山東省淄博市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷

山東省淄博市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷

閱卷人

-------------------、單選題(共8題；共16分)

得分

1.(2分)函數(shù)丁=段的遞增區(qū)間是()

A.(-co,1)B.(-00,2)C.(1,+oo)D.(2,4-oo)

【答案】A

【解析】【解答】?.？'=8eX—%絲、=V-x

0)2熄

令y'>0,則x<1

，函數(shù)丁=會的遞增區(qū)間為(一8,1)

故答案為：A.

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算法則及令y'>0,求解即可得函數(shù)y=%的遞增區(qū)間.

2.(2分)已知隨機變量X的方差為D(X)=3,則。&X)=()

A.9B.3C.JD.J

【答案】c

【解析】【解答】VD(|x)=lz)(X)=|

故答案為：C.

【分析1根據(jù)已知條件，結(jié)合方差的線性公式，即可求解出答案.

3.(2分)已知％=2是函數(shù)/(x)=a/-3%2+a的極小值點，則/'(%)的極大值為()

A.-3B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】【解答】因為/(%)=ax3-3x2+a,則/&)=3ax2-6x>由題意可得/''(2)=12a-12=

0,

解得a=1,???f(x)=/_3/+1,/(x)=3x(%-2)>歹U表如下:

X(-00,0)0(0.2)2(2,+oo)

+0—0+

/(X)增極大值減極小值增

所以，函數(shù)/(%)的極大值為f(0)=I.

故答案為：C.

【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合極值存在條件可求出a,進(jìn)而可求函數(shù)/(x)的極大值.

4.(2分)若X?BQO,0.5),則P(X=k)取得最大值時，k=()

A.4或5B.5或6C.10D.5

【答案】D

lokk

【解析】【解答】解：因為X?B(10,0.5)，所以P(X=k)=C^o(0.5)--(0.5)=臉(0.5)】。，

由組合數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)k=5時工薪取得最大值，即P(X=k)取得最大值，所以k=5；

故答案為：D

【分析】根據(jù)二項分布的概率公式得到P(X=k)=Cfo(0-5)i°，再根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)判斷即可得答

案.

5.(2分)函數(shù)f(x)=xsinx,x￡[-n,兀]的圖象大致是()

【答案】A

【解析】【解答】解：因為/'(x)=xsinx,xG[—n,7r],所以/(—X)=(-x)sin(—x)=xsinx=

f(x)，

所以f(x)為偶函數(shù)，即圖象關(guān)于y軸對稱，則排除B,

當(dāng)久=.時，/(5=^sinf=芻>0,故排除C,

f(x)=sinx+xcosx>當(dāng)*e［0,芻時sinx20,cosx>0>所以/(%)20，即/(x)在［O,身上單調(diào)

遞增，故排除D；

故答案為：A.

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，抬)的符號，對“久)求導(dǎo)，判斷/(%)在［0,芻上單調(diào)性，逐

項進(jìn)行判斷，可得答案.

6.(2分)(l+x)2+(l+x)3+...+(l+x)8的展開式中，X2項的系數(shù)為()

A.36B.56C.84D.90

【答案】C

【解析】【解答】：(1+%)71展開式的通項為77+1=01時,X"=制"，丁=0,1,2....n

則(1+%)”展開式中》2項的系數(shù)為以

/.(1+X)2+(1+x)3+…+(1+久)8的展開式中/項的系數(shù)為以+或+…+或

C2=C3=1>則+C專+…+C&=C3+或+…+或=C；+C：+...+C：=...=Cg+=C9=84

故答案為：C.

【分析】直接利用二項展開式和組合數(shù)的應(yīng)用求出答案.

7.(2分)設(shè)(1=白，b=lnl.1.c_則()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】【解答】因為丁=蜻在R上為增函數(shù)，且一1〈一卷

一9

所以e-i<e-lo>

因為告1<eT，所以余1<丁而9，即a<c,

令/(x)=%-ln(l+%)(%>0),得f'(x)=i一擊=擊>0,

所以/(%)在(0,+8)上遞增，

所以/(x)>/(0)=0,所以%>ln(l+x),

令％=0.1,則0.1>11.1,即蕓即a>b,

所以b<a<c,

故答案為：D

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較可知a,c的大小，構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-ln(l+x)(尤＞0),利

用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性可比較a,b,由此可得答案.

8.(2分)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是決勝全面建成小康社會的重大歷史任務(wù)，是新時代做好“三農(nóng)”工作的

總抓手.某市聘請6名農(nóng)業(yè)專家安排到三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)作指導(dǎo)，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一人，其中專家A不能去甲

鎮(zhèn)，則不同的安排方案的種數(shù)是()

A.540B.360C.240D.180

【答案】B

【解析】【解答】由題意，先不考慮專家A不能去甲鎮(zhèn)的情況，將6名農(nóng)業(yè)專家分組，所有可能的情

況有(1,1,4),(1,2,3)，(2,2,2)三種情況.其中(1,1,4)分組數(shù)有§，1=15種,

廠2廠212

(1,2,3)分組數(shù)有優(yōu)或點=60種，(2,2,2)分組數(shù)有15種.再將6名農(nóng)業(yè)專家分配到甲

乙丙三個鎮(zhèn)上共(15+60+=540種情況.上述分析中，專家A去甲鎮(zhèn)，去乙鎮(zhèn)和去丙鎮(zhèn)的情

況數(shù)相等，故專家A不去甲鎮(zhèn)的情況有540X|=360種情況

故答案為：B

【分析】先不考慮專家A不能去甲鎮(zhèn)的情況，將6名農(nóng)業(yè)專家分組，再分配到三個鎮(zhèn)上去的總情況

數(shù)，再根據(jù)專家A去甲鎮(zhèn)所占的比例數(shù)求解，即可得答案.

閱卷人

二、多選題（共4題；共8分）

得分

49

9.（2分）在（正-》的展開式中，下列說法正確的是（）

A.常數(shù)項是84B.二項式系數(shù)之和為512

C.各項系數(shù)之和為256D.項的系數(shù)最大的項是第5項

【答案】B,D

【解析】【解答】（代―3的通項為77+]=頌《）》（—》=（—我亍，

對于A,令號1=0得7=3,所以常數(shù)項為（-1）3瑤=-84,故錯誤；

對于B,二項式系數(shù)之和為29=512,故正確；

對于C,令％=1可得各項系數(shù)之和為（1-=0,故錯誤；

對于D,由于展開式有10項，根據(jù)二項式系數(shù)性質(zhì)第五項第六項二項式系數(shù)相等且最大，再根據(jù)通

項，二項式系數(shù)等于每一項系數(shù)的絕對值，且展開式中奇數(shù)項為正偶數(shù)項為負(fù)相間出現(xiàn)的，所以項

的系數(shù)最大的項是第5項，故正確.

故答案為：BD.

【分析】根據(jù)二項式的通項可判斷A；根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可判斷B,D；令x=l可求出各項

系數(shù)之和，進(jìn)而判斷C.

10.（2分）數(shù)列｛&J是遞增的等差數(shù)列，前n項和為％,滿足Q2=4Q5,則下列選項正確的是

（）

A.由V0B.a6<0

c.S2=S9D.Sn>。時，九的最小值為11

【答案】A,C

【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列｛。九｝的公差為d,則d>0,

因為。2=4。5，則%+d=4（%+4d）,可得ai=-5dV0,A對；

即=+5d=0,B不符合題意；

Sg—$2=@3++…+=706=0,則S?=S9,C對.；

n（n11）d

s?=nai+=-5dn+=->0,vne/V*,.-^>12,

即當(dāng)Sn>0時，71的最小值為12,D不符合題意.

故答案為：AC.

【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則d>0,由。2=4&5,得到包，d的等量關(guān)系，可判斷

A、B；利用作差法可判斷C；解不等式%>0可判斷D.

11.(2分)下列說法正確的是()

A.若P(B|4)=P(A|B),則事件A,B相互獨立

B.隨機變量X服從兩點分布，則。(X)W,

C.在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好

D.在刻畫回歸模型的擬合效果時，決定系數(shù)解的值越大，說明擬合的效果越好

【答案】B,C,D

【解析】【解答】對于A,若P(B|A)=P(A|B),即鐳^=噌^，則P(4)=P(B),不能說明事件

A,B相互獨立，A不符合題意；

對于B,易得P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,E(X)=1xp=p,D(X)=(0-p)2-(1-p)+

(1—p)2?p=p(l—p)=—(p—i<i,B符合題意；

對于C,在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明預(yù)測值與實際值越接近，即模型

的擬合效果越好，C符合題意；

對于D,決定系數(shù)/?2的值越大，殘差平方和越小，擬合的效果越好，D符合題意.

故答案為：BCD.

【分析】由條件概率的公式及獨立事件即可判斷A；由兩點分布及方差公式即可判斷B；由殘差圖

及決定系數(shù)的意義即可判斷C、D.

12.(2分)已知函數(shù)/(%)及其導(dǎo)函數(shù)/'(%)的定義域均為R,記g(x)=/(尤).若/'(,+%),g(2+x)

均為偶函數(shù)，則()

A./(|)=。B.g(|)=0C./(x+1)=/(x)D.g(2+x)=g(x)

【答案】B,D

【解析】【解答】對于A,令h.(x)=/(%)+c,cER,定義域為R,則h(x)=f(%)=g(%),+

333

%)=/(|+x)+c,hq-x)=/(J-x)+c,

又弱+%)=潟-X)，貝?(|+x)=以|-%)，顯然八。)=/(%)+c也滿足題設(shè)，即/Q)上下平移

均滿足題設(shè)，顯然/(|)的值不確定，A不符合題意；

對于B,/(|+%)=/(|一%),則/(|+x)]=[/(|-x)],即/'(|+%)=-/(|-%)，

+x)=-gg-%),令x=0可得g(|)=-g(|)，則g(|)=0,B符合題意；

對于C,由g(2+%)=g(2-x)即/'(2+x)=/'(2-久)，則[/(2+*)]'=[-/(2-x)]'，令/(2+%);

一/(2-％)，

顯然滿足要求，則/(%)關(guān)于(2,0)對稱，又/?(|+%)=〃|—均可得/(%)關(guān)于％=|對稱，則/(久)=

/(3-x)=-/(I+x),C不符合題意；

對于D,由g(2+%)=g(2-％)可得g(%)關(guān)于％=2對稱，貝Ug(l+x)=g(3-％)；由g(|+x)=

-g(|-尤)可得g(x)關(guān)于(|,0)對稱，

則g(x)=_g(3-X)=_g(l+%)=g(2-%)=g(x+2),D符合題意.

故答案為：BD.

【分析】由/(x)上下平移均滿足題設(shè)，即可判斷A選項；由/(|+%)=/(|一％)得。(|+%)=

-g(|-x)即可判斷B選項；由函數(shù)的軸對稱以及中心對稱即可判斷C、D選項.

閱卷人

-----------------M、填空題(共4題；共4分)

得分

13.(1分)已知隨機變量f服從正態(tài)分布N(l,a2),若P(f>3)=0.3,則P(f2-1)=.

【答案】0.7

【解析】【解答】解：由題得PR<—1)=0.3,

所以P(f>-1)=1-0.3=0.7.

故答案為：0.7

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的定義可知日=1,利用正態(tài)分布曲線的對稱性計算即可得P(f2-1)的

值.

14.(1分)若2掰=瑞,則n=.

【答案】2

【解析】【解答】因為2卷=%,所以2n(n-1)=2n(2士/寧-2),

解得n=2或n=0,或n=l,由2照=廢九得7122,所以n=2.

故答案為：2.

【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式列式計算，可得n的值.

15.(1分)已知等比數(shù)列｛an｝的前n項和為S=，若S“=33f+k,則k的值為

【答案】-27

【解析】【解答】解：因為Sn=33f+k(D，

當(dāng)n=1時%=Si=33T+k=9+k，

當(dāng)n22時SnT=3"n+k②，

4n

①一②得%=Sn-S-1=33f+k-(3-+fc)=-2-33-",

因為｛冊｝是等比數(shù)列，所以一2?33T=9+k,解得k=一27；

故答案為：-27

【分析】當(dāng)n=l時求出ai,當(dāng)n22時斯=Sn-Sn_i，再代入n=l,就可求出k的值.

16.(1分)已知函數(shù)/(x)=x(lnx—l)—kX2,若對于定義域內(nèi)任意不相等的實數(shù)打，小，都有

"三)一怦<0,則實數(shù)k的取值范圍是

xl~x2

【答■案】,+00)

【解析】【解答】解：函數(shù)的定義域為(0,+00),

因為對于定義域內(nèi)任意不相等的實數(shù)小，冷，都有<0,

所以函數(shù)/(%)在(0,+8)上遞減，

I

f(%)=Inx—1+1—2kx—Inx—2kx，

所以/(%)=Inx—2kx<0在(0,+8)恒成立，

即2k>苧在(0,+8)恒成立，

及，、Inxm.iz、1—Inx

令g(%)=b，則9。)二丁"，

當(dāng)Ovx<e時，g'(x)>0,當(dāng)％〉e時，g'(%)V0,

所以函數(shù)g(x)在(0,e)上遞增，在(e,+8)上遞減,

_1

所以g(x)max=g(e)=->

所以2k>工，

e

所以實數(shù)k的取值范圍是原，+00).

故答案為：底，+00).

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，即f(x)￡0對任意xe(0,+00)恒成立，則12k之叵在

X

(0,+8)恒成立，求解可得實數(shù)k的取值范圍.

閱卷入

四、解答題(共6題；共65分)

得分

17.(10分)己知數(shù)列｛在｝的前n項和為Sn，Sn=2an-2,nWN*.

(1)(5分)證明：｛a"為等比數(shù)列，并寫出它的通項公式：

(2)(5分)若正整數(shù)m滿足不等式Sm<500,求m的最大值.

【答案】(1)證明：因為%=2即一2①，

當(dāng)n=1時Si=a[=2al—2,解得％=2,

當(dāng)n22時Sn-i=2an_i-2②，

①一②得冊=Sn-S5i=2an—2—(2斯_1-2),B[Jan=2an-2an_1；即斯=2斯_1，

所以勺=2,n>2,所以｛&J是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列，

n—1

n

所以an=2.

(2)解：由(1)可知Sn=2n+l-2,

因為SmW500,所以2m+i—2W500,即2m+】式502<512=2、解得根+1<9,所以m<8,

因為?neN*,所以的最大值為7.

【解析】【分析】(1)由已知數(shù)列遞推式求得首項，且得到an=2an^,n>2,即可證明為等

比數(shù)列，并求其通項公式；

(2)由(1)可知%=2"1—2,代入Sm<500,求解指數(shù)不等式，可得m的最大值.

18.(10分)某部門有職工10人，其中睡眠不足者6人，睡眠充足者4人.現(xiàn)從10人中隨機抽取3

人做調(diào)查.

（1）（5分）用X表示3人中睡眠不足職工的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

（2）（5分）求事件“3人中既有睡眠充足職工，也有睡眠不足職工”發(fā)生的概率.

【答案】（1）解：由題意可知，隨機變量X的可能取值有0、1、2、3,

NoMN1

則03=0)=才=而，P(X=1)="^=而，P(X=2)=~^=],

c10L10L10

所以，隨機變量x的分布列如下表:

P0123

1311

X

301026

1411Q

???E（X）=0x而+1X而+2X2+3X1亍

（2）解：事件“3人中既有睡眠充足職工，也有睡眠不足職工”發(fā)生的概率為P=P（X=1）+P（X=

2）-10+2-5

【解析】【分析】（1）由題意可知，隨機變量X可能取值為0,1,2,3,分別求出對應(yīng)的概率，再

結(jié)合期望公式，即可求解出隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）事件“3人中既有睡眠充足職工，也有睡眠不足職工”發(fā)生的概率為P=P（X=1）+P（X=2）,求解即可.

19.（10分）隨機選取變量x和變量丫的5對觀測數(shù)據(jù)，選取的第迫=1,2,3,4,5）對觀測數(shù)據(jù)記

為（刈，%），其數(shù)值對應(yīng)如下表所示:

編號i12345

98765

匕7595110135150

計算得：元=,￡乙第=7,歹=兀=113,W.xj—5x2=10,W.yj—5P2=3630,

X,y(.=3765.

(x(-x)(yz-y)c221?！笩o)仇一刃

r=

參考公式：,a=y-S-x.

（I）（5分）求變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)（小數(shù)點后保留4位），判斷這兩個變量是正相關(guān)還

是負(fù)相關(guān)，并推斷它們的線性相關(guān)程度;

Y=bx+a

Cnr

｛E（e）=0,D（￡

（i）求y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測當(dāng)久=10時丫的值；

（ii）設(shè)百為％=式4=1,2,3,4,5）時該回歸模型的殘差，求方、否、西、以、⑥的方差.

*）仇一刃Xiyr5xy

【答案】（1）解:

‘12歹”2-忱/-5螟￡"-5產(chǎn)-

—i=l\Z_Ji=i

3765-5x7x113

右-0.9972,

-710x3630—

所以，這兩個變量負(fù)相關(guān)，且具有較強的線性相關(guān)性.

（2）解：①5=W”通％5xp=^=一瑪則。=’一鼓=113+19x7=246,

所以，丫關(guān)于刀的經(jīng)驗回歸方程為？=—19%+246,

當(dāng)x=10時，則y=-19x10+246=56,

所以，當(dāng)久=10時，丫的預(yù)測值為56；

②由a=yi-yi=yi+19%；-246,計算得該回歸模型的殘差如下表所示:

Xi98765

就01-33-1

7727?

所以，殘差的方差為率=°+1+（-31+3+（T）=4

【解析】【分析】（1）將數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式，求出r的值，判斷可得出它們的線性相關(guān)程度;

（2）⑴將參考數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出;，：的值，可得出丫關(guān)于％的經(jīng)驗回歸方程，然后將x

=10代入經(jīng)驗回歸方程，可得出Y的值；

（ii）計算出西、彷、為、瓊、逅，利用方差公式可求得殘差的方差.

20.（10分）記等差數(shù)列｛廝｝的公差為d,前n項和為S”.已知dH0,S7=70,且a2,a4>成等

比數(shù)列.

⑴（5分）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

（2）（5分）若“=%cos竽,數(shù)列仍"的前n項和為7\,求

【答案】（1）解：因為數(shù)列｛斯｝等差，由等差數(shù)列前n項和公式得

S[=7%+7?/為=70.①

又因為。2，。4，的成等比數(shù)列，根據(jù)等比中項（a。？=。2。9，（%+3d產(chǎn)Qi+d）（Q|+8d）.（2）

聯(lián)立①②式得：｛號:;.

所以a九=3n-2

（2）解：由（1）知S==見與二口，

當(dāng)九=1,2>3,4,5,6...時cos-=一/，-1'-2，-2，1，....

所以｛cos竽｝是以3為周期的周期數(shù)列

所以當(dāng)正整數(shù)n是3的倍數(shù)時：cos竽=1,此時怎=斯.

當(dāng)正整數(shù)n不是3的倍數(shù)時：cos尊=一去此時勾=一常.

a

所以736=（一2）。1+（一2）。2+1Xa3+...+（—2）35+1X@36

131

=-2（。1+。2+…+a36）+2?3+與+…+。36）=-3S36+9（%+。36）

=-1x36（3芋-1）+9X（7+3x36-2）=54.

所以735=736-b36=54-（3x36-2）=-52

【解析】【分析】⑴直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用求出數(shù)列。｝的通項公式；

（2）利用數(shù)列的周期關(guān)系式和數(shù)列的求和公式的應(yīng)用求出T35.

21.（10分）對某品牌機電產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量調(diào)查，共有“擦傷、凹痕、外觀”三類質(zhì)量投訴問題.其中保

質(zhì)期內(nèi)的投訴數(shù)據(jù)如下:

擦傷凹痕外觀合計

保質(zhì)期內(nèi)1111

362

保質(zhì)期后的投訴數(shù)據(jù)如下:

擦傷凹痕外觀合計

保質(zhì)期內(nèi)3111

828

2

/-........................be)-----------,n=a+fe+c+d.

X(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（1）（5分）若100項投訴中，保質(zhì)期內(nèi)60項，保質(zhì)期后40項.依據(jù)小概率值a=0.001的獨立

性檢驗，能否認(rèn)為凹痕質(zhì)量投訴與保質(zhì)期有關(guān)聯(lián)？

（2）（5分）若投訴中，保質(zhì)期內(nèi)占64%,保質(zhì)期后占36%.設(shè)事件A：投訴原因是產(chǎn)品外觀,

事件B：投訴發(fā)生在保質(zhì)期內(nèi).

(i)計算PG4),并判斷事件A,B是獨立事件嗎？

(ii)“若該品牌機電產(chǎn)品收到一個產(chǎn)品外觀問題的投訴，該投訴發(fā)生在保質(zhì)期內(nèi)的概率大”，這

種說法是否成立？并給出理由.

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)解：零假設(shè)”o：凹痕質(zhì)量投訴與保質(zhì)期無關(guān)聯(lián)

根據(jù)題意可得2x2列聯(lián)表:

凹痕非凹痕總計

保質(zhì)期前105060

保質(zhì)期后202040

總計3070100

則可得：/100(10x20-50x20)2

-±z,oyo

—60x40x30x70-?

???12.698>10.828=Xo.ooi

二”不成立

即在犯錯概率不大于0.001的前提下，認(rèn)為凹痕質(zhì)量投訴與保質(zhì)期有關(guān)聯(lián)

⑵解：據(jù)題意可得：P(A|B)=」,PQ4忸)=*,P(B)=蓋=祟P(?)=:

.”(AB)=PQ4|B)P⑻=券，P(Z)=PQ4|B)P(B)+P(Z⑻P⑻=梟

■：P(AB)*PQ4)P(B),則事件A,B不是獨立事件

(ii)由題意可得：

“該品牌機電產(chǎn)品收到一個產(chǎn)品外觀問題的投訴，該投訴發(fā)生在保質(zhì)期內(nèi)”的概率P(B|4)=與黑=

64

73

“該品牌機電產(chǎn)品收到一個產(chǎn)品外觀問題的投訴，該投訴發(fā)生在保質(zhì)期后”的概率P(陰4)=4螺=

p(a出)p(a)=9

P(4)—73

：招〉/，貝/'若該品牌機電產(chǎn)品收到一個產(chǎn)品外觀問題的投訴，該投訴發(fā)生在保質(zhì)期內(nèi)的概率

大”，這種說法成立

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得2x2列聯(lián)表，代入下的公式運算求解，并于12.698>

1O.828=ZO.OOI)理解分析，可得凹痕質(zhì)量投訴與保質(zhì)期有關(guān)聯(lián)；

(2)⑴運用全概率公式運算求解P(A),根據(jù)條件概率公式求P(AB),井根據(jù)“若事件A,B是獨立事

件，則P(AB)=P(A)P(B),運算判斷事件A,B是否獨立事件；

(ii)根據(jù)條件概率公式分別求P(B|A),P(B\A)比較大小，理解分析，可得結(jié)論.

22.(15分)已知函數(shù)/1(x)=e*-cosx+基2,g(%)=Inx+sin%,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=

2.71828???.

(1)(5分)求曲線y=/(%)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)(5分)證明：函數(shù)g(x)有唯一零點；

(3)(5分)判斷方程/(x)=m(%)|實數(shù)根的個數(shù).

【答案】(1)解：因為/'(%)=e*—cos%+；/,

所以/(x)=ex+sinx+所以/'(0)=0，/(0)=1

所以曲線y=/(久)在點(0,/(0))處的切線方程y=%.

(2)證明：因為g(x)定義域為(0,+oc),

當(dāng)+<x)時，g(x)>0,

當(dāng)xC(0,1)時，由g'(x)=1+cosx>0

所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，

又g(l)=sinl〉0,5(e-1)=-1+sine-1<0,且函數(shù)圖象連續(xù)不斷

所以G(0,1),有g(shù)(%o)=lnx04-sinx0=0

綜上所述，函數(shù)g(%)在(0,+(x)上有唯一零點陽)e(0,1)

(3)解：由(2)可知：g(%)在(0,&)上恒小于零，在Qo，+8)恒大于零.

設(shè)函數(shù)〈(%)=/(x)-|g(x)|，

當(dāng)％E(0,%。)時，(p(x)=ex—cosx+訝/+Inx+sinx,

,1

所以/(%)=e%+sinx+cosx4-%4-

因為％+「2,sinx+cosx=V2sin(x+6[-V2,V2],

所以w'(%)>0,即函數(shù)9(x)在(0,%o)上單調(diào)遞增.

x

又因為0(%o)=eO—cosx0++lnx0+sinx0

1

=(ex°_cosx)+7j%o>0

0乙

1

(p(e-3)=e~3—cose-3+-3+sine-3<0

所以函數(shù)9(%)在(0,q)上存在唯一零點，

即方程/(%)=|g(x)|在(0,3)上有唯一零點.

當(dāng)xe(%。，+oc)時，(p(x)=ex—cosx+2x2—Inx-sin%.

因為x-l>lnx,ex>x+1,所以e*—Inx2(x+1)—(x-1)=2

所以e*—cosx+^x2—Inx-sinx>(2—sinx—cosx)+^x2>0，

即方程/(%)=|g(x)|在xG(x0,+oc)上無零點.

綜上所述，方程f(x)=|g(x)|有且只有一個實根.

【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，求出F(0),再由點斜式即可得到所曲線y=/(%)在點(0,/(0))處的切線

方程；

⑵當(dāng)夜1時，g(x)>0,當(dāng)xG(0,1)時，求導(dǎo)可知g(x)單調(diào)遞增，再利用零點存在性定理即可得證

函數(shù)g(x)有唯一零點；

(3)將函數(shù)(p(x)表示為分段函數(shù)的形式，分xe(0,X。)及xe(x0,+8)討論求解即可得方程

/(X)=也(%)|實數(shù)根的個數(shù).

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：93分

客觀題（占比）27.0(29.0%)

分值分布

主觀題（占比）66.0(71.0%)

客觀題（占比）15(68.2%)

題量分布

主觀題（占比）7(31.8%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題4(18.2%)4.0(4.3%)

解答題6(27.3%)65.0(69.9%)

多選題4(18.2%)8.0(8.6%)

單選題8(36.4%)16.0(17.2%)

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號難易度占比

1普通(77.3%)

2容易(22.7%)

4、試卷知識點分析

序號知識點（認(rèn)知水平）分值（占比）對應(yīng)題號

1獨立性檢驗的基本思想12.0(12.9%)11,21

2利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值1.0(1.1%)16

3等差數(shù)列的通項公式12.0(12.9%)10,20

4排列、組合及簡單計數(shù)問題2.0(2.2%