人教A版數(shù)學必修1學案

1.1.1集合的含義

學習目標：

知識與技能：（1）初步理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記法初步了解“G”關(guān)系的意義.

過程與方法：學會借助實例分析、探究數(shù)學問題（如集合中元素的確定性、互異性）.

3、如果用A表示高一（3）班全體學生組成的集合，用a表示高一（3）班的一位同學，b是高一

情感與態(tài)度：培養(yǎng)實事求是、扎實嚴謹?shù)目茖W態(tài)度.（4）班的一位同學，那么a,b與集合A有什么關(guān)系？由此可見元素與集合間有什么關(guān)系？

學習重點：

集合概念的形成。

學習難點：

4、請你指出下列集合中的元素。

理解集合的元素的確定性和互異性.（1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；（2）方程x?=x的所有實數(shù)根組成的集合；

學習過程?）

（3）由1?20以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合；（4）方程x--2=0的所有實數(shù)根組成的集合;

（-）自主學習（5）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。

閱讀課本，完成下列問題：

1、例（3）到例（8）和例（1）（2）是否具有相同的特點，它們能否構(gòu)成集合，如果能，他們

的元素是什么？結(jié)合現(xiàn)實生活，請你舉出一些有關(guān)集合的例子。

（三）鞏固練習

完成課本P5頁練習1

2、一般地，我們把研究對象稱為?把一些元素組成的總體叫做o（四）當堂檢測

3、集合的元素必須是不能確定的對象不能構(gòu)成集合。

4、集合的元素一定是的，相同的幾個對象歸于同一個集合時只能算作一個元素。1、用“w”或“住”符號填空：

5、集合通常用大寫的拉丁字母表示，如o元素通常用小寫的拉丁字母表示，如（1）3--.Q（2鏟—N;（3）萬Q（4）72—R;（5）囪—Z（6）（否）?

6、如果a是集合A的元素，就說a屬于A,記作，讀作“7

如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作,讀作“N

7、非負整數(shù)集（或自然數(shù)集J,正整數(shù)集,整數(shù)集，有理數(shù)集,2、集合A：比3的倍數(shù)小1的所有的數(shù)

有理數(shù)集，實數(shù)集o（1）5____A,（2）7____A,（3）-10____A.

（二）合作探討

1、下列元素全體是否構(gòu)成集合，并說明理由

（1）世界上最高的山（2）世界上的高山。（3）、歷的近似值（4）愛好唱歌的人

（5）本屆奧運會我國取得優(yōu)秀成績的運動員。（6）本屆奧運會我國參加的所有運動項目。

2、結(jié)合具體例子，請你說明你對集合中元素具有的互異性和確定性的理解。

（五）反思質(zhì)疑2、試用描述法表示下列集合：

1）方程x2-2=0的所有實數(shù)根組成的集合；2）所有的奇數(shù)；所有偶數(shù)；比3的倍數(shù)多一的整

1.1-1集合表示法數(shù)

學習目標：3）不等式x-10>0的解集4）一次函數(shù)y=2x+1圖象上的所有的點。

知識與技能：掌握集合的表示方法，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）

描述不同的具體問題

過程與方法：發(fā)展運用數(shù)學語言的能力，感受集合語言的意義和作用。

情感與天都：通過合作學習培養(yǎng)合作精神.

學習重點：集合的表示方法，即運用集合的列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合思考？請你結(jié)合具體例子，試比較用自然語言、列舉法、描述法表示集合時，各自的特點和適用對象。

自己舉幾個集合的例子，并分別用自然語言，列舉法和描述法表示出來。

學習難點：難點是集合特征性質(zhì)的概念，以及運用特征性質(zhì)描述法表示集合

學習過程

（-）自主學習

閱讀課本，完成下列問題

集合的表示方法

1.（三）鞏固練習

（1）列舉法：把一一列舉出來，寫在內(nèi),用逗號隔開。完成課本P5練習2,3

（2）描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)，具體方法在大括號內(nèi)（四）當堂檢測

1、已知A=｛xIx=3k-l,k￡Z｝,用“￡”或“走”符號填空：

先寫上表示這個集合元素的及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎

（1）5A,（2）7A,（3）-10A.

線后寫出這個集合中元素所具有的

o2、試選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

｛xellp（x））其中：1）壬是集合中元素的代表形式,211是工—的范圍,3）*3）是集合1）由小于8的所有素數(shù)組成的集合2）一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點組成的集

中元素的共同特征,4）豎線不可省略。合；

思考？1、（xlx=3）與｛yly=3｝是否是同一集合？2、｛）"丫=乂2｝與｛（x,y）Iy=x?｝是否是同一3）不等式4x-5v3的解集4）二次函數(shù)y=x2-4的函數(shù)值組成的集合；

集合？

5）反比例函數(shù)y=2*的自變量的值組成的集合；

x

（二）合作探討

1、用列舉法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；（2）方程X2=X的所有實數(shù)根組成的集合：

->

（3）由1?20以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合;（4）方程x、2H）的所有實數(shù)根組成的集合;3、已知-3w｛m-l,3m,m~+1｝,求m的值.

（5）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。

我的問題：

(五)反思質(zhì)疑

例2寫出集合{a,b)的所有子集，并指出哪些是它的真子集?

1.2.1集合間的關(guān)系

學習目標：

知識與技能：能識別給定集合的子集.集合之間的包含與相等關(guān)系

過程與方法：初步經(jīng)歷使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學對象的過程，體會集合語言，

運用數(shù)學語言進行交流的能力0：

例3已知集合人={x|x>b},B={x\x>3}，若則求實數(shù)b的范圍？

情感與態(tài)度：r解集合的包含，感受集合語言在描述客觀現(xiàn)實和數(shù)學問題中的意義。

學習重點：子集的概念

學習難點：元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別

學習過程

(一)自主學習

(1)一般的，對于兩個集合A、B,如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素那么集合A

叫做集合B的,記作_或____.當集合A不包含于集合B時，記作

B,用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系(三)鞏固練習

完成課本P7練習

(2)集合與集合之間的“相等”關(guān)系，若,則A=B(四)當堂檢測

1.用適當?shù)姆柼羁眨?/p>

A=8中的元素是一樣的-------2，

(1)a__{a,b,c}(2)0____{xI/=0}(3)C____{x^RIx~+l=O),

(3)真子集的概念jo

(4){0,1)__N(5)p)____{xIx2=x](6){2,1)____{xI%2-3x+2=0)

(4)任何一集合都是它自身的:

(5)空集的概念jo記作(7)已知集合A={xI2x-3<34},B={XIxN2},則有:

空集是任何集合的，是任何非空集合的0-4____B-3A{2}BBA

思考？包含關(guān)系{a}qA與屬于關(guān)系。wA有什么區(qū)別？試結(jié)合實例作出解釋。(8)已知集合A=(x|J-1=0},則有：

1____A,{-1}____A,?！狝,{-1,1}____A

(9){x|x是菱形}—{x|x是平行四邊形}:卜Ix是等腰三角形}—{xIx是等邊三角

形}

(二)合作探究2.寫出集合{a,b,c)的所有子集，并指出哪些是它的真子集？

例1.觀察實例，寫出下列集合間的關(guān)系。

(1)A={1,3),B={1,3,5,71(2)A={高一全體女生},B={高一全體學

生}

(3)A={x|x是矩形},B={x|x是平行四邊形}(4)A=N,B=Q

(5)A={x|x>3),B={xI.x>5),C={xIA>7)(6)A={xI(x+2)(x+l)=O)>B={-1<2)

4、補集:

叫做A在U中的補集，記作..用Venn圖表達如圖(3)

(五)反思質(zhì)疑

1.1.3集合的運算

學習目標：

(1)理解兩個集合的交集、并集、補集的含義.

(2)會求兩個集合的交集、并集、補集.

(3)能使用Venn圖表達集合間的運算.

(4)通過復習集合與集合間的關(guān)系，對照數(shù)或式的算術(shù)運算和代數(shù)運算，探究集合之間的運算.(二)合作探討⑶

(5)使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學對象的過程，體會集合語言，發(fā)展運用數(shù)學語言進行交

1、求下列集合A與B的交集、并集

流的能力

(6)通過直觀圖的運用培養(yǎng)學生的探索精神.(1)A={4,5,6,8}B={3,5,7,8}(3)

學習重點：集合的交、并、補運算(2)A={x|-Kx<2}B={x|l<x<3)

學習難點：補集的運算.

學習過程

自主學習：2、新華中學開運動會，設A={xx是新華中學高一年級參加百米賽跑的同學}

1、試用Venn圖表示集合A,B可能的關(guān)系。B={x|x是新華中學高?年級參加跳高比賽的同學},求AAB.

3、設平面內(nèi)直線J上點的集合為J,直線L2上點的集合為L2,試用集合的運算表示

L1,L2的位置關(guān)系.

2、___________________叫做A.B的并集，記作.(讀作"A并B").即

AuB=,用Venn圖表達如圖(1)

4、設1；={xx是小于9的正整數(shù)},A={l,2,3},B={3,4,5,6}或CuA,CuB,AnU,

un(AuB)

交集:.,叫做A.B的交集.

記作.(讀作"A交B")，BPAnB=.

用Venn圖表達如圖(2)

5、設全集U={x|x是三角形},A={xx是銳角三角形},B={xX是鈍角三角形},求AOB,

3、全集：那么稱這個給定的集合

為全密Cu(AkJB)

U

C°A

1.設集合A={xl(x-3)(x-a)=O},B=(xI(x-4)(x-l)=0),求ACB.AuB

（三）鞏固練習

2.已知全集U=Ak>B={xGN0<x<10),API((\出)={1,3,5,7},試求集合B.

(四)當堂檢測

I、設A={3,5,6,8},B=|4,5,7.8}，求AClB,AUB

2、設A={X|X2-4X-5=0},B={x|x2=l},求AC1B,AUB

3、已知A={xx是等腰三角形),B={x|x是直角三角形),求APIB,ADB.

4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,71.人=(2,4,5},8=".3,5,7),求八1'^1，8,((：(/人)。((：08)

5、設集合A={x|2<x<4},B={x|3x-7>8-2x},求ACB.AuB

6、設5={xlx是平行四邊形或梯形}.A={xx是平行四邊形}.B={xlx是菱形},

C={x|x是矩形}，求CDB,C“B,CSA.

(五)反思質(zhì)疑

（六）拓展能力

4.一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域和值域:

{x|a<x<b}{x|a<x<b}{x|a<x<b}{x|a<x<b}

區(qū)間類型

1.2.1函數(shù)的概念

區(qū)間表示

數(shù)軸表示

學習目標：

(1)通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型，在此基礎上

學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；

(2)了解構(gòu)成函數(shù)的要素；

(3)會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；

(4)能夠正確使用“區(qū)間”的符號表示某些函數(shù)的定義域{x|2<x<4}{x1<x<2.5}{xx>3}{x|x<4}

學習重點：理解函數(shù)的模型化思想，用合與對應的語言來刻畫函數(shù)；

區(qū)間表示

學習難點：符號"y=f(x)”的含義，函數(shù)定義域和值域的區(qū)間表示；

學習過程數(shù)軸表示

(一)自主學習：

1.函數(shù)的概念：一般的，我們有：

設A,B是，如果按照某種確定的6使對于集合A中的,

在集合B中都有和它對應，那么就稱為從集合A到集合B的

一個函數(shù)，記作_______________5.區(qū)間的概念

讀課本完成下面兩個表格。

其中叫做自變量，x的取值范圍A叫做,與x的值相對應的y值叫

做_______」函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的o顯然，值域是集合B的子

集。將下列集合用區(qū)間表示并在數(shù)軸上表示

注意：

y=ax+b(aW0)y=ax2+bx+c(aH0)

y=—(kW0)僦以皿潑函騏必(二)合作探討

X

可以用任意的字母表示,如例1.已知函數(shù)f(x)=JTT5+」一

定義域

“y=g(x)”；x+2

0函數(shù)符號"Y=f(X)”中2

值域⑴求函數(shù)的定義域；(2)求f(-3),f(—)；(3)當a>0時,求f(a),f(a?l)的值。

的f(x)表示與X對應的函數(shù)值，3

一個數(shù)，而不是f乘x.

2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：_______,_________,_________.

3.函數(shù)相等:若兩個函數(shù)的相同，且在本質(zhì)上也是相同的，則稱兩個函數(shù)相等。

(3)當f(x)=2時,求x的值.

例2.卜,列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等?

(l)y=(Vx)2;(2)y=Vx^；(3)y=;(4)y=—

x

(五)反思質(zhì)疑

(三)鞏固練習

完成課本19頁

(四)當堂檢測(六)拓展能力

1.已知函數(shù)f(x)的定義域[-2,4],求函數(shù)f(2x-3)的定義域.

I.求下列函數(shù)的定義域：

(l)f(x)=-1—:(2)f(x)=Jl-x+Jx+3-1;(3)f(x)=6

;(4)f(x)="-j

4x+7x~—3x+2x-1

2.已知函數(shù)f(x-4)的定義域⑵4],求函數(shù)f(x)的定義域.

2.已知函數(shù)f(x)=3x2-5x+2,求f(-Ji),f(-a),f(a+3),f(a)+f(3)

3.若函數(shù)f(x)=x2+bx+c,且f(l)=0,f(3)=0,求f(-l)的值

4.已知函數(shù)f(x)=^——

x-6

(1)點(3,14)在f(x)的圖象上嗎？

(2)當x=4時，求f(x)的值；

例1.某種筆記本的單價是5元，買x(x￡{l,2,3,4,5})個筆記本需要y元.試用三種表示法表

示函數(shù)y=4x).

例2.下表是某校高一(1)班三位同學在高一學年度兒次數(shù)學測試的成績及班級及班級平均分表:

函數(shù)的表示法

1.2.2第一次第二次第三次第四次第五次第六次

■偉988791928895

張城907688758680

趙磊686573727582

學習目標：班平均分88.278.385.480.375.782.6

(1)明確函數(shù)的三種表示方法；函數(shù)的三種不同表示的相互間轉(zhuǎn)化。請你對這三們同學在高?學年度的數(shù)學學習情況做?個分析

(2)在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；

(3)通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用；

(4)糾正認為“yR(x)”就是函數(shù)的解析式的片面錯誤認識.

學習重點：函數(shù)的三種表示方法，分段函數(shù)的概念.

學習難點：根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，什么才算“恰當”？分段函數(shù)的表示及其

圖象.

學習過程例3.畫出函數(shù)y=1x1.

(一)自主學習：

(1)閱讀課本15頁，三個函數(shù)問題在表示方法上有什么區(qū)別？

(2)你能說出幾種函數(shù)表示法的各白優(yōu)缺點嗎？

例4.某市郊空調(diào)公共汽車的票價按下列規(guī)則制定：

(1)乘坐汽車5公里以內(nèi)，票價2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里按5公里t脖).

已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1公里，如果沿途(包括起點站和終點站)設20個汽

(二)合作探討

車站，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象.

（五）反思質(zhì)疑

(三)鞏固練習

(六)拓展能力

完成P23頁練習

-x2+2x,x>0

(四)當堂檢測i.已知m)={i,x=o

—x—1,x<0

1.畫出下列函數(shù)的圖象

(1)求人-1),加1))//6-1)]}

0(x<0)

(l)y=lx-2l.(2)F(x)={(3)G(n)=3n+l,RG{1,2,3)(2)畫出函數(shù)的圖象

1(x>0)

2.如圖，矩形的面積為10,如果矩形的長為x,寬為y,對角線為d,周長為1,那么你能獲得關(guān)于這

些量的哪些函數(shù)？

3.一個圓柱形的底部直徑是dem,高是hem,現(xiàn)在以vcm3/s的速度向容器內(nèi)注入某種溶液求容器內(nèi)溶

液的高度與xcm關(guān)于注入溶液的時間ts的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域和值域。

(4)

(1)請觀察上面五個對應各有什么特征

⑵這五個對應中，是否存在兒組對應有共同特征？

1.2.3映射

學習目標：

理解映射的概念；

用映射的觀點建立函數(shù)的概念2.映射的概念

重點、難點：映射的概念.

學習過程：

(一)自主學習：3.映射觀點下的函數(shù)概念

1.函數(shù)的概念：

(二)合作探討

例1.下列哪些對應是從集合A到集合B的映射？

(1)A={P|P是數(shù)軸上的點},B=R,對應關(guān)系￡數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應；

(2)A={PP是平面直角體系中的點},B={(x,y)|x￡R,y￡R},對應關(guān)系￡平面直角體系中

的點與它的坐標對應；

(3)A={三角形},B={x：x是圓},對應關(guān)系/.:每一個三角形都對應它的內(nèi)切圓；

(4)A={xx是新華中學的班級},B={x|x是新華中學的學生)，對應關(guān)系ft每一個班級都時應班里

的學生.

(5)A=N*,B={O,1}對應法則：B中的元素x除以2得的余數(shù)

例2.下列對應中，哪些是A到B的映射？

2.已知集合人={1,2,3,1<},13={4,7,24,22+3。},且2€瓦14€?^€4昨15,映射，認fB,使B中元

素y=3x+l和A中元素x對應,求a及k的值.

(五)反思質(zhì)疑

例3.設f:AfB是A到B的一個映射，其中A=B={(x,y)Ix,yeR),(x,y)-*(x-y,x+y),求:

(DA中元素(-1,2)在B中對應的元素.(六)拓展能力

(2)在A中什么元素與B中元素(-1,2)對應？

例4.設集合A={a,b,c},B={0,1},試問從A到B的映射共有多少個？

(三)鞏固練習：

完成P23頁練習

(四)當堂檢測

1.已知卜,列集合A到B的對應，請判斷哪些是A到B的映射，并說明理由.

(1)A=N,B=Z,對應法則/為“取相反數(shù)”；

(2)A={-1,0,2},B={-1,0,0.5)對應法則“取倒數(shù)”；

(3)A={1,2,3,4,5},B=R,對應法則：“求平方根”；

(4)A={0,1,2,4),8={0,1,4,9,64}對應法則f:a->b=(a-l)2

1.觀察函數(shù)y=x+2,y=-x+2,y=x2,y二’的圖象.

思考：

1）上述圖象有什么變化規(guī)律？對于白變量的變化，相應的函數(shù)值有哪些變化規(guī)律？

1.3.1函數(shù)的基本性質(zhì)

學習目標：2）對于y=x2,列出x,y的對應值表，并體會圖象在y軸右側(cè)的上升

1,初步理解增函數(shù)、減函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念，

X.........-3-2-10123.........

2,掌握判斷?些簡單函數(shù)單調(diào)性的方法.

3,學生通過觀察、歸納、抽象、概括，自主建構(gòu)單調(diào)增函數(shù)、單調(diào)減函數(shù)等概念；能運用函數(shù)單y=x2

調(diào)性概念解決簡單的問題；領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的

能力.

3）在數(shù)學上規(guī)定：），=/在區(qū)間（o,+oo）是增函數(shù)，請給出增函數(shù)的定義。

4,在函數(shù)單調(diào)性的學習過程中，學生體驗數(shù)學的科學價值和應用價值，培養(yǎng)善于觀察、勇于探索

的良好習慣和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度.

重點、難點

1,函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)概念的理解和證明；

2,利用函數(shù)單調(diào)性的概念判斷或證明函數(shù)單調(diào)性.

學習過程：4）增函數(shù)定義中“當王時，都有反映了函數(shù)值有什么變化？函數(shù)的圖象有什

（一）、自主學習么特點？

5）增函數(shù)的幾何意義是什么？［-5,5］上是增函數(shù)或是減函數(shù)？

6）類比增函數(shù)的定義，請給出減函數(shù)的定義，并說明其幾何意義。結(jié)合上面丫=’的圖象，完成下面兩個問題：1）這個函數(shù)的定義域I是什么？2）這個函數(shù)在定義域

X

I上的單調(diào)區(qū)間是什么？

（7）函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的定義是什么？例2物理學中的波利爾定律p=*（A是正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當體積歹減小,

壓強。將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明之.

（二）合作探究注：歸納按定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

例1、如圖，定義在閉區(qū)間［-5,5］上的函數(shù)y=f（x）的圖象，根據(jù)圖象說出y=f（x）的單調(diào)區(qū)間,

以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)