高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)第五講不等式的證明

第五講不等式的證明知識(shí)、方法、技術(shù)不等式在數(shù)學(xué)中據(jù)有重要地位，因?yàn)槠渥C明的困難性和方法的多樣性，而成為比賽和高考的熱點(diǎn)題型.證明不等式就是對(duì)不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，而變形的依照是不等式的性質(zhì)，不等式的性分類擺列以下：不等式的性質(zhì)：abab0,abab0.這是不等式的定義，也是比較法的依照.對(duì)一個(gè)不等式進(jìn)行變形的性質(zhì)：（1）abba（對(duì)稱性）（2）abacbc（加法保序性）（3）ab,c0acbc;ab,c0acbc.（4）ab0anbn,nanb(nN*).對(duì)兩個(gè)以上不等式進(jìn)行運(yùn)算的性質(zhì).（1）ab,bcac（傳達(dá)性）.這是放縮法的依照.（2）ab,cdacbd.（3）ab,cdacbd.（4）ab0,dc0,ab,adbc.cd含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：（1）|x|a(a0)x2a2axa.（2）|x|a(a0)x2a2xa或xa.（3）||a||b|||a（4）|a1a2

b||a||b|（三角不等式）.an||a1||a2||an|.證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學(xué)概括法、結(jié)構(gòu)函數(shù)方法等.自然在證題過程中，?？伞坝梢?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為剖析法.綜合法和剖析法是解決全部數(shù)學(xué)識(shí)題的常用策略，剖析問題時(shí)，我們常常用剖析法，而整理結(jié)果時(shí)多用綜合法，這二者并不是證明不等式的特有方法，不過在不等式證明中使用得更加突出而已.別的，詳細(xì)地證明一個(gè)不等式時(shí)，可能交替使用多種方法.賽題精講例1：a,b,c0,求證：ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc.【略解】ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc【評(píng)論】（1）此題所證不等式為對(duì)稱式（隨意交換兩個(gè)字母，不等式不變），在因式分解或配方時(shí)，常常采納輪換技巧.再如證明a2b2c2abbcca時(shí)，可將a2b2(abbcca)配方為1[(ab)2(bc)2(ca)2]，亦可利用a2b22ab,2b2c22bc,c2a22ca，3式相加證明.（2）此題亦可連用兩次基本不等式獲證.abc例2：a,b,c0，求證：aabbcc(abc)3.【思路剖析】明顯不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故試試用商較法.【略解】不等式對(duì)于a,b,c對(duì)稱，不如abc,則ab,bc,acRab，且,，bc都大于等于1.c【評(píng)論】（1）證明對(duì)稱不等式時(shí)，不如假設(shè)n個(gè)字母的大小次序，可方便解題.（2）此題可作以下推行：若ai0(i1,2,,n),則a1a1a2a2anan（3）此題還可用其余方法得證。因aabbabba，同理bbccbccb,ccaacaac，另aabbccaabbcc，4式相乘即得證.（4）設(shè)abc0,則lgalgblgc.例3等價(jià)于algablgbalgbblga,近似例4可證algablgbclgcalgbblgcclgaalgcblgbclga.事實(shí)上，一般地有排序不等式（排序原理）：設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組a1a2an,b1b2bn，則a1b1a2b2anbn（順序和）a1bj1a2bj2anbjn（亂序和）a1bna1bn1anb1（逆序和）其中j1,j2,,jn是1,2,,n的任一擺列.當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an或b1b2bn時(shí)等號(hào)建立.排序不等式應(yīng)用較為寬泛（其證明略），它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)有序數(shù)組的積的形式.如a,b,cR時(shí),a3b3c3a2bb2cc2aa2ab2bc2ca2bb2cc2a;a2b2c2abca21b21c21a21b21c21bcabcaabc.例3：a,b,cR,求證abca2b2b2c2c2a2a3b3c3.2c2a2bbccaab【思路剖析】中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和，將它們打開，再用排序不等式證明.【略解】不如設(shè)abc,則a2b2c2,111，則a21b21c21（亂cbacab序和）a21b21c21（逆序和），同理a21b21c21（亂序和）abccaba21b21c21（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個(gè)不等式.再考慮abc數(shù)組a3b3c3及111，仿上可證第二個(gè)不等式.bcacab例4：設(shè)a1,a2,,anN*，且各不同樣，求證：1111a1a2a3an.23n2232n2【思路剖析】不等式右邊各項(xiàng)aiai1；可理解為兩數(shù)之積，試試用排序不等22ii式.【略解】設(shè)b1,b2,,bn是a1,a2,,an的從頭擺列，知足b1b2bn，又1111.2232n2因此a1a2a3anb1b2b3bn.因?yàn)閎1,b2,bn是互不同樣2232n2232n2的正整數(shù)，故b11,b22,,bnn.進(jìn)而b1b2b3bn111，原式得2232n22n證.【評(píng)論】排序不等式應(yīng)用寬泛，比如可證我們熟習(xí)的基本不等式，a2b2abba,a3b3c3a2bb2cc2aaabbbcccaabcbaccab3abc.例5：利用基本不等式證明a2b2c2abbcca.【思路剖析】左側(cè)三項(xiàng)直接用基本不等式明顯不可以，觀察到不等式的對(duì)稱性，可用輪換．．的方法.【略解】a2b22ab,同理b2c32bc,c2a22ca；三式相加再除以2即得證.【評(píng)論】（1）利用基本不等式時(shí)，除了此題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技巧.222如x1x2xnx1x2xn，可在不等式兩邊同時(shí)加上x2x3x1x2x3xnx1.再如證(a1)(b1)(ac)3(bc)3256a2b2c3(a,b,c0)時(shí)，可連續(xù)使用基本不等式.（2）基本不等式有各樣變式如(ab)2a2b2等.但其實(shí)質(zhì)特點(diǎn)不等式兩邊的次22數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.例6：已知ab1,a,b0,求證：a4b41.81，怎樣也轉(zhuǎn)變?yōu)閍、b的4【思路剖析】不等式左側(cè)是a、b的4次式，右邊為常數(shù)8次式呢.【略解】要證a4b41,即證a4b41(ab)4.88【評(píng)論】（1）此題方法擁有必定的廣泛性.如已知x1x2x31,xi0,求證：x13x23x331.右邊的1可理解為1(x1x2x3)3.再如已知x1x2x30，求證：x1x2x2x33333(x1+x3x10，此處能夠把0理解為x2x3)2，自然此題還有簡(jiǎn)使證法.8（2）基本不等式其實(shí)是均值不等式的特例.（一般地，對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1,a2,an)調(diào)解均勻Hnn111a1a2an幾何均勻Gnna1a2an算術(shù)均勻Ana1a2ann平方均勻Qna12a22an22這四個(gè)均勻值有以下關(guān)系：HnGnAnQn，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)建立.例7：利用排序不等式證明GnAn.【證明】令biai,(i1,2,,n)則b1b2bn1，故可取x1,x2,xn0，使得Gnb1x1,b2x2,,bn1xn1,bnxn由排序不等式有：x2x3xnx1=x1x2xn（亂序和）x2x3x1x11x21xn1（逆序和）x1x2xn=n，【評(píng)論】對(duì)1,1,,1各數(shù)利用算術(shù)均勻大于等于幾何均勻即可得，GnAn.a1a2an例8：證明：對(duì)于隨意正整數(shù)R，有(11)n(11)n1.nn1【思路剖析】原不等式等價(jià)于n1(11)n11，故可想法使其左側(cè)轉(zhuǎn)變?yōu)閚個(gè)nn1數(shù)的幾何均勻，而右邊為其算術(shù)均勻.【略證】n1(11)n(11)(11)1(11)(11)1n211.nn1nnnnn1n1n個(gè)n1【評(píng)論】（1）利用均值不等式證明不等式的重點(diǎn)是經(jīng)過分拆和轉(zhuǎn)變，使其兩邊與均值不等式形式鄰近.近似可證(11)