等腰三角形（4） 教學設計

等腰三角形（4）教學目標知識與技能：1．掌握證明的基本步驟和書寫格式．2．能夠用綜合法證明等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質定理．能力目標：經歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程，能夠用綜合法證明直角三角形的有關性質定理和等邊三角形的判定定理．情感目標：1．探索含30°角的直角三角形的性質．2．理解含30°角的直角三角形的性質，并會應用它進行有關的證明和計算．教學重難點教學重點：探索并理解含30°角的直角三角形的性質.教學難點：等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質定理．教學過程（一）．復習舊知，導入新知[師]上一節(jié)課中，我們學習了等邊三角形的性質和判定，請大家回憶一下：1．等邊三角形有哪些性質？2．你有哪些判定等邊三角形的方法？這一節(jié)課，我們將應用等邊三角形的性質和判定解決一些相關的問題．（二）自主探究，學習新知[師]我們學習過直角三角形，今天我們先來看一個特殊的直角三角形，看它具有什么性質．大家可能已猜到，我讓大家準備好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性質呢？問題：用兩個全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個怎樣的三角形？能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系？你能證明你的結論嗎？（讓學生經歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結論，同時引導學生意識到，通過實際操作探索出來的結論，還需要給予證明）[生1]用含30°角的直角三角尺擺出了如下等邊三角形：理由：因為△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因為Rt△ABD中，∠BAD=30，所以∠ABD=60°，所以△ABC是等邊三角形。（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．[生2]圖（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等邊三角形．（三個角都相等的三角形是等邊三角形）。[師]同學們從不同的角度說明了自己拼成的圖（1）是等邊三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊的關系嗎？[生]在直角三角形中，30°角所對直角邊是斜邊的一半．[師]我們僅憑實際操作得出的結論還需證明，你能證明它嗎？[生]可以，在圖（1）中，我們已經知道它是等邊三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根據等腰三角形“三線合一”的性質，可得BD=DC=BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所對的邊BD是斜邊AB的一半．[師生共析]這位同學能結合前后知識，把問題思路解釋得如此清晰，很了不起．下面我們一同來完成這個定理的證明過程．定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB．圖2分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD．證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，則∠B=60°．延長BC至D，使CD=BC，連接AD（如上圖）∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的對應邊相等）．∴△ABD是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．∴BC=BD=AB．[師]這個定理在我們實際生活中有廣泛的應用，因為它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角邊與斜邊的關系，它是證明線段倍分關系的又一定理。你能寫出這個定理的符號語言嗎？_C_C_A_B圖3如圖3，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠BAC=30°．∴BC=AB．下面我們就來看一下這個定理在實際中的應用．（三）合作探究，應用新知[師]再看下面的例題．例：等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高．圖4已知：如圖4，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求：CD的長．分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一個外角，則∠DAC=15°×2=30°，根據在直角三角形中，30°角所對的解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）．[師]下面我們來做練習．（四）．課堂小結說一說你在等邊三角形這一節(jié)中印象最深的是什么？都有哪些收獲？這節(jié)課，我們應用等邊三角形的性質和判定推理證明了含30°角的直角三角形的邊的關系．這個定理是個非常重要的定理，在今后的學習中起著非常重要的作用．（五）．活動與探究在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．方法分析：可以從證明“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”．從輔助線的作法中得到啟示．圖5已知：如圖（5），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求證：∠BAC=30°．證明：延長BC到D，使CD=BC，連結AD．∵∠ACB=90°，∴∠ACD