數(shù)學實驗2課件市公開課金獎市賽課一等獎課件

數(shù)學建模試驗

---曲線擬合

第1頁第1頁一、實驗目及意義二、實驗學時安排三、實驗環(huán)節(jié)四、實驗要點分析五、實驗總結內(nèi)容簡介第2頁第2頁一、實驗目及意義二、實驗學時安排三、實驗環(huán)節(jié)四、實驗要點分析五、實驗總結內(nèi)容簡介第3頁第3頁一、實驗目及意義[1]理解擬合基本內(nèi)容；[2]掌握MATLAB軟件求解擬合問題；[3]驗證幾種簡樸模型求解；[4]對預測和擬定參數(shù)實際問題,建立數(shù)學模型,并求解.通過該試驗學習,理解擬合幾種典型應用,進一步理解數(shù)學建模過程.這對于學生進一步理解數(shù)學概念,掌握數(shù)學思維辦法,熟悉處理大量工程計算問題辦法含有十分主要意義.

第4頁第4頁一、實驗目及意義二、實驗學時安排三、實驗環(huán)節(jié)四、實驗要點分析五、實驗總結內(nèi)容簡介第5頁第5頁一、實驗目及意義二、實驗學時安排三、實驗環(huán)節(jié)四、實驗要點分析五、實驗總結內(nèi)容簡介第6頁第6頁三、試驗環(huán)節(jié)1.建立一個自己文獻夾;2.啟動軟件平臺---MATLAB，將你建立文獻夾加入到MATLAB搜索路徑中。

3．啟動MATLAB編輯窗口,鍵入你編寫M文獻（命令文獻或函數(shù)文獻）；4．保留文獻（注意將文獻存入你自己文獻夾）并運營；5．若出現(xiàn)錯誤，修改、運營直到輸出正確結果；6．寫出試驗匯報，并淺談學習心得體會。第7頁第7頁一、實驗目及意義二、實驗學時安排三、實驗環(huán)節(jié)四、實驗要點分析五、實驗總結內(nèi)容簡介第8頁第8頁曲線擬合提法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個點（xi,yi)i=1,…n,尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x),使f(x)在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為靠近，即曲線擬合得最好。

+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii

為點（xi,yi)與曲線y=f(x)距離.四、試驗要點分析第9頁第9頁曲線擬合問題最慣用解法——線性最小二乘法基本思緒第一步:先選定一組函數(shù)

r1(x),r2(x),…rm(x),m<n,

令

f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)（1）其中

a1,a2,…am

為待定系數(shù)。第二步:擬定a1,a2,…am

準則（最小二乘準則）：使n個點（xi,yi)與曲線y=f(x)距離i平方和最小。記

問題歸結為，求a1,a2,…am

使J(a1,a2,…am)最小。第10頁第10頁

簡樸舉例闡明：

我們用直線

a0+a1x擬合給定數(shù)據(jù):(xi,yi),i=1,2,…,m,把數(shù)據(jù)代入直線方程得：第11頁第11頁線性最小二乘法求解：預備知識超定方程組：方程個數(shù)不小于未知量個數(shù)方程組即Ra=y其中超定方程普通是不存在解矛盾方程組。假如有向量a使得達到最小，則稱a為上述超定方程最小二乘解。第12頁第12頁線性最小二乘法求解

定理：當RTR可逆時，超定方程組（3）存在最小二乘解，且即為方程組RTRa=RTy解：a=(RTR)-1RTy

因此，曲線擬合最小二乘法要處理問題，事實上就是求下列超定方程組最小二乘解問題。其中Ra=y（3）第13頁第13頁

設

y*=a+bxi，令δi=yi-y*i=yi-a-bxi，依據(jù)最小二乘原理，即使誤差平方和達到最小，也就是令

n

Q=∑δi2

i=1

為最小，即求使

有最小值a和b值。第14頁第14頁

給定數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,…,m.

求擬合曲線

y*=

a+bx,

擬定a，b，使其均方誤差

達到最小。由多元函數(shù)極值必要條件，上式達到極小，a,b滿足兩個二階導數(shù)均不小于零第15頁第15頁

解之得

a，b。代入y*=

a+bx,即得所求擬合曲線。第16頁第16頁線性最小二乘擬合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函數(shù){r1(x),…rm(x)}選取

1.通過機理分析建立數(shù)學模型來擬定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.將數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1,…n作圖，通過直觀判斷擬定f(x)：第17頁第17頁用MATLAB解擬合問題1、線性最小二乘擬合2、非線性最小二乘擬合3、cftool(自學)ployfit\lsqcurvefitlsqnonlin第18頁第18頁用MATLAB作線性最小二乘擬合1.作多項式f(x)=a1xm+…+amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.對超定方程組可得最小二乘意義下解。，用輸出擬合多項式系數(shù)a=[a1,…am,

am+1]輸入同長度數(shù)組X，Y擬合多項式次數(shù)多項式在x處值y可用下列命令計算：y=polyval（a，x）第19頁第19頁即要求出二次多項式:中使得:例1對下面一組數(shù)據(jù)作二次多項式擬合第20頁第20頁1）輸入下列命令：x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];R=[(x.^2)'x'ones(11,1)]；

A=R\y'MATLAB(zxec1)解法1．用解超定方程辦法2）計算結果：Ａ=-9.810820.1293-0.0317第21頁第21頁1）輸入下列命令：x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出數(shù)據(jù)點和擬合曲線圖形2）計算結果：Ａ=-9.810820.1293-0.0317解法2．用多項式擬合命令MATLAB(zxec2)第22頁第22頁用MATLAB作非線性最小二乘擬合

Matlab(優(yōu)化工具箱)提供了兩個求非線性最小二乘擬合函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。

兩個命令都要先建立M-文獻定義函數(shù)，然后編寫主程序M-文獻求解非線性模型未知參數(shù)

注意：二者定義f(x)方式是不同.第23頁第23頁fun是一個事先建立定義函數(shù)F(x,xdata)M-文獻,輸入變量為x和xdata格式：x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);迭代初值已知數(shù)據(jù)點1.lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）求非線性模型F未知參數(shù)x

第24頁第24頁格式：x=lsqnonlin（‘fun’，x0）；fun是一個事先建立定義函數(shù)f(x)M-文獻，自變量為x迭代初值2.lsqnonlin已知數(shù)據(jù)點：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）求非線性模型F未知參數(shù)x

其中f（x）=F(x,xdata)-ydata使得

最小。第25頁第25頁

例2用下面一組數(shù)據(jù)擬合

中參數(shù)a，b，k.該問題即解最優(yōu)化問題：第26頁第26頁MATLAB(curvefun1，fzxec1)

1）編寫M-文獻curvefun1.m

functionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;2）輸入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];

x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata)

F(x，tdata)=，x=(a，b，k)解法1.用命令lsqcurvefit第27頁第27頁f(x)=x=（a，b，k）1）編寫M-文獻curvefun2.m

functionf=curvefun2(x)tdata=100:100:1000;cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)-cdata2）輸入命令:

x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqnonlin('curvefun2',x0)f=curvefun2(x)函數(shù)curvefun2