x24tx10tR的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)gtmaxfxminfx解關(guān)x的不等式2x22x1＜2x2x

2xx2

的定義域?yàn)?，? a 已知函數(shù)yf 是y a

與 xa 為反函數(shù)，則稱yf 滿足“a和性質(zhì)”；若函數(shù)yf 與y 判斷 x21x＞0是否滿足“1和性質(zhì)” 已知函數(shù) ax3aa＞0，a1的反函數(shù)是yf ，而且函數(shù)y 的圖像與函數(shù)y ygx

f1 設(shè)定義在0,2上的函數(shù)fx滿足下列條件x0,2f2xfxfx1,f13x，y1,2xy3fxfy

fxy2

f1n3n3

1nN* x12時(shí)，1fx13 ， cosx sinx ，x,17t sin cos 12 （1）gx化簡(jiǎn)AsinxBA＞0，＞0，02的形式（2）求函數(shù)gx的值tanAtan c

tanAtan

S當(dāng)a固定，變化時(shí)，求 取得最小值的S2Chapter凸函數(shù)與調(diào)整法若fx1x21fxfx則稱其 若fx1x21fxfx則稱其 定義二x1x2D且若fx1+1-fx2fx11x2則稱其下凸若fx1+1-fx2fx11x2*在連續(xù)函數(shù)的前定義一定義二首先我們利用[定義二]得到一些有意思的結(jié)論，進(jìn)一步得到fx下凸由【定義二】令x11x2x3帶入整理可得fx3fx1fx2fx3

f''x0x3 x2fx2fx1fx3fx1x2

x3 fx①反映了割線斜□1234x,x,x,1234

fx4fx3fx3fx2fx2fx1 ， x x x 令xx；x f'xf'x 2 這說fxD上單調(diào)fx0二、Jason1、Cauthy中值推導(dǎo)二階Taylorfxfxf'xxx1f''xx 構(gòu)造輔助函數(shù)Fxfxfxfxxx Gx1xx FxFxFx0F'f'f'x f''則0G GxGx G' 0 Fx0Gx0又Fx下凸f''fxfxf'xxx

(多次利用lagrange中值定理令nn

x1x2nfxnfxxxf'xi

nfxnfx1x2xn 1fx

x2

xn

——這即為我們的詹森不 例如ab20的等號(hào)成立條件是ab。ab越來越靠近時(shí)ab20。當(dāng)a、b經(jīng)等號(hào)成立條件靠近的過程中ab2也經(jīng)等號(hào)成立方向靠近fx1,x2,,xnxix1x2xnSfx1,x2, fx1tx2tx3,xnfx1,x2,,xnfx1t,x2t,x3,xnfx1x2,xn0 x1x2xn=Cx1x2,,xnD其中fx1x2,,xnfxi①f是D上的下凸函數(shù)，那么直接應(yīng)用Jason②f在Dx1x2,xn我們對(duì)上凸部分可以做調(diào)整，取xk1與 xnxk1fx1,x2,,xk1,,xnfx1,x2,,xk1,,xnt又固定x1x2,xk1xk2,xn則變?yōu)殛P(guān)xk1xn

fxk1tfxntfxk1fxnfxntfxnfxk1fxk1t（利用前面的①式于是對(duì)每個(gè)在D2中的點(diǎn)進(jìn)行上述 fx1,x2,,xnfx1,x2,,xn1,xn 其中x1x2xn-1fxfx f n1f1xx x n n1 =n1f Cxn n fx1,x2,,xnn1fn1Cxnfxn 是一個(gè)單變量其他解不等式的方法

x2xy1

x2 2abc 2a2b

不妨可設(shè)a事實(shí)上。若ak，令a1kaa

2abc82a2bc2xy2x2y2z2附ababa對(duì)于n個(gè)正數(shù)x1，x2 ，xn1算數(shù)平均數(shù)記為A (xx...x 幾何平均數(shù)為G Hn 1 Q

nx1x2...x2x2

平方平均數(shù)： HnGnAnabRa2b22ab(a＝b時(shí)取“=”號(hào)abRab 2a3b3c33abc(a0,b0,cx1x2xnp1,p2pn均為正數(shù)，那么有apap...apa1p1a2p2...anpn

pp... ""

p2...pn 兩組實(shí)數(shù)：x1x2xny1,y2...yn，則成立不等式(xyxy...xy)2(x2x2...x2)(y2y2...y21 2 n “=”x1x2 （1）(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,d（2）n(x2x2x2xxx)2（n為整數(shù) （3）

...

)(1

...1)n2 (xx...xa,a...a均為正數(shù)，則12...n aa aa

參數(shù)柯西不等式：對(duì)于任意的一組實(shí)數(shù)1， n均有abab...ab2(a2a2...a2)(1b21b2...1b 1 2 n 1 2 n 整數(shù)n2a1a2anb1b2bn，{k1k2kn1,2,...n} a1bna2bn1...anb1a1bka2bk...anbka1b1a2b2... 即：反序和亂序和順序設(shè)兩個(gè)正數(shù)列anbn，則(ab...ab)1(a...a)(b...b1 n (2)a1a2anb1b2bn(ab...ab)1(a...a)(b...b1 n （1）f(x是abfx1x2xn1f(xf(xf(x （2）f(x是abfx1x2xn1f(xf(xf(x Holder(赫德爾）aibi(1in2n個(gè)正實(shí)數(shù)，1（1）若0，則abababaaabbb1 2 n 其中

2（2）若0，則abababaaabbb1 2 n aa...a是一組正實(shí)數(shù)，也是正實(shí)數(shù)，且 aa... aa... n

舒爾不等式aabac0abcR證明：不妨設(shè)abc aabac0;bbabc0;ccacb 2 aabacbbabcab2abc0得證對(duì)稱式aabacS34SS 2 x例xy1，求證 x例xyzx2例xyxyz4xyzxyyz例A，B，C為三角形三內(nèi)角sinAsinBsinC 2cosAcosBcosC2a,b,cR,abc求使得tbcbc2abbcca成立的t的最a1bm，滿足a3b3c33abcmab3bc3ca3對(duì)aa1bP4例：已知a,b,c0,abc1求 b 數(shù)a n (數(shù)列{a}的前n項(xiàng)的和為saa s

,n

aa(n1)ddnad(nN*) sn(a1an)nan(n1)ddn2(a1d)n aaqn1a1qn(nN*) a(1qn aa ,q n,qsn 1 或sn1 na,q 等比差數(shù)列an:an1qand,a1b(q0)的通 b(n1)d,qabqn(db)qn1d,q1 qnbn(n1)d,(q (b

)1qn

n,(q 1 q 1ab(1每次還款x(1b)n1元 a元,n次還清,每期利率為b二階線性遞推數(shù)列an2pan1qan,（1.1）以及給定初始項(xiàng)aa x2pxq程

pan1qan的二階線性遞推數(shù)列

pan1qan的若(1.1)的特征方程有兩個(gè)不同的根，則anxyxy由n=1,2時(shí)給定的a 1 212若特征方程有兩個(gè)相同的根，則令an(xny)，其中x,y由給定的aa確n axnb以及給定a的統(tǒng)一求n cx n

ay對(duì)于函數(shù)f(x)，滿足x0f(x0)的點(diǎn)(x0,f(x0))稱作函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn).而我們稱滿足ycyd的y為具 axnb的數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn). cxnax xy xn1y1acy1ann2n當(dāng) 有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y,y時(shí)，數(shù)列 1成等比數(shù)列，且： a a2nn cx n

x （2）當(dāng)

b只有有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y時(shí)，數(shù)列

2c n cxn

y

a an給一個(gè)數(shù)列ana2a1,a3a2,,an1an……，這個(gè)數(shù)列稱之為原數(shù)列an的一階差分?jǐn)?shù)列數(shù)列為bn的一階差分?jǐn)?shù)列，我們也稱之為原數(shù)列an的二階差分?jǐn)?shù)列。類似可定義數(shù)列an的p階差分?jǐn)?shù)列，差分?jǐn)?shù)列也可以叫做差數(shù)列。如果數(shù)列an是p階等差數(shù)列，那么an的一階差數(shù)列是p-1階等差數(shù)列；nki是一個(gè)關(guān)于n的i1k數(shù)列an是p階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列an的通項(xiàng)是關(guān)于n的p次多項(xiàng)式n數(shù)列a為pn項(xiàng)和是關(guān)于n的p1次多項(xiàng)式n函數(shù)fx1x121lnx1的導(dǎo)函數(shù)為f'x,定義數(shù)列x, a f'xnN 33

求證：當(dāng)n 時(shí)，必有 4已知數(shù)列a滿足a1

1,nN+

n 求證：當(dāng)n2時(shí)，2an2e定義0,2上的函數(shù)fx滿足下列if12，對(duì)任意的x02有fx1.且fxf22n ii對(duì)任意的xy12,當(dāng)xy3時(shí)，fxfyfxy21成立證明：1f12n 2當(dāng)x12時(shí)，fx5si設(shè)數(shù)列a的前幾項(xiàng)和為S且S2a2n1.nN 1求數(shù)列an的通2令a1n1 2,數(shù)列a的前n項(xiàng)和為T 求證：當(dāng)n

且n

4 時(shí) 數(shù)列a滿足a1,a423 23 n0,1, 3n1 求證：a2011已知abcz是復(fù)數(shù)，fzaz2bzc.滿足a2b2c2的最大值

fz對(duì)任意p,q1,1,定義ApqxRx2pxq求

Ap,已知數(shù)列a滿足a2a5 an1anan122a1.n1,2,1求an的通2求an-anlimaa的定義：對(duì)于0N0nN|aa|

|q|limqn q 不存 ank nk1

(klim

k t

(kt)nbntbnt1a11qnb

(kS 1（S無窮等比數(shù)列aqn1|q|1)的和 1 1 解析幾1 k|y1 k|yy線的斜率，兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)是(x1y1)，(x2,y2)，一般來說這兩點(diǎn)是由直線和二次曲線聯(lián)立所(x1(x1x3)y1(x1x2)y1(x(x2x3)y2

y重y1y2y3x內(nèi)=(ax1+bx2+cx3y內(nèi)=(ay1+by2+cy3x垂=(x1/Kax2/Kbx3x1=(-ax1+bx2+cx3)/(-x2=(ax1-bx2+cx3)/(a-b+c)y2=(ay1-by2+cy3)/(a-b+c)x旁3=(ax1+bx2-cx3)/(a+b-c)y3=(ay1+by2-cy3)/(a+b-c)其中重 直ky2y1（P(xyP(xyx 點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線lP1x1y1，且斜率為k斜截式y(tǒng)kxb(b為直線ly軸上的截距兩點(diǎn)式y(tǒng)y1xx1(yyP(x,yP(x,y)xxy x

xy1a、ba、b0 AxByC0(其中A、Btan|k2k1|1k2(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k2tan|A1B2A2B1|A1A2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直線lll

的夾角是 l1到l2的l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20A1A2B1B20即兩條之間不垂直的時(shí)候tank2k1.(l:ykxb，l:ykxb,kk1k

12tanA1B2A2B1A1A2ll直線

的角是 A2 d|Ax0By0C|(P(xy,直線lAxByA2 數(shù);P0x0y0A(xx0Byy00,AB是待定的系數(shù)．共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線l1A1xB1yC10,l2A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為A1xB1yC1A2xB2yC20(除l2)，其中是待定的系數(shù)．P0x0y0，將(x0y0λ恒成立，說明了它能表示除l2的所有直線，實(shí)際上，我們可以將共點(diǎn)直線系寫成mA1B1C1nA2B2C2，這樣就包含了l2。平行直線系方程：直線ykxb中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線AxByC0AxBy00)，λAxByC0(A≠0，B≠0)BxAy0,λ若l1yk1xb1l2yk2x①l1||l2k1k2,b1b2②l1l2k1k2若l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20,A1、A2、B1、B2都不為零①l||lA1B1C1 ②l1l2A1A2B1B20AxByC0或0設(shè)直線lAxByC0AxByC0或0B0BAxByC同號(hào)時(shí)，表示直線lBAxByC異號(hào)時(shí)，表示直線l的B0AAxByC同號(hào)時(shí)，表示直線lAAxByC異號(hào)時(shí)，表示直線l左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左A1xB1yC1A2xB2yC20或0所表示的平面區(qū)設(shè)曲線CA1xB1yC1A2xB2yC20（A1A2B1B20，則A1xB1yC1A2xB2yC20或0所表示的平面區(qū)A1xB1yC1A2xB2yC20所表示的平面區(qū)域上下兩部分；A1xB1yC1A2xB2yC20所表示的平面區(qū)域上下兩部分y2x22x1y5x22x3(1)l1，l2相交于點(diǎn)P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1與l2（t,0（0<t<a a點(diǎn)

二次曲線：圓（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2yb)2r2D2D2E2

y2DxEyF0；半徑r ，因此需滿足D2E24F

xarybrsin圓的直徑式方(xx1)(xx2yy1yy20(A(x1y1B(x2y2A(x1y1,B(x2y2(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]xx1xx2yy1yy2(axbyc0,其中axbyc0AB的方程,λ是待定的過直線l:AxByC0與圓C:x2y2DxEyF0x2y2DxEyFAxByC0,λ是待定的系過圓C:x2y2DxEyF0與圓C:x2y2DxEyF0的交點(diǎn)的圓系方程是 x2y2DxEyF(x2y2DxEyF0 P(x,y與圓(xa)2yb)2r2 (a(ax)(by

，則drP在圓外drP在圓上drP在圓內(nèi)AxByC0與圓(xa)2yb)2r2的位置關(guān)系有三種dr0dr相切0dr0AaBbAaBb

A2B

設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2r1，r2O1O2ddr1r24條公切線;dr1r23條公切線r1r2dr1r22條公切線dr1r21條公切線0dr1r2無公切線xxyyD(x0x)E(y0y)F0 我們已經(jīng)知道切點(diǎn)(x0y0在圓上，那么連接圓心O和PPOP垂直的直 當(dāng)(xy圓外時(shí),xxyyD(x0x)Ey0y)F0 xxyyD(x0x)Ey0y)F0 yy0k(xx0k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．x2y2r2P(xyxxyyr2 ②斜率為kykx已知直線l1ykx1與圓Cx2)2y3)21ABO為坐標(biāo)原點(diǎn)，S(k)表示OABk2面積，記f(k)S(k)2 ，那么f(k)k23A. B. D.已知曲線 A(2,0)B(0,2)，若點(diǎn)Cx22xy20上的動(dòng)點(diǎn)，求ABC5l：x－2y＝05橢橢圓的第一定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a>|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓。F不在定直線上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)）其中定點(diǎn)F為橢圓的焦點(diǎn)，定直線稱為橢圓的準(zhǔn)線x

（右準(zhǔn)線）xc（左準(zhǔn)線）橢圓上的右焦點(diǎn)的距離比上到右準(zhǔn)線的距離為 xa

0)的參數(shù)方程一般化為 ax2y2

ybPF1e(x

ac)，

e(ac

x)

（1）點(diǎn)P(x,y)在橢圓 1(ab0)的內(nèi)部001 （2）P(x,y

1(ab0)的外部x02

x y圓 1(ab0)上一點(diǎn)P(x,y)處的切線方程是 a2b21(ab0)P(x0y0x0xy0y1.(類比圓的切點(diǎn)弦方程

橢圓 橢圓

1(ab

AxByC

.（A2a2B2b2.（ x2

1上動(dòng)點(diǎn)，A（-3,0)、B5,1)PA+PB的最小值為（ 5

C. D.55過P（5,8）做橢 55

9 已知橢圓C:x2y2 ，A、A、B、B分別為橢圓的左、右、下、上頂點(diǎn) b 0)點(diǎn)（A，B不是橢圓的左右頂點(diǎn)AA2BA2。試研究直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定x2y2Aa,0的直線與橢圓交于Qy軸交于，過原點(diǎn)與平行的 AQ，2OPAR

相切2Px2y21Pox22

y12M,N0M,N兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)雙曲（2）Fe（即雙曲線的離心率，e=c/a）的點(diǎn)的集合（F1的正數(shù)）F為雙曲線的焦點(diǎn)，定直線稱為雙曲線的 注：雙曲線的準(zhǔn)線方程為x （右準(zhǔn)線）和x

x2y21(a0b

|e(x

c)|，

|e(a2x)|x)|

點(diǎn)P(x,y)在雙曲線 1(a0,b0)的內(nèi)部001 P(x,y

1(a0,b0)的外部

x y

2

y2

ybxa b

0 x y若漸近線方程為y xa

0雙曲線可設(shè)為 a bxa

yb

1有公共漸近線，可設(shè)為xa

yb

（

0軸上 x y 1(a0,b0)上一點(diǎn)P(x,y)處的切線方程是0 x y 1(a0,b0)外一點(diǎn)P(x,y)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是0 x2y21(a0,b

AxByC

A2a2B2b2c2 x2y2P

2

1右支上一點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、那么PF1F2 x y x y設(shè)雙曲線C1a24k(a2k0，橢圓C2a241C2的短軸C1的實(shí)軸長(zhǎng)的比值等于的離心率，則C1在C2的一條準(zhǔn)線上截得線段的長(zhǎng)為（A. 已知雙曲線C:a2b21(a0,b0F1F2分別為C的左右焦點(diǎn).P為C右支上一點(diǎn)，且使 F1PF23又F1PF2的面積為3.Ce恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由2已知PMPN ，M2,0，N2,0，求點(diǎn)P的軌跡W；直線ykx2與W交于點(diǎn)A、B2S□OAB（O為原點(diǎn)P1P2,又P關(guān)于直y=-1的對(duì)稱點(diǎn)證明：過點(diǎn)Q且平行于P1P2必過一定點(diǎn)，求此定點(diǎn)的坐標(biāo)Px2y21上第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1F2是左右焦點(diǎn)，直線PF1，PF2分別于雙曲線交3，若拋物 P(xyy22pxp0)的內(nèi)部y22pxp0) P(xyy22pxp0)的外部y22pxp0) P(xyy22pxp0)的內(nèi)部y22pxp0) P(xyy22pxp0)的外部y22pxp0) P(xyx22pyp0)的內(nèi)部x22pyp0) P(xyx22pyp0)的外部x22pyp0) P(xyx22pyp0)的內(nèi)部x22pyp0) P(xyx22pyp0)的外部x22pyp0) 拋物線y22px上一P(xy處的切線方程是yyp(x y22pxP(xyyyp(xx y22pxp0)AxByC0pB22AC拋物線的離心率e定義為拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比上到準(zhǔn)線的距離，則e1即拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和到準(zhǔn)y22pxp0)xp2M(xy為拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，以射線OM為終邊的角記為，當(dāng)在

2M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，并且對(duì)于M點(diǎn)與對(duì)應(yīng).因此，可以取為參數(shù)探求xx

2tan2（為參數(shù)）2

1tany tanx2ptt(0(0,，則y2pt（t為參數(shù)當(dāng)t0時(shí)，由參數(shù)方程得，正好為頂點(diǎn)O(0,0)，因此當(dāng)t(y22px的參數(shù)方程注意：參數(shù) 的幾何意義為：表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)y3x26x5A（2,5）的切線方程為（ 2y3x4所表示的曲線是（ 4343 B.4 5

D.232的切線l．設(shè)D到直線AB，直線AC的距離分別為d1,d2，已知d1d2 AD．2判斷ABC已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上且ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC邊所在直線的方程為4xy200，則拋物線方程為 y2 B.y2 C.y2 D.y2求ΔRAB的面積最小值.極坐對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，用表示線段OM的長(zhǎng)度，表示從OX到OM的角度，叫點(diǎn)M 極徑，叫點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)，就叫點(diǎn)M的極坐標(biāo).這樣建立的坐標(biāo)系叫極坐標(biāo)系，記作M (1)0，M，(2)0，M，，與，也是同一個(gè)點(diǎn)02或，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的 1°建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，并設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，3列方程，0內(nèi)任意一點(diǎn)，其直角坐標(biāo)x，y，極坐標(biāo)是，