2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章不等式、推理與證明課時(shí)達(dá)標(biāo)37直接證明與間接證明理

PAGEPAGE52022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章不等式、推理與證明課時(shí)達(dá)標(biāo)37直接證明與間接證明理[解密考綱]對(duì)利用綜合法、分析法、反證法證明數(shù)學(xué)命題常與數(shù)列、解析幾何、立體幾何、函數(shù)綜合在一起進(jìn)行考查．一、選擇題1．用反證法證明命題：假設(shè)a＋b＋c為偶數(shù)，那么“自然數(shù)a，b，c恰有一個(gè)偶數(shù)〞時(shí)正確反設(shè)為(D)A．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)B．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)C．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．自然數(shù)a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)解析：由于“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)〞的否認(rèn)是“自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)〞，應(yīng)選D．2．分析法又稱執(zhí)果索因法，假設(shè)用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a〞索的因應(yīng)是(C)A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a?b2－ac＜3a2?(a＋c)2－ac＜3a?a2＋2ac＋c2－ac－3a?－2a2＋ac＋c2?2a2－ac－c2?(a－c)(2a＋c?(a－c)(a－b)＞0.3．假設(shè)P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，那么P，Q的大小關(guān)系是(C)A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值確定解析：不妨設(shè)P＜Q，∵要證P＜Q，只要證P2＜Q2，只要證2a＋7＋2eq\r(aa＋7)＜2a＋7＋2·eq\r(a＋3a＋4)，只要證a2＋7a＜a2＋7只要證0＜12，∵0＜12成立，∴P＜Q成立．4．要使eq\r(3,a)－eq\r(3,b)<eq\r(3,a－b)成立，那么a，b應(yīng)滿足(D)A．a(chǎn)b<0且a>b B．a(chǎn)b>0且a>bC．a(chǎn)b<0且a<b D．a(chǎn)b>0且a>b或ab<0且a<b解析：要使eq\r(3,a)－eq\r(3,b)＜eq\r(3,a－b)成立，只要(eq\r(3,a)－eq\r(3,b))3＜(eq\r(3,a－b))3成立，即a－b－3eq\r(3,a2b)＋3eq\r(3,ab2)＜a－b成立，只要eq\r(3,ab2)＜eq\r(3,a2b)成立，只要ab2＜a2b成立，即要ab(b－a)＜0成立，只要ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b成立．5．a(chǎn)>b>0，且ab＝1，假設(shè)0<c<1，p＝logceq\f(a2＋b2,2)，q＝logceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a)＋\r(b))))2，那么p，q的大小關(guān)系是(B)A．p>qB．p<q C．p＝qD．p≥q解析：∵eq\f(a2＋b2,2)＞ab＝1，∴p＝logceq\f(a2＋b2,2)＜0.又q＝logceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a)＋\r(b))))2＝logceq\f(1,a＋b＋2\r(ab))＞logceq\f(1,4\r(ab))＝logceq\f(1,4)＞0，∴q＞p.6．(2022·山東模擬)設(shè)x，y，z>0，那么三個(gè)數(shù)eq\f(y,x)＋eq\f(y,z)，eq\f(z,x)＋eq\f(z,y)，eq\f(x,z)＋eq\f(x,y)(C)A．都大于2B．至少有一個(gè)大于2C．至少有一個(gè)不小于2D．至少有一個(gè)不大于2解析：因?yàn)閤＞0，y＞0，z＞0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(y,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z,x)＋\f(z,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(x,y)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(x,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,z)＋\f(z,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(z,x)))≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)等號(hào)成立，那么三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2，應(yīng)選C．二、填空題7．設(shè)a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，那么a，b的大小關(guān)系為a＜b.解析：a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4eq\r(6)，b2＝11＋4eq\r(7)，顯然eq\r(6)＜eq\r(7).∴a＜b.8．用反證法證明命題“假設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，那么a，b，c，d中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)〞時(shí)，第一步要假設(shè)結(jié)論的否認(rèn)成立，那么結(jié)論的否認(rèn)是a，b，c，d全是負(fù)數(shù)．解析：“至少有一個(gè)〞的否認(rèn)是“一個(gè)也沒(méi)有〞，故結(jié)論的否認(rèn)是“a，b，c，d中沒(méi)有一個(gè)是非負(fù)數(shù)，即a，b，c，d全是負(fù)數(shù)〞．9．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出以下條件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是③(填序號(hào))．解析：假設(shè)a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，那么a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；假設(shè)a＝b＝1，那么a＋b＝2，故②推不出；假設(shè)a＝－2，b＝－3，那么a2＋b2＞2，故④推不出；假設(shè)a＝－2，b＝－3，那么ab＞1，故⑤推不出；對(duì)于③，即a＋b＞2，那么a，b中至少有一個(gè)大于1，反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，那么a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1，故③能推出．三、解答題10．(2022·江蘇徐州模擬)如圖，AB，CD均為圓O的直徑，CE⊥圓O所在的平面，BF∥CE，求證：(1)平面BCEF⊥平面ACE；(2)直線DF∥平面ACE.證明：(1)因?yàn)镃E⊥圓O所在的平面，BC?圓O所在的平面，所以CE⊥BC．因?yàn)锳B為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，所以AC⊥BC．因?yàn)锳C∩CE＝C，AC，CE?平面ACE，所以BC⊥平面ACE.因?yàn)锽C?平面BCEF，所以平面BCEF⊥平面ACE.(2)由(1)知AC⊥BC，又因?yàn)镃D為圓O的直徑，所以BD⊥BC．因?yàn)锳C，BC，BD在同一平面內(nèi)，所以AC∥BD．因?yàn)锽D?平面ACE，AC?平面ACE，所以BD∥平面ACE.因?yàn)锽F∥CE，同理可證BF∥平面ACE，因?yàn)锽D∩BF＝B，BD，BF?平面BDF，所以平面BDF∥平面ACE.因?yàn)镈F?平面BDF，所以DF∥平面ACE.11．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．(1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．解析：(1)分兩種情況討論．①當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1的常數(shù)列，所以Sn＝a1＋a1＋a1＋…＋a1＝na1.②當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an?qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan－1＋qan.將上面兩式相減得(1－q)Sn＝a1＋(a2－qa1)＋(a3－qa2)＋…＋(an－qan－1)－qan＝a1－qan?Sn＝eq\f(a1－qan,1－q)＝eq\f(a11－qn,1－q).綜上，Sn＝eq\f(a1－qan,1－q)＝eq\f(a11－qn,1－q)，綜上，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))(2)證明：設(shè){an}是公比q≠1的等比數(shù)列，假設(shè)數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，那么(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋1)，即(a1q＋1)2＝(a1＋1)(a1q2＋1)，整理得a1(q－1)2＝0得a1＝0或q＝1均與題設(shè)矛盾，故數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．12．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．假設(shè)f(c)＝0，且0<x<c時(shí)，f(x)>0.(1)證明：x＝eq\f(1,a)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)；(2)試比擬eq\f(1,a)與c的大小．解析：(1)證明：∵f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2.∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根．又x1x2＝eq\f(c,a)，∴x2＝eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≠c))，x＝eq\f(1,a)是f(x)＝0的一個(gè)根．即x＝eq\f(1,a)是函