隨機(jī)變量與其分布習(xí)題解答

-.z.第二章隨機(jī)變量及其分布1、解：設(shè)公司賠付金額為，則*的可能值為；投保一年內(nèi)因意外死亡：20萬，概率為0.0002投保一年內(nèi)因其他原因死亡：5萬，概率為0.0010投保一年內(nèi)沒有死亡：0，概率為1-0.0002-0.0010=0.9988所以的分布律為：2050P0.00020.00100.99882、一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5，在其中同時取三只，以*表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量*的分布律解：*可以取值3，4，5，分布律為也可列為下表*：3，4，5P：3、設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以*表示取出次品的只數(shù)，〔1〕求*的分布律，〔2〕畫出分布律的圖形.解：任取三只，其中新含次品個數(shù)*可能為0，1，2個.PP*12O*12O再列為下表*：0，1，2P：4、進(jìn)展重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q=1－p(0<p<1)〔1〕將實(shí)驗(yàn)進(jìn)展到出現(xiàn)一次成功為止，以*表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求*的分布律.〔此時稱*服從以p為參數(shù)的幾何分布.〕〔2〕將實(shí)驗(yàn)進(jìn)展到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律.〔此時稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布.〕〔3〕一籃球運(yùn)發(fā)動的投籃命中率為45%，以*表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)，寫出*的分布律，并計算*取偶數(shù)的概率.解：〔1〕P(*=k)=qk－1p k=1,2,……〔2〕Y=r+n={最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n－1次有n次失敗，且最后一次成功}其中q=1－p，或記r+n=k，則P{Y=k}=〔3〕P(*=k)=(0.55)k－10.45 k=1,2…P(*取偶數(shù))=5、一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是翻開的.有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去.鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間.假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的.〔1〕以*表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求*的分布律.〔2〕戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次.以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實(shí)的，試求Y的分布律.〔3〕求試飛次數(shù)*小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于*的概率.解：〔1〕*的可能取值為1，2，3，…，n，…P{*=n}=P{前n－1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去}=，n=1，2，……〔2〕Y的可能取值為1，2，3P{Y=1}=P{第1次飛了出去}=P{Y=2}=P{第1次飛向另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去}=P{Y=3}=P{第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去}=同上，故6、一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查說明在任一時刻t每個設(shè)備使用的概率為0.1，問在同一時刻〔1〕恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？〔2〕至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？〔3〕至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？〔4〕至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少？7、設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號.〔1〕進(jìn)展了5次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號的概率.〔2〕進(jìn)展了7次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號的概率解：設(shè)*為A發(fā)生的次數(shù).則n=5，7B:"指示等發(fā)出信號"①②8、甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6,0.7，令各投三次.求〔1〕二人投中次數(shù)相等的概率.記*表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨(dú)立，且彼此投籃也獨(dú)立.P(*=Y)=P(*=0,Y=0)+P(*=2,Y=2)+P(*=3,Y=3)=P(*=0)P(Y=0)+P(*=1)P(Y=1)+P(*=2)P(Y=2)+P(*=3)P(Y=3)=(0.4)3×(0.3)3+[〔2〕甲比乙投中次數(shù)多的概率.P(*>Y)=P(*=1,Y=0)+P(*=2,Y=0)+P(*=2,Y=1)+P(*=3)P(Y=0)+P(*=3)P(Y=1)+P(*=3)P(Y=2)=P(*=1)P(Y=0)+P(*=2,Y=0)+P(*=2,Y=1)+P(*=3)P(Y=0)+P(*=3)P(Y=1)+P(*=3)P(Y=2)=9、有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)歷收無次品承受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時承受這批產(chǎn)品，假設(shè)產(chǎn)品的次品率為10%，求〔1〕這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能承受的概率〔2〕需作第二次檢驗(yàn)的概率〔3〕這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被承受的概率〔4〕這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時被通過的概率〔5〕這批產(chǎn)品被承受的概率解：*表示10件中次品的個數(shù)，Y表示5件中次品的個數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故*~B〔10，0.1〕，Y~B〔5，0.1〕〔近似服從〕〔1〕P{*=0}=0.910≈0.349〔2〕P{*≤2}=P{*=2}+P{*=1}=〔3〕P{Y=0}=0.95≈0.590〔4〕P{0<*≤2，Y=0}({0<*≤2}與{Y=2}獨(dú)立)=P{0<*≤2}P{Y=0}=0.581×0.5900.343〔5〕P{*=0}+P{0<*≤2，Y=0}≈0.349+0.343=0.69210、有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯.如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗(yàn)成功一次.〔1〕*人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？〔2〕*人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒.他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次.試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力〔設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.〕解：〔1〕P(一次成功)=〔2〕P(連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次)=.此概率太小，按實(shí)際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力.11.盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過用圓規(guī)和直尺三等分一個任意角是不可能的.但每年總有一些"創(chuàng)造者〞撰寫關(guān)于用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章.設(shè)*地區(qū)每年撰寫此類文章的篇數(shù)*服從參數(shù)為6的泊松分布.求明年沒有此類文章的概率. 解：12.一交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布.求〔1〕每分鐘恰有8次呼喚的概率.〔2〕*一分鐘的呼喚次數(shù)大于3的概率. 〔1〕〔2〕13.*一公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)*服從參數(shù)為〔1/2〕t的泊松分布，而與時間間隔的起點(diǎn)無關(guān)〔時間以小時計〕.〔1〕求*一天中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率.〔2〕求*一天中午12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率.解：①②14、解：〔1〕、分鐘時小時，〔2〕、故〔小時〕所以〔分鐘〕15、解：16、解：17、解：設(shè)服從分布，其分布率為，求的分布函數(shù)，并作出其圖形.解一：01的分布函數(shù)為：18．在區(qū)間上任意投擲一個質(zhì)點(diǎn)，以表示這個質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)這個質(zhì)點(diǎn)落在中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求的分布函數(shù).解：①當(dāng)時.是不可能事件，②當(dāng)時，而是必然事件則③當(dāng)時，是必然事件，有19、以*表示*商店從早晨開場營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時間〔以分計〕，*的分布函數(shù)是求下述概率：〔1〕P{至多3分鐘}；〔2〕P{至少4分鐘}；〔3〕P{3分鐘至4分鐘之間}；〔4〕P{至多3分鐘或至少4分鐘}；〔5〕P{恰好2.5分鐘}解：〔1〕P{至多3分鐘}=P{*≤3}=〔2〕P{至少4分鐘}P(*≥4)=〔3〕P{3分鐘至4分鐘之間}=P{3<*≤4}=〔4〕P{至多3分鐘或至少4分鐘}=P{至多3分鐘}+P{至少4分鐘}=〔5〕P{恰好2.5分鐘}=P(*=2.5)=020、設(shè)隨機(jī)變量*的分布函數(shù)為，求〔1〕P(*<2),P{0<*≤3},P(2<*<)；〔2〕求概率密度f*(*).解：〔1〕P(*≤2)=F*(2)=ln2，P(0<*≤3)=F*(3)－F*(0)=1，〔2〕21、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為〔1〕〔2〕求*的分布函數(shù)F(*)，并作出〔2〕中的f(*)與F(*)的圖形.解：〔1〕當(dāng)－1≤*≤1時：當(dāng)1<*時：故分布函數(shù)為：解：〔2〕故分布函數(shù)為〔2〕中的f(*)與F(*)的圖形如下f(*f(*)*0F(*)2*0F(*)21*0121222、⑴由統(tǒng)計物理學(xué)知，分子運(yùn)動速度的絕對值服從邁克斯韋爾(Ma*well)分布，其概率密度為其中，為Boltzmann常數(shù)，為絕對溫度，是分子的質(zhì)量.試確定常數(shù).解:①即②當(dāng)時，當(dāng)時，或23、*種型號的電子的壽命*〔以小時計〕具有以下的概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子〔設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立〕.任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為令Y表示"任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)〞.則，24、設(shè)顧客在*銀行的窗口等待效勞的時間*〔以分計〕服從指數(shù)分布，其概率密度為：*顧客在窗口等待效勞，假設(shè)超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次.以Y表示一個月內(nèi)他未等到效勞而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律.并求P〔Y≥1〕.解：該顧客"一次等待效勞未成而離去〞的概率為因此25、設(shè)K在〔0，5〕上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率∵K的分布密度為：要方程有根，就是要K滿足(4K)2－4×4×(K+2)≥0.解不等式，得K≥2時，方程有實(shí)根.∴26、設(shè)*～N〔3.22〕〔1〕求P(2<*≤5)，P(－4)<*≤10)，P{|*|>2}，P(*>3)∵ 假設(shè)*～N〔μ，σ2〕，則P(α<*≤β)=φφ∴P(2<*≤5)=φφ=φ(1)－φ(－0.5)=0.8413－0.3085=0.5328P(－4<*≤10)=φφ=φ(3.5)－φ(－3.5)=0.9998－0.0002=0.9996P(|*|>2)=1－P(|*|<2)=1－P(－2<P<2)= =1－φ(－0.5)+φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977P(*>3)=1－P(*≤3)=1－φ=1－0.5=0.5〔2〕決定C使得P(*>C)=P(*≤C)∵P(*>C)=1－P(*≤C)=P(*≤C)得 P(*≤C)==0.5又 P(*≤C)=φ∴C=327、*地區(qū)18歲的女青年的血壓〔收縮區(qū)，以mm-Hg計〕服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓*.求〔1〕P(*≤105)，P(100<*≤120). 〔2〕確定最小的*使P(*>*)≤0.05.解:28、由*機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度〔cm〕服從參數(shù)為μ=10.05，σ=0.06的正態(tài)分布.規(guī)定長度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？設(shè)螺栓長度為*P{*不屬于(10.05－0.12,10.05+0.12)=1－P(10.05－0.12<*<10.05+0.12)=1－=1－{φ(2)－φ(－2)}=1－{0.9772－0.0228}=0.045629、一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命*〔以小時計〕服從參數(shù)為μ=160，σ(未知)的正態(tài)分布，假設(shè)要求P(120＜*≤200＝=0.80，允許σ最大為多少？∵P(120＜*≤200)=又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有φ(－*)=1－φ(*)∴上式變?yōu)榻獬鲈俨楸恚?0、解：31、解：32、解：所以為概率密度函數(shù)33、設(shè)隨機(jī)變量*的分布律為：*：－2， －1， 0， 1， 3P：， ， ， ， 求Y=*2的分布律∵Y=*2：(－2)2 (－1)2 (0)2 (1)2 (3)2P：再把*2的取值一樣的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為：∴Y：0 1 4 9P：34、設(shè)隨機(jī)變量*在〔0，1〕上服從均勻分布〔1〕求Y=e*的分布密度∵*的分布密度為：Y=g(*)=e*是單調(diào)增函數(shù)又 *=h(Y)=lnY，反函數(shù)存在且 α=min[g(0),g(1)]=min(1,e)=1ma*[g(0),g(1)]=ma*(1,e)=e∴Y的分布密度為：〔2〕求Y=－2ln*的概率密度.∵Y=g(*)=－2ln* 是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在.且 α=min[g(0),g(1)]=min(+∞,0)=0β=ma*[g(0),g(1)]=ma*(+∞,0)=+∞∴Y的分布密度為：35、設(shè)*～N〔0，1〕〔1〕求Y=e*的概率密度∵*的概率密度是Y=g(*)=e*是單調(diào)增函數(shù)又 *=h(Y)=lnY反函數(shù)存在且 α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=0β=ma*[g(－∞),g(+∞)]=ma*(0,+∞)=+∞∴Y的分布密度為：〔2〕求Y=2*2+1的概率密度.在這里，Y=2*2+1在(+∞，－∞)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用.設(shè)Y的分布函數(shù)是FY〔y〕，則 FY(y)=P(Y≤y)=P(2*2+1≤y)=當(dāng)y<1時：FY(y)=0當(dāng)y≥1時：故Y的分布密度ψ(y)是：當(dāng)y≤1時：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0當(dāng)y>1時，ψ(y)=[FY(y)]'==〔3〕求Y=|*|的概率密度.∵Y的分布函數(shù)為FY(y)=P(Y≤y)=P(|*|≤y)當(dāng)y<0時，F(xiàn)Y(y)=0當(dāng)y≥0時，F(xiàn)Y(y)=P(|*|≤y)=P(－y≤*≤y)=∴Y的概率密度為：當(dāng)y≤0時：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0當(dāng)y>0時：ψ(y)=[FY(y)]'=36、〔1〕設(shè)隨機(jī)變量*的概率密度為f(*)，求Y=*3的概率密度.∵Y=g(*)=*3是*單調(diào)增函數(shù)，又 *=h(Y)=，反函數(shù)存在，且 α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=－∞β=ma*[g(－∞),g(+∞)]=ma*(0,+∞)=+∞∴Y的分布密度為：ψ(y)=f[h(h)]·|h'(y)|=〔2〕設(shè)隨機(jī)變量*服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=*2的概率密度.*Oy=*2y法一：∵*的分布密度為：*Oy=*2yY=*2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng)*<0時