高二數(shù)學(xué)必修數(shù)列求通項(xiàng)、求和知識(shí)點(diǎn)+方法+練習(xí)題總結(jié)

1(q1(q數(shù)

列

求

通

項(xiàng)

與

求

和

常

用

方

法

歸

納一、知要點(diǎn)1求通項(xiàng)公式方法：(1)觀察法：找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系然后猜想檢驗(yàn)，即得通項(xiàng)公式；(2)利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系＝

n＝n

，；(3)公式法：利用等差(比數(shù)求通項(xiàng)公式；a(4)累加法：如a－＝fn)，累積，如＝()；na(5)轉(zhuǎn)化法：＝＋A≠0，且A≠1)．n2求和常用的法：(1)公式法：①

Sn

(a)(n1nadna(②S(1)1(2)裂項(xiàng)求和：將數(shù)列的通項(xiàng)分兩個(gè)式子的代數(shù)差，即，然后累加時(shí)抵消中間的許多.應(yīng)握以下常見的裂項(xiàng)：

11n(1)n1()n(n)nn111(2k2

11k(k1)2(1)kk1④

111[n(n1)(2)(1)n1)(n2)

]⑤

2(n

)

n1

n1

n1)錯(cuò)位相減法：如數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常用錯(cuò)位相減法這是等比數(shù)列前n項(xiàng)和式的推導(dǎo)方).倒序相加法：若式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其性的作用求和這等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方).分組求和法在接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)公式法求二、知運(yùn)用典型例考1求列通nnnnnnnnnnnnn11nnnnnnnnnnnnn11[題型1]

a

n

af(n)n解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為a已知數(shù)列【例1】a

(n)，用累加(差相加法求。n滿足1，1，求。2解：由條件知：

a

n

n

n

2

11(n分

別

令

n入上式得n

個(gè)

等

式

累

加

之，

即)a)2123

n

111)))224nn所以

an

1n1

111，2nn[題型2]

a

n

fn)a

na解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為f()，用累乘法(逐相乘)求解。an已知數(shù)列滿足2，n求?！纠?】aaa解：由條件知

nnn

，分別令

n

，代入上式得

(

個(gè)等式累乘之，即aa234aa34n13

a1na1

又

22，3[題型3]

a

n

pan

(其中p，均常數(shù)，且

pq

)。解法(待定系數(shù)法)：轉(zhuǎn)化為：

a

n

p(a)n

，其中

t

q1

，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。【例3】已知數(shù)列

n

，

n

a，a。n解：設(shè)遞推公式

a

n

2an

可以轉(zhuǎn)化為

a)即2atnnn

.故遞推公式為a

n

ba3),令，且n.所以b是以bn

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則

2

,所以

.[題型4]

pa

(其中p，均常數(shù)，且

(

)。(或

n

rqn

n

,其中p，q,r均常)。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以

n

，得：

aannqnn

引入輔助數(shù)列

n

bn

aq

nn

)，nnnnnnnn22nnnnnnnn22得：

bn

p1bq

再待定系數(shù)法解決?！纠?】已知數(shù)列

n

1,)32

n

，求

a

n

。解：在

a

n

112a)n邊乘以n得nn)323令

2

，則

bn

2b,解得：)33

n所以

an

bn))23

n[題型5]遞公式為

n

與

a

n

的關(guān)系式?；?/p>

fan

)解法：這種類型一般利用a

與

af(afnn

消去

(n或與

f(n

n

(

消去

a

n

進(jìn)行求解?！纠?】已知數(shù)列

n

項(xiàng)

Sn

2

1n

.(1)求

n

與的關(guān)系；求項(xiàng)公式a.n解：由

Sn

2

1n

得：

S4n

2

1n于是

S

n

ann

n

)

2

1n

2

1n

)所以

a

n

n

n

2

11annn

.(2)應(yīng)用題型4(

pa

，其中p，q均常數(shù)，且

(q

)的方法，上式兩邊同乘以

n

得：

2

由

a11

11

a1

.于是數(shù)列

n

a

n

是以2為首項(xiàng)，2為公差列所

2nan

2

nnr0,0)[題型6]解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為

a

n

pan

，再利用待定系數(shù)法求解。【例6】已知數(shù)列

{}，n1

1a

(0)

，求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式。解：由

a

11兩取對(duì)數(shù)得lga2lgaaa

，令

blga，bn

b

11，再利用待定系數(shù)法解得：()aa

。31n31n考2數(shù)求[題型1]公法【例7】已知

3的差數(shù)列，數(shù)列n

bn

13

,nbnnn(1)求n和(2)求n解：依ab+b，b=1，

13

，解得=2…2分通項(xiàng)公式為=2+3(-1)=3-1…6分11(2)由(Ⅰ)知nb=，b=，所以是公比為的比數(shù)列…9分33所以{}前項(xiàng)=n[題型2]裂求和

11)n31122n3

…12分【例8】

n

為數(shù)列

n

}的前

項(xiàng)和.已

n

＞，

a

n

2

nn

.(1)求

n

}的項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn

1ann

,求數(shù)列{

n

}的前

項(xiàng)和.解析：a=2n

；(2)由1)知，=n

()(2n

，所以數(shù)列{

n

}前n項(xiàng)和為

12

n

=

1[()

11)]=n264

.[題型3]錯(cuò)相減求和【例9】已知數(shù)列{a}{b

}，

1

a(n*n11bb23

1

*

)

.(1)求

n

與

n

；(2)記數(shù)列

{ab

}和為

n

，求.n解析：由

2,a1

，n

n

.當(dāng)n

時(shí)，

12

，故

2

.當(dāng)

時(shí)，

1n

bnn

，整理得

bnnbn

，所以

n

.41443nnnn1nnn141443nnnn1nnn1(2)由(1)知，

bn

n所以

n

n2n

所以

Tnn

2

3

n

n

n

所以

nn

.[題型4]分求和【例】已知{}等差數(shù)列，滿足＝3，＝12數(shù)列{}足＝，＝20且{－a}等數(shù)列．n4n4n(1)求數(shù)列{a}{}通公式；nn(2)求數(shù)列前n項(xiàng)．n解：設(shè)等差數(shù)列{}公為d，由題意得n－a－＝＝＝所以＝＋(－d＝n＝12…．n設(shè)等比數(shù)列{－a}公比為q，由題意得nn－a20＝＝＝，解得q＝－a411所以－＝(b－a)＝.n1從而＝＋(n，2…)．n(2)由(1)知＝＋2n

n

(n＝1，2…)．－數(shù)列{n}前n項(xiàng)為n(＋1)，數(shù)列{}前項(xiàng)為×＝2－，－2所以，數(shù)列{}前項(xiàng)和為nn1)＋2n2三、知能運(yùn)用訓(xùn)練題

－1、(1)已知數(shù)列

n

aaa1n

n

2)

，求數(shù)列

n

式；已S為列n

n

項(xiàng)和，

，

Snn

n

，求數(shù)列

n

式【解】(1)2,a1n

n

n

，n

n

an

n

n

a

n

n

n

aa21n(2n3

n(22

(2)a

，

Sn2n

n

，當(dāng)

時(shí)，

n2

ann

n

n2an

n

nnn

.aan1annaann(nn

2、已知數(shù)列

n

a1

n

2n

，求數(shù)列

n

式nnannnnann3【解】a

n

2a，an

n

2(na是n

為公比的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為

a14

2

3、已知數(shù)列

n

a1

n

2n

n

，求數(shù)列

n

式【解】a

2a

，

aaa3)n，則)2n2

，b(n

bn

n

b213)n))2a

333)2)222

4、已知為數(shù)列n

n

項(xiàng)和，

3a2(N2)n

，求數(shù)列

n

式【解析】當(dāng)

n

時(shí)，

a1

，當(dāng)2時(shí)ann

n

(3(3n

n

2).2a

n2n

32

為公比的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為

a

，3)2

.5、已知數(shù)列

n

a1

n

3n

n

，求數(shù)列

n

式【解析】

，

aan，b3n3nn數(shù)

n

bnn

，ann

n

.6、已知數(shù)列

n

2

1a(n3)33

，求數(shù)列

.n【解】由a

1a得(a)(n3又

a21

，所以數(shù)列

n

n

為首，公比為

的等比數(shù)列，a

2)

a(an

n

a

n

n

n

n

aa21122))))33

8)5

．121n2n222n122122n2n2n12n121n2n222n122122n2n2n12n7、已知數(shù)列

數(shù)等差數(shù)列，列

n

的前項(xiàng)和為.n(1)求數(shù)列

式(2)設(shè)

b

，求數(shù)列

項(xiàng)和

n

.【解析）設(shè)數(shù)列

，令n

11得，所以aaa31

.令n

得

，所以aa15解得d，所an5122（）（）2

n

n

,

所以

,所以4T

......n

,兩式相減，得......4(1)144(3所Tn99＋n*、已知數(shù)列{}前n項(xiàng)＝，nNnn2(1)求數(shù)列{}通項(xiàng)公式；n

(2)設(shè)b＝n

＋(－1)，數(shù){}前n項(xiàng)．n解：當(dāng)n，＝＝111＋n（－1＋－1）當(dāng)≥2時(shí)，a＝－＝－＝nn故數(shù)列{}通公式為a＝nn(2)由(1)知2n

n

＋(－1)

記數(shù)列前2和為T＝(2＋2nn

＋＋2＋(－12－＋4－n)．記A＋2＋…＋2，B＝－1－3＋－＋2，（－2）則A＝－，－B＝(－12)＋(－3＋4)＋＋－(2－1)n]＝n故數(shù)列{}前n項(xiàng)＝＋＝＋n－2.n2n9、已知數(shù)列

項(xiàng)和n+8n

且

ann

.(1)求數(shù)列

式(2)令

cn

(n(nn

.

求數(shù)列

和T.解析）由題意知當(dāng)n時(shí)n

n

n

，當(dāng)

n

時(shí)，

111

，所以

a6n

.，即b2322aaa由條件可知a>0,，即b2322aaa由條件可知a>0,故。得，所以。故數(shù)列{a}的通項(xiàng)式為a=。33322**設(shè)數(shù)列

d，

ab11ab172b23

，可解得

b4,d

，所以

bn

.（）（Ⅰ）知

n

n

3(

n

，又

Tcn13

n

，得n

2

3

4

，5n兩式作差，得

，3[222]4(2nn

]

所以nn

n

10、等比數(shù)列n

為數(shù)，且

a123

2

a2(1)求數(shù)列n

式(2)設(shè)

baloglogn133

求數(shù)列的n項(xiàng).解1）設(shè)數(shù)列a}的公比為q，由

a得aa323

所以

。111q1212)（）

blogalogan333

)

(n故

)n

n1112...